改進(jìn)的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式及其工程應(yīng)用*

于曰偉，趙雷雷，周長城

（山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院，淄博 255000）

前言

在眾多分析方法中，解析法因其可以直觀地展現(xiàn)出量與量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)可使設(shè)計(jì)人員快速有效地對(duì)工程選擇做出合理的判斷，因此，在車輛工程研究領(lǐng)域受到了研究者的青睞［1-2］，開展了大量研究。其中，在車輛振動(dòng)響應(yīng)解析求解方面，很多文獻(xiàn)基于1/4車輛模型，以白噪聲路面譜作為車輛系統(tǒng)的路面輸入模型，推導(dǎo)得到了車身垂直振動(dòng)加速度、懸架動(dòng)撓度和車輪動(dòng)載荷均方根值計(jì)算公式，并將其成功應(yīng)用于諸多工程實(shí)踐中［3-11］。然而以1/ω2的形式出現(xiàn)的白噪聲路面譜與實(shí)際路面相比，在低頻部分存在高估現(xiàn)象，致使計(jì)算得到的高速行駛狀態(tài)下的車輛振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果與實(shí)際偏差較大。

針對(duì)以上問題，在前人工作基礎(chǔ)上，用更加貼近于路面實(shí)際的以1/（ω2+ω02）形式出現(xiàn)的濾波白噪聲路面譜作為車輛系統(tǒng)的路面輸入模型，對(duì)車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值的計(jì)算公式進(jìn)行重新推導(dǎo)。作為現(xiàn)有眾多研究的延伸和補(bǔ)充，該研究將能更為完善地為車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)的估計(jì)、路面等級(jí)的預(yù)測(cè)和車輛初始設(shè)計(jì)時(shí)懸架系統(tǒng)阻尼比的估算提供有效的技術(shù)保障。

1 1/4車輛模型

1.1 車輛行駛振動(dòng)模型

為簡(jiǎn)化模型建立，同時(shí)便于結(jié)果分析，利于工程應(yīng)用，在車輛振動(dòng)響應(yīng)解析求解中，通常將整個(gè)車輛懸架系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單輪線性2自由度系統(tǒng)模型［1-2］進(jìn)行研究，如圖 1所示。

圖1 車輛行駛振動(dòng)模型

圖中：m2，m1分別為單輪簧上、簧下質(zhì)量；K2，Kt分別為懸架和輪胎剛度；C2為懸架阻尼；z1，z2分別為車輪和車身的垂直位移；q為路面不平度輸入。

根據(jù)牛頓第二定律，可得圖1所示模型的振動(dòng)微分方程為

為使所討論的物理量具有推廣價(jià)值，引入以下輔助變量：

式中：rk為剛度比；rm為質(zhì)量比；ω2為車身固有圓頻率；ξ2為懸架系統(tǒng)阻尼比。

因此，式（1）可變換為

將式（2）進(jìn)行傅氏變換，并通過相應(yīng)數(shù)學(xué)推演，可分別求得車身垂直振動(dòng)加速度·z·、懸架動(dòng)撓度f和車輪動(dòng)載荷Fd相對(duì)路面位移輸入q的頻率響應(yīng)函數(shù)為

式中：j為虛數(shù)單位；ω為路面不平度激擾圓頻率。

1.2 隨機(jī)路面輸入模型

國際標(biāo)準(zhǔn)化組織推薦采用路面功率譜密度來描述路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性，通常在車輛振動(dòng)響應(yīng)理論分析中，普遍采用以圓頻率ω表示的白噪聲路面譜［2］：

式中：n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；Gq（n0）為參考空間頻率n0下的路面功率譜密度，即路面不平度系數(shù)；v為車輛行駛速度。

由式（6）可知，當(dāng)ω趨向于0時(shí)，路面輸入振幅將趨向于無窮大，而實(shí)際路面并非如此。因此，為更真實(shí)地反映路面譜在低頻范圍內(nèi)的不平度情況，通常在式（6）所示的白噪聲路面譜中引入一個(gè)下截止頻率ω0，這樣當(dāng)頻率低于ω0時(shí)，可以使路面譜密度幅值保持恒定，由此，可將路面輸入模型表述為濾波白噪聲路面譜形式［12］，即

