本征正交分解在發(fā)動機缸內(nèi)流場擬序結(jié)構(gòu)研究中的應(yīng)用*

秦文瑾，齊觀超，汪 濤，周 磊，賈 明，解茂昭

（1.上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院，上海 200093； 2.天津大學(xué)，內(nèi)燃機燃燒學(xué)國家重點實驗室，天津 300072；3.大連理工大學(xué)能源與動力學(xué)院，大連 116024）

前言

發(fā)動機工作時，缸內(nèi)存在復(fù)雜的物理化學(xué)現(xiàn)象，相互之間強烈耦合。所有過程的發(fā)生均依托于缸內(nèi)湍流場，可見對缸內(nèi)湍流場的科學(xué)認識是正確理解其他物理化學(xué)現(xiàn)象的前提。湍流場內(nèi)分布著各種不同尺度的渦團結(jié)構(gòu)，其中大尺度渦團更多地受到宏觀整體流動環(huán)境的影響，而最小尺度渦團則在Kolmogorov尺度被耗散掉。各種尺度渦團通過經(jīng)歷生成、發(fā)展、破碎和再生等過程，對瞬態(tài)流場施加影響。眾所周知，大尺度渦團往往攜帶著大部分的流場湍動能，這些渦團又可被稱之為擬序結(jié)構(gòu)，它們在湍動能的產(chǎn)生和輸運過程中產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用。然而到目前為止，研究者們還沒有對擬序結(jié)構(gòu)給出明確的定義，只是將其描述為在時間性上具有準周期屬性，在空間上具有一定形態(tài)的流體組織結(jié)構(gòu)。

近來，先進的光學(xué)診斷技術(shù)，如粒子圖形測速技術(shù)，先進的數(shù)值模擬技術(shù)，如大渦模擬，均得到快速發(fā)展，并成為研究湍流擬序結(jié)構(gòu)的強有力工具。例如，可以通過使用這些工具記錄和再現(xiàn)瞬態(tài)流場信息，并形成完整的流場數(shù)據(jù)庫，為下一步的湍流場擬序結(jié)構(gòu)特性研究提供數(shù)據(jù)支持。為實現(xiàn)從湍流背景中有效地識別和提取擬序結(jié)構(gòu)，非線性數(shù)學(xué)方法的使用成了必要環(huán)節(jié)。

Lumley將本征正交分解（proper orthogonal decomposition，POD）引入到湍流研究領(lǐng)域，為人們提供了一種有效的數(shù)學(xué)分析手段和思路［1］。該方法可以將無窮維的非線性系統(tǒng)進行降維近似，對湍流場而言，POD可將瞬態(tài)速度場表示為一組POD模態(tài)的線性組合，模態(tài)反映著原瞬態(tài)流場空間內(nèi)不同結(jié)構(gòu)信息，并且相互之間線性無關(guān)，線性組合中各個模態(tài)對應(yīng)的系數(shù)則反映著流場在時間演變上的信息。該方法的引入，極大地促進了湍流研究的發(fā)展。例如，POD方法可有效區(qū)別和分離不同的含能渦團結(jié)構(gòu)，這為研究擬序結(jié)構(gòu)提供了有效的手段。近來一些研究者應(yīng)用該方法研究了發(fā)動機缸內(nèi)流場，例如分離和重構(gòu)了缸內(nèi)矢量場（速度場）和標量場（溫度場、濃度場）。Raposo使用PIV手段測量了缸內(nèi)流場，然后使用POD方法對測量數(shù)據(jù)加以處理分析［2］。Cosadia采用POD方法分析了缸內(nèi)流場循環(huán)變動的特性［3］。Fogleman則使用POD方法研究了內(nèi)滾流場破碎過程中湍流動態(tài)特性［4］。Haworth使用POD方法對一臺簡化的發(fā)動機缸內(nèi)流場大渦模擬數(shù)據(jù)進行處理，分別研究了滾流和渦流的循環(huán)變動情況［5］。陳豪對實驗測量的200個循環(huán)流場數(shù)據(jù)進行了POD分析，針對所選數(shù)據(jù)有無進行相平均操作以及不同周期集合的選擇對POD分析結(jié)果產(chǎn)生的影響展開了討論［6］。秦文瑾提出POD 4分解方法，將瞬態(tài)湍流場分解為平均流場、擬序流場、過渡流場和湍流流場，并研究了4個分流場的循環(huán)變動情況［7］。李衛(wèi)分別采用了相依賴POD方法和相不變POD方法研究了發(fā)動機缸內(nèi)流場特性［8］。