式中 ω0=2πvn00，n00為空間下截止頻率，n00=0.011 m-1。

例如，根據(jù)式（6）和式（7），所得到的車輛行駛速度v=72 km/h時(shí)的路面功率譜曲線如圖2所示。由圖2可以看出：在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，白噪聲路面譜是一條斜率為-2∶1的直線，而濾波白噪聲路面譜則近似于由斜率分別為-2∶1和0∶1兩段折線組成，兩者之間圓滑過渡；與濾波白噪聲路面譜相比，白噪聲路面譜在低頻部分對(duì)路面不平度存在高估現(xiàn)象。

圖2 雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的路面功率譜密度曲線

2 車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值的解析求解

盡管利用動(dòng)力學(xué)仿真分析軟件能很好地模擬車輛的實(shí)際行駛狀態(tài)，但對(duì)現(xiàn)象的深入理解仍然需依賴簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，且在工程實(shí)踐中，為便于對(duì)車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行估計(jì)、對(duì)路面等級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)和在車輛設(shè)計(jì)初始階段對(duì)懸架系統(tǒng)阻尼比進(jìn)行估算，通常需將車輛的振動(dòng)響應(yīng)用簡(jiǎn)單的公式加以描述。本文中以更加貼近于路面實(shí)際的濾波白噪聲路面譜作為車輛系統(tǒng)的路面輸入模型，對(duì)基于1/4車輛模型的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)。

2.1 傳統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式

根據(jù)式（6）所示的白噪聲路面譜，可知目前常用的傳統(tǒng)車身垂直振動(dòng)加速度、懸架動(dòng)撓度和車輪動(dòng)載荷響應(yīng)均方根植計(jì)算公式［8-9］分別為

2.2 改進(jìn)的振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式

上已述及，式（7）所示的濾波白噪聲路面譜更加接近于實(shí)際路面，因此被廣泛應(yīng)用于車輛動(dòng)力學(xué)仿真分析［13］，但模型的復(fù)雜性致使目前一直尚未給出該激勵(lì)模型下的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式。下面運(yùn)用隨機(jī)振動(dòng)理論和復(fù)變函數(shù)積分求解方法，對(duì)該路面譜下的車輛振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解。

根據(jù)車輛隨機(jī)振動(dòng)理論，可知在路面隨機(jī)激勵(lì)Gq（ω）作用下，某一線性系統(tǒng)的響應(yīng)均方值為

式中：x表示系統(tǒng)響應(yīng)量；H（jω）x～q為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

對(duì)于線性系統(tǒng)，由于其幅頻特性存在以下關(guān)系：

因此，根據(jù)式（3）～式（5），可將其幅頻特性表示為以下形式：

式中 M（jω），D（jω）分別為式（3）～式（5）的分子項(xiàng)和分母項(xiàng)。

此外，式（7）可以改寫為下列形式：

因此，將式（13）和式（14）代入式（11），利用復(fù)變函數(shù)積分求解方法［14］，可分別求解得到濾波白噪聲路面譜模型下的車輛車身垂直振動(dòng)加速度、懸架動(dòng)撓度和車輪動(dòng)載荷響應(yīng)均方根值計(jì)算公式，即