本文中在前人研究的基礎(chǔ)上，嘗試將POD方法和Q準則方法進行結(jié)合，以用于發(fā)動機缸內(nèi)湍流場擬序結(jié)構(gòu)的研究中。通過對大渦模擬計算得到的缸內(nèi)瞬態(tài)流場數(shù)據(jù)庫進行處理，來獲得缸內(nèi)三維流場擬序結(jié)構(gòu)特性，進而豐富人們對發(fā)動機缸內(nèi)湍流場特性的認識。

1 本征正交分解

本征正交分解（POD）方法可以將瞬態(tài)流場分解為一組與空間信息相關(guān)的模態(tài)和一組反映時間信息的系數(shù)之間的線性組合：

式中：ΨPOD（xn）為 POD模態(tài)；a（t）為 POD模態(tài)對應(yīng)的時間系數(shù)。每個POD模態(tài)之間相互正交，原瞬態(tài)流場經(jīng)POD分解后，大部分流場能量可被少數(shù)低階模態(tài)捕獲，從而為提取大尺度含能渦團成為可能，但對于空間采樣點較多的流場應(yīng)用問題而言，經(jīng)典POD方法計算成本較高。Sirovich提出的“快照”POD方法里［9］，速度場相關(guān)張量計算沒有采用空間采樣點數(shù)據(jù)的內(nèi)積，而是采用不同時間采樣點數(shù)據(jù)內(nèi)積得到，進而有效地提高了經(jīng)典POD方法的計算效率。速度相關(guān)張量計算如下：

式中：Nx為空間采樣點數(shù)目；下標i和j分別代表不同采樣時刻。POD模態(tài)可通過將速度相關(guān)張量的特征向量與原始瞬態(tài)流場的內(nèi)積獲得，如下式所示：

式中矩陣A由速度相關(guān)張量R的特征向量構(gòu)成。

每個POD模態(tài)均與速度相關(guān)張量的特征值和特征向量一一對應(yīng)，且每個POD模態(tài)捕獲的流場能量大小等于其對應(yīng)的特征值幅值大小的一半。通過分析特征值幅值分布情況，即可獲得各POD模態(tài)所捕獲的瞬態(tài)流場能量分布特性。這樣，通過使用POD方法，不僅可以獲得瞬態(tài)湍流場不同尺度渦團空間結(jié)構(gòu)特征，還能夠分析其能量分布特點。另外通過對POD時間系數(shù)的分析還能夠獲得其他流場信息，如循環(huán)變動的信息等。

2 數(shù)值計算介紹

大渦模擬方法采用空間過濾手段將瞬態(tài)流場信息分解為大尺度量和小尺度量，即亞網(wǎng)格尺度量。流場大尺度量可以直接通過數(shù)值模擬獲得，小尺度量則需要模型化來求解。采用較精細的網(wǎng)格，大渦模擬方法可以獲得比雷諾平均方法更加精確的模擬結(jié)果。對于流場分析而言，采用大渦模擬將有利于獲得更多流場細節(jié)。對于大渦模擬方法，亞網(wǎng)格應(yīng)力可以通過幾種途徑獲得，例如通過采用代數(shù)方式建模，或通過采用輸運方程方式建模。本文中采用動態(tài)結(jié)構(gòu)模型來求解亞網(wǎng)格應(yīng)力。該模型沒有采用各向同性渦黏假設(shè)，即求解過程不涉及亞網(wǎng)格渦黏系數(shù)的求解，模型中亞網(wǎng)格應(yīng)力被表示為亞網(wǎng)格湍動能和對應(yīng)的系數(shù)張量的函數(shù)。該模型詳細信息可見文獻［10］。