其中：

2.3 不同解析計(jì)算公式對(duì)車身振動(dòng)加速度響應(yīng)譜的影響及其試驗(yàn)驗(yàn)證

為對(duì)所建立的濾波白噪聲路面譜作用下的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，以某轎車為分析實(shí)例，對(duì)其進(jìn)行了實(shí)車行駛平順性試驗(yàn)，如圖3所示。所得到的不同解析計(jì)算公式下的車身振動(dòng)加速度響應(yīng)譜及其與試驗(yàn)測(cè)試值的對(duì)比結(jié)果見圖4。試驗(yàn)時(shí)利用加速度傳感器測(cè)量獲得駕駛員座椅地板處的車身垂直振動(dòng)加速度，采樣頻率為500 Hz，采樣時(shí)間為100 s，車輛處于滿載狀態(tài)，路面等級(jí)為 B級(jí)，試驗(yàn)車速為40～100 km·h-1。已知該轎車的1/4車輛參數(shù)為：質(zhì)量比rm=12.1，剛度比 rk=8.2，車身固有圓頻率 ω2=6.3 rad·s-1，懸架阻尼比 ξ2=0.20，輪胎剛度 Kt=139 000 N·m-1。由于不同車速下的車身加速度響應(yīng)變化規(guī)律一致，圖4中僅給出了40，60，80和100 km·h-1時(shí)的對(duì)比結(jié)果。

圖3 實(shí)車行駛平順性試驗(yàn)

由圖4可見：在0.1～2 Hz范圍內(nèi)，利用傳統(tǒng)計(jì)算公式得到的車身振動(dòng)加速度響應(yīng)譜顯著大于試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，利用改進(jìn)計(jì)算公式得到的計(jì)算結(jié)果比較接近于試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果；在2～100 Hz范圍內(nèi)，兩種計(jì)算方法所得到的車身振動(dòng)加速度響應(yīng)譜與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果均具有較好的一致性?？芍?，改進(jìn)計(jì)算公式較之傳統(tǒng)計(jì)算公式更加精確。表1給出了利用兩種振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式和實(shí)車試驗(yàn)得到的該試驗(yàn)車輛的車身垂直振動(dòng)加速度均方根值計(jì)算結(jié)果。

圖4 車身垂直振動(dòng)加速度功率譜密度對(duì)比結(jié)果

由表1可以看出，兩種不同計(jì)算公式所得到的車身垂直振動(dòng)加速度均方根值在低速情況下相近，在高速情況下相差較大。此外，利用傳統(tǒng)計(jì)算公式所得到的車身垂直振動(dòng)加速度均方根值與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的最大偏差為9.67%，而改進(jìn)公式下的最大偏差僅為8.84%。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)計(jì)算公式相比，改進(jìn)的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式更能有效反映車輛的實(shí)際振動(dòng)特征。

表1 車身垂直振動(dòng)加速度均方根值計(jì)算結(jié)果

3 兩種均方根值計(jì)算公式的對(duì)比分析

為有效分析傳統(tǒng)車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式及改進(jìn)的計(jì)算公式之間的差異，從而更為完善地為車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)的估計(jì)、路面等級(jí)的預(yù)測(cè)和車輛初始設(shè)計(jì)時(shí)懸架系統(tǒng)阻尼比的估算提供有效的技術(shù)保障，以上述第2.3節(jié)中所示的某轎車為例，對(duì)兩種不同計(jì)算公式下的車輛振動(dòng)響應(yīng)求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

圖5給出了根據(jù)兩種不同計(jì)算公式所得到的車身垂直振動(dòng)加速度均方根值、懸架動(dòng)撓度均方根值和車輪動(dòng)載荷均方根值隨車速變化的曲線。

由圖5可見，在一定路面工況下，兩種計(jì)算公式下的車身垂直振動(dòng)加速度均方根值及車輪動(dòng)載荷均方根值均隨著車速的增大逐漸增大。路況越差，兩種計(jì)算公式之間的差異越大，但在低速情況下，兩種計(jì)算公式所得到的分析結(jié)果基本一致。此外，在一定路面工況下，傳統(tǒng)計(jì)算公式下的懸架動(dòng)撓度均方根值隨著車速的增大逐漸增大，而改進(jìn)公式下的懸架動(dòng)撓度值逐漸趨于穩(wěn)定，且路況越差，兩種計(jì)算公式之間的差異越大，但兩者在低速情況下的響應(yīng)情況基本一致。

綜上分析可知，當(dāng)車輛高速行駛時(shí)，根據(jù)傳統(tǒng)計(jì)算公式得到的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值大于改進(jìn)計(jì)算公式，且路況越差，兩者之間的差異越大，即傳統(tǒng)車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式對(duì)車輛行駛姿態(tài)存在高估現(xiàn)象。