為研究缸內(nèi)流場擬序結(jié)構(gòu)特性，對一臺四氣門單缸光學(xué)發(fā)動機進行了大渦模擬，完成了連續(xù)100個周期的冷態(tài)流場計算。幾何建模、計算初始條件和邊界條件均與實驗保持一致，實驗詳見文獻［11］，發(fā)動機參數(shù)見表1。計算采用有限體積法，對流項2階中心差分格式，變時間步長，最小網(wǎng)格精度為0.5 mm，真實氣體Redlich-Kwong狀態(tài)方程，標準壁面函數(shù)，并通過PISO算法求解該非穩(wěn)態(tài)問題。在本文的表述中，0°CA規(guī)定為進氣沖程上止點時刻。

表1 發(fā)動機參數(shù)

3 結(jié)果與討論

在后臺階流或近壁面等基礎(chǔ)湍流流動模擬環(huán)節(jié)中，大渦模擬方法常常伴隨著采用高精度網(wǎng)格和高階離散格式，以便降低模型誤差和數(shù)值耗散誤差對模擬結(jié)果帶來的影響，特別是對微觀小尺度隨機湍流脈動的影響。Pope指出由高質(zhì)量的大渦模擬所獲得的可解尺度湍動能應(yīng)達到90%以上［12］，此時的大渦模擬可稱為“科學(xué)大渦模擬”。然而高精度的網(wǎng)格和數(shù)值離散格式對工程應(yīng)用，特別是內(nèi)燃機這種復(fù)雜幾何動邊界條件以及各項異性高瞬態(tài)多循環(huán)工作流場而言，并不實用。為了平衡計算效率和計算精度，計算常常采用低精度網(wǎng)格和低階離散格式，此時的大渦模擬又可被稱為“工程大渦模擬”［13］。故在本研究的大渦模擬計算環(huán)節(jié)，采用了較為稀疏的網(wǎng)格精度（最小網(wǎng)格尺寸為0.5 mm）和低階數(shù)值離散格式（2階中心差分格式）。

首先對大渦模擬計算得到的缸內(nèi)垂直對稱平面滾流場與PIV測量結(jié)果進行了對比，由于缸內(nèi)流場存在循環(huán)變動現(xiàn)象，單獨對比瞬態(tài)流場沒有實際意義，故首先將模擬和測量各自得到的100個連續(xù)流場進行相平均操作，然后進行比對，結(jié)果如圖1和圖2所示，線框表示PIV測量窗口范圍。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在早期進氣沖程階段，進氣射流強烈，其主導(dǎo)著缸內(nèi)整體流動形態(tài)，伴隨著活塞的下行，進氣射流強度持續(xù)下降，缸內(nèi)整體流動形態(tài)也從進氣射流演化為大尺度滾流，該大尺度流動特征一直延續(xù)到壓縮沖程階段。模擬結(jié)果和實驗結(jié)果對比良好，說明本文中采用的動態(tài)結(jié)構(gòu)大渦模擬模型可比較真實地再現(xiàn)發(fā)動機缸內(nèi)流場。由于缸內(nèi)流場是三維高度非定常湍流場，其中既包含著大尺度渦團運動，還包含著隨機分布的小尺度渦團運動，故二維流場不能全面反映發(fā)動機缸內(nèi)流場信息，特別是對于擬序結(jié)構(gòu)的特征信息。故以下工作將針對三維模擬結(jié)果展開，以期獲得較為全面合理的缸內(nèi)流場特征。