圖5 不同計(jì)算公式下的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值變化曲線

4 工程應(yīng)用

改進(jìn)的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式，作為傳統(tǒng)計(jì)算公式的延伸和補(bǔ)充，在車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其相關(guān)問題研究領(lǐng)域中，具有廣闊的應(yīng)用前景。應(yīng)用該計(jì)算公式，既可對(duì)車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行估計(jì)，也可對(duì)路面等級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)還能在車輛設(shè)計(jì)初始階段對(duì)懸架系統(tǒng)阻尼比進(jìn)行估算。

4.1 車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)的估計(jì)

利用改進(jìn)的車輛振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算公式，可實(shí)現(xiàn)對(duì)車輛垂直振動(dòng)特性的快速估計(jì)，同時(shí)，有助于技術(shù)人員在車輛振動(dòng)測(cè)試數(shù)據(jù)采集過程中對(duì)測(cè)量結(jié)果的正確性進(jìn)行判斷。例如，上述2.3節(jié)中所示的轎車以車速72 km·h-1分別在A，B，C和D級(jí)路面上行駛，所得到的車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)估計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)估計(jì)結(jié)果

4.2 路面等級(jí)的預(yù)測(cè)

上述分析可知，利用所建立的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式可得到不同路面與車速條件下的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值。由此可知，若已知車輛振動(dòng)響應(yīng)情況及車輛行駛速度，則可反求得到此時(shí)車輛所行駛的路面等級(jí)?；诖?，考慮到實(shí)際工程應(yīng)用的實(shí)用性和便捷性，下面介紹一種以車身垂直振動(dòng)加速度信號(hào)作為判斷依據(jù)的路面等級(jí)預(yù)測(cè)方法。

根據(jù)式（15），可得基于車身垂直振動(dòng)加速度均方根值的路面等級(jí)預(yù)測(cè)公式為

由此，根據(jù)式（18），利用根據(jù)實(shí)測(cè)車身垂直振動(dòng)加速度信號(hào)處理得到的均方根值及獲取的車輛行駛速度，即可得到車輛當(dāng)前的路面行駛等級(jí)。其中，路面等級(jí)劃分情況［15］如表3所示。

表3 路面不平度分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

例如，第2.3節(jié)中所示的轎車，若其行駛速度為85 km·h-1，車身垂直振動(dòng)加速度均方根值為0.50 m·s-2，則根據(jù)式（18）可知，Gq（n0）=74.04×10-6m3，由此根據(jù)表3可知，該車輛的當(dāng)前行駛路面等級(jí)為B級(jí)。需要說明的是，為了防止測(cè)量得到的加速度信號(hào)出現(xiàn)信號(hào)混疊現(xiàn)象，在對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理前，須先進(jìn)行低通濾波處理。

4.3 懸架系統(tǒng)阻尼比的估算

懸架系統(tǒng)阻尼對(duì)車輛的乘坐舒適性和行駛安全性均具有十分重要的影響［2，16］。因此在設(shè)計(jì)懸架系統(tǒng)阻尼比時(shí)通常需要綜合考慮車身振動(dòng)加速度、懸架動(dòng)撓度和車輪動(dòng)載荷3個(gè)性能指標(biāo)，從而使車輛性能與懸架系統(tǒng)參數(shù)達(dá)到最佳匹配。根據(jù)建立的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式繪制得到的上述第2.3節(jié)中所示轎車在不同頻率、阻尼參數(shù)下的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值變化曲線，如圖6所示。其中，車速v=80 km·h-1，頻率f2與圓頻率ω2的關(guān)系為f2=ω2/（2π）。