本文中采用Q準則完成缸內(nèi)渦團結(jié)構(gòu)識別工作。Q準則基于速度梯度張量不變量原則，標量Q的定義如下：

圖1 大渦模擬計算得到的缸內(nèi)對稱面滾流場

圖2 PIV測量得到的缸內(nèi)對稱面滾流場

式中：Ωij為速度梯度張量非對稱部分；Sij為速度梯度張量對稱部分。它們分別代表著旋轉(zhuǎn)率張量和非旋轉(zhuǎn)應(yīng)變率張量。當流場某處存在強烈渦團運動，該處的旋轉(zhuǎn)率張量幅值將明顯大于非旋轉(zhuǎn)應(yīng)變率張量幅值，即該處的標量Q值為正，且數(shù)值較大。據(jù)此，可根據(jù)標量Q值大小來顯示流場渦團強度，且其等值面可以很好地展現(xiàn)渦團結(jié)構(gòu)空間分布情況，故特別有利于識別大尺度擬序結(jié)構(gòu)。

圖3和圖4展示了采用Q準則識別的缸內(nèi)瞬態(tài)流場渦團結(jié)構(gòu)和瞬態(tài)流場流線分布情況。在進氣沖程階段，通過兩個進氣門產(chǎn)生的進氣射流相互干涉，然后產(chǎn)生較為復(fù)雜的滾流運動。進入氣缸的高速氣流和缸內(nèi)原有氣體之間形成強烈的相向剪切運動，進而促進大尺度渦團的產(chǎn)生。另外高速氣流和壁面的相互作用也促進了大尺度渦團的產(chǎn)生。較小尺度的渦團則主要產(chǎn)生并分布在缸內(nèi)中心區(qū)域。在進氣沖程后期階段，缸內(nèi)渦團運動強度顯著下降，大尺度渦團會被拉伸至破碎，進而產(chǎn)生數(shù)量眾多的小渦團，此時流場各項異性程度減弱。在壓縮沖程階段，大尺度渦團持續(xù)變形和破碎，進而促進小尺度渦團不斷產(chǎn)生，此時流場整體渦團強度變的更弱，且更加均質(zhì)化。通過以上過程，可以發(fā)現(xiàn)缸內(nèi)流場演變經(jīng)歷從進氣沖程強烈的各項異性，經(jīng)過流場渦團破碎強度衰減，在壓縮沖程階段逐漸趨于各向同性。

本文中將POD方法對大渦模擬缸內(nèi)流場數(shù)據(jù)進行加工，以期獲得更加詳細的流場擬序結(jié)構(gòu)信息。首先考察了POD方法的收斂特性。將不同數(shù)量“快照”流場（即不同周期流場）分別進行POD運算，若同樣階次的兩組POD模態(tài)保持一致，則說明所選用的“快照”數(shù)量實現(xiàn)了收斂目的，再額外增加“快照”數(shù)量，對于理解流場特性并不會增加額外的信息。文中采用相關(guān)性系數(shù)和誤差范式兩個參數(shù)來量化兩組不同模態(tài)空間信息差異性。在POD模態(tài)達到收斂的過程中，相關(guān)性系數(shù)應(yīng)逐漸接近1，而誤差范式則應(yīng)逐漸接近0。

本文中安排了9組由不同“快照”數(shù)量構(gòu)成的數(shù)據(jù)集合，9組集合分別包含20，30，…，100個“快照”數(shù)量，然后對每組集合分別進行POD運算。5個POD模態(tài)（模態(tài) 1，模態(tài) 3，模態(tài) 5，模態(tài) 7，模態(tài) 9）進行了收斂性參數(shù)計算，結(jié)果如圖5所示。在所有POD模態(tài)里，模態(tài)1代表著流場平均流動狀態(tài)，并攜帶著流場絕大部分能量，故該模態(tài)在較早階段就實現(xiàn)了收斂。對于其他高階模態(tài)（模態(tài)3-模態(tài)9）收斂速度則越來越慢。這表明對于獲取高階模態(tài)刻畫的流場信息，需要使用更多數(shù)量的“快照”。通過觀察相關(guān)性系數(shù)和誤差范式的收斂趨勢，可以發(fā)現(xiàn)在本次研究中使用90個“快照”即可實現(xiàn)各組模態(tài)收斂，即不必使用全部100個數(shù)量的“快照”。