由圖6可以看出，在一定固有頻率f2條件下，阻尼比值ξ2過小，將導(dǎo)致懸架動(dòng)撓度過大，不利于車輛運(yùn)行。隨著阻尼比ξ2的增大，懸架動(dòng)撓度逐漸減小，而車身垂直振動(dòng)加速度和車輪動(dòng)載荷先減小后增大，即兩者分別存在最小極值點(diǎn)。當(dāng)采用試驗(yàn)車輛實(shí)際頻率值即 f2=0.8～1.2 Hz時(shí)，在（0.20～0.40）范圍內(nèi)選取阻尼比值ξ2，可使車身垂直振動(dòng)加速度、懸架動(dòng)撓度、車輪動(dòng)載荷三者同時(shí)達(dá)到低值的折中效果。由此可知，在車輛設(shè)計(jì)初始階段可根據(jù)設(shè)計(jì)者對(duì)車輛性能的傾向，利用所建立的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式選擇合適的懸架系統(tǒng)阻尼比值。

此外，由于分別存在使車身垂直振動(dòng)加速度和車輪動(dòng)載荷均方根值最小的阻尼比值，因此，為使所建立的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式對(duì)懸架系統(tǒng)阻尼比的初始設(shè)計(jì)更具工程指導(dǎo)意義，可分別令式（15）和式（17）關(guān)于阻尼比 ξ2的偏導(dǎo)數(shù)等于零，從而求解得到其關(guān)于ξ2的正實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得到阻尼比值的可行性設(shè)計(jì)區(qū)間［ξl，ξu］，其中，下限 ξl和上限ξu分別為利用式（15）和式（17）求解得到的車身垂直振動(dòng)加速度均方根值和車輪動(dòng)載荷均方根值取最小值時(shí)的懸架系統(tǒng)的最佳阻尼比。以上述第2.3節(jié)中所示的轎車為例，所得到的該車輛在80 km·h-1設(shè)計(jì)速度下的懸架系統(tǒng)阻尼比可行性設(shè)計(jì)區(qū)間為ξ2∈［0.177，0.372］。其中，不同頻率下的阻尼比可行性設(shè)計(jì)區(qū)間隨車速變化的曲線如圖7所示。由圖可見，在一定固有頻率f2下，阻尼比可行性設(shè)計(jì)區(qū)間的上、下限均隨著車輛行駛速度的增加而減小，因此，在選取阻尼比設(shè)計(jì)值時(shí)，應(yīng)綜合考慮車輛設(shè)計(jì)速度的影響。

圖6 不同頻率、阻尼參數(shù)下的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值變化曲線

5 結(jié)論

圖7 不同頻率下的阻尼比可行性設(shè)計(jì)區(qū)間隨車速變化的曲線

以更加貼近于路面實(shí)際的濾波白噪聲路面譜作為車輛系統(tǒng)的路面輸入模型，運(yùn)用隨機(jī)振動(dòng)理論及復(fù)變函數(shù)積分求解方法，推導(dǎo)得到了1/4車輛的車身垂直振動(dòng)加速度、懸架動(dòng)撓度和車輪動(dòng)載荷均方根值計(jì)算公式，并利用實(shí)車試驗(yàn)，對(duì)公式的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。其次，將推導(dǎo)得到的計(jì)算公式與傳統(tǒng)白噪聲路面譜輸入模型下的計(jì)算公式進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，所建立的計(jì)算公式能更加真實(shí)地反映車輛的實(shí)際振動(dòng)情況，而傳統(tǒng)計(jì)算模型對(duì)高速運(yùn)行狀態(tài)下的車輛姿態(tài)存在高估現(xiàn)象。最后，對(duì)所建立的計(jì)算公式的工程應(yīng)用前景進(jìn)行了詳細(xì)介紹，即可有效應(yīng)用于車輛行駛振動(dòng)響應(yīng)的估計(jì)、路面等級(jí)的預(yù)測(cè)和車輛初始設(shè)計(jì)時(shí)懸架系統(tǒng)阻尼比的估算中。

盡管本文所建立的車輛振動(dòng)響應(yīng)均方根值計(jì)算公式是基于1/4車輛簡(jiǎn)化模型得到的，但可方便設(shè)計(jì)人員定性了解車輛垂向動(dòng)力學(xué)特性與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，從而快速有效地對(duì)工程實(shí)踐做出合理的判斷和選擇，同時(shí)，還可大大簡(jiǎn)化在設(shè)計(jì)初期由于眾多參數(shù)未知而帶來的諸多分析求解的不便。