圖3 缸內(nèi)擬序結(jié)構(gòu)

圖4 缸內(nèi)速度場流線

圖5 POD模態(tài)收斂情況

除了考察空間POD模態(tài)收斂情況，還可以考察POD模態(tài)含能收斂情況。在POD方法中，特征值大小可以反映POD模態(tài)含能分布情況。按照特征值幅值從大到小進行排列，所對應(yīng)的模態(tài)1則攜帶著流場絕大部分能量，而其他模態(tài)含能數(shù)量則逐漸遞減。本文中計算了不同數(shù)量“快照”流場進行POD運算后的特征值序列，并加以無量綱化。單獨模態(tài)含能情況以及多個連續(xù)模態(tài)累計能量情況如圖6所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，模態(tài)1攜帶的能量最先達到收斂，其他高階模態(tài)含能收斂速度則逐漸變慢，再次說明使用更多數(shù)量的“快照”有利于高階模態(tài)刻畫的流場信息獲取。

圖6 POD模態(tài)能量收斂情況

流場經(jīng)過POD分解后，不同的含能流場結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)有效分離，即低階模態(tài)反映大尺度含能高的流場結(jié)構(gòu)，如整體流動或局部擬序結(jié)構(gòu)等，而高階模態(tài)則主要反映空間隨機分布的小尺度渦團結(jié)構(gòu)。由于Q準則特別適用于三維流場渦團結(jié)構(gòu)的識別，故本研究采用Q準則對缸內(nèi)三維流場POD分解后得到的不同模態(tài)進行渦團識別，從而可以比較直觀地刻畫不同POD模態(tài)所反映的流場含能結(jié)構(gòu)三維空間分布。圖7～圖9是使用Q準則識別的6個不同POD模態(tài)（模態(tài)1，模態(tài)2，模態(tài)3，模態(tài)4，模態(tài)50，模態(tài)90）內(nèi)渦團空間分布情況。為方便不同沖程階段內(nèi)渦團空間分布對比，在3個不同曲軸轉(zhuǎn)角時刻，標量Q分別取值為2，0.3和0.2（數(shù)值越大表明渦團強度越高）。進氣沖程階段強烈的進氣射流主導(dǎo)著缸內(nèi)滾流運動，而高速氣體相向剪切運動則促進小渦團的隨機產(chǎn)生。通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)此時模態(tài)1中的標量Q主要刻畫了進氣射流運動情況下的渦團形態(tài)。這些渦團主要分布在進氣門氣道附近處，并攜帶著流場絕大部分能量，在之后的流場演變過程中，這些渦團將會變形并輸運到缸內(nèi)，逐漸演變成大尺度擬序結(jié)構(gòu)。模態(tài)2中的標量Q刻畫了缸內(nèi)流場整體滾流運動情況下的渦團形態(tài)，這部分渦團會伴隨著滾流運動實現(xiàn)空間分布的演變。模態(tài)3、模態(tài)4中的標量Q刻畫了一些較大尺度的擬序結(jié)構(gòu)，其主要分布在氣門下方缸體中央?yún)^(qū)域，這部分渦團結(jié)構(gòu)對缸內(nèi)流場湍動能的維持起到了重要的作用。正是由于通過擬序結(jié)構(gòu)的形成、變形和破裂，缸內(nèi)流場實現(xiàn)了能量級聯(lián)。而其他高階模態(tài)下的標量Q則主要刻畫小尺度隨機渦團結(jié)構(gòu)，從圖中也可以發(fā)現(xiàn)，模態(tài)越高其刻畫的小尺度渦團越具有隨機性，其空間結(jié)構(gòu)分布越來越均勻，即呈現(xiàn)各項同性的特點，這部分渦團在湍流黏性的作用下被逐漸耗散掉。在進氣沖程后期，進氣射流強度降低，缸內(nèi)流場整體流動強度同步減弱。越來越多的大尺度擬序結(jié)構(gòu)被拉伸并破碎成更多較小尺度渦團，流場能量則從大尺度含能渦團傳遞到小尺度渦團內(nèi)。通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，此時在POD模態(tài)1中的標量Q不再主要刻畫進氣射流中的渦團結(jié)構(gòu)，而是刻畫整體滾流運動情況下的渦團形態(tài)，與早期的整體滾流運動下的渦團形態(tài)相比，此時這部分渦團強度和數(shù)量呈現(xiàn)明顯降低。模態(tài)2～模態(tài)4中的標量Q則刻畫的是較大尺度擬序結(jié)構(gòu)，同樣，其他高階模態(tài)中的Q則依然刻畫小尺度渦團。在壓縮沖程階段，進氣射流影響消失，流場整體運動形態(tài)削弱，能量級聯(lián)現(xiàn)象依然在渦團不斷破裂的過程中發(fā)生。大量隨機小渦團不斷產(chǎn)生，并分布在缸內(nèi)整個空間，流場逐漸趨于各向同性。此時模態(tài)1中的標量Q依然刻畫整體滾流運動中的渦團結(jié)構(gòu)，模態(tài)2中的標量Q刻畫隨機分布的擬序結(jié)構(gòu)，其他高階模態(tài)中的標量Q刻畫尺度逐漸減小的渦團結(jié)構(gòu)。通過以上分析可知，采用Q準則對本征正交分解后的POD模態(tài)進行加工，可以很好地識別不同含能結(jié)構(gòu)內(nèi)的渦團，以便研究者觀察和分析這些渦團的空間形態(tài)分布和演變情況。

圖 7 90°CA ATDC（Q=2）

圖 8 180°CA ATDC（Q=0.3）

圖 9 270°CA ATDC（Q=0.2）

4 結(jié)論

本文中主要研究缸內(nèi)流場擬序結(jié)構(gòu)特性，通過對一臺四氣門單缸光學(xué)發(fā)動機進行了大渦模擬冷態(tài)流場計算，計算結(jié)果通過PIV實驗驗證。采用Q準則方法來識別缸內(nèi)包括擬序結(jié)構(gòu)在內(nèi)的不同尺度流場渦團結(jié)構(gòu)。隨后采用本征正交分解方法對模擬得到的缸內(nèi)流場數(shù)據(jù)庫進行深加工，主要結(jié)論如下。

（1）進氣沖程階段，進氣射流強烈，其主導(dǎo)著缸內(nèi)整體流動形態(tài)，缸內(nèi)滾流運動形態(tài)形成，流場速度可達10 m/s。高速射流氣體與缸內(nèi)原有氣體相向剪切運動產(chǎn)生較大尺度渦團。在壓縮沖程階段，渦團強度減弱，大尺度不斷破碎成小尺度渦團，流場速度下降到5 m/s以下。能量級聯(lián)現(xiàn)象在該過程中發(fā)生，流場逐漸趨于各向同性。

（2）對于POD操作，雖然較多數(shù)量的流場“快照”有利于分析高階POD模態(tài)反映的流場信息，但“快照”數(shù)量達到一定程度后，額外增加流場“快照”并不能有效地提供更多流場信息，如本研究中采用90個“快照”即可很好地描述所有100個“快照”全部信息。

（3）POD模態(tài)和Q準則的結(jié)合使用，可以很好地識別和刻畫不同含能尺度下的缸內(nèi)流場結(jié)構(gòu)，低階模態(tài)（模態(tài)1-模態(tài)4）主要識別整體流動狀態(tài)和大尺度擬序結(jié)構(gòu)，而高階模態(tài)則（模態(tài)50-模態(tài)90）主要識別缸內(nèi)隨機分布的小尺度渦團結(jié)構(gòu)。