2019年高考數(shù)學Ⅱ卷試題分析及教學建議

李曉群 魯巖 孟繁晶

摘 要：本文對2019年高考數(shù)學Ⅱ卷試題進行分析，闡述了試題具有聚焦主干知識，突出核心素養(yǎng);聯(lián)系社會熱點，強調數(shù)學應用;考查數(shù)學思維，選拔功能明顯;增強文化滲透，體現(xiàn)立德樹人的四大特點.另外給出了兩點教學建議.

關鍵詞：試題特點;解答題分析;教學建議

作者簡介：李曉群（1977-），女，黑龍江人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數(shù)學教學;

魯巖（1972-），女，黑龍江人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數(shù)學教學;

孟繁晶（1976-），女，黑龍江人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數(shù)學教學.

1 試題分析

2019年高考數(shù)學試題的命題依據(jù)是《考試大綱》和《數(shù)學課程標準》，聚焦學科主干的內容，突顯了關鍵能力和數(shù)學素養(yǎng)的考查，重視數(shù)學應用價值，關注創(chuàng)新意識培養(yǎng)，滲透數(shù)學文化知識.試題著重考查主干知識、基本能力、核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了重視思維、關注應用、鼓勵創(chuàng)新的指導思想.2019年理科試卷總體結構變化很大，試題難度也比2018年明顯加大，主觀題在各部分的內容布局和考查難度上進行了較大的改變，打破了過去導數(shù)壓軸題的慣例，以解析幾何作為壓軸大題.這在一定程度上考查了考生的心理素質、靈活應變能力和積極調整適應的能力.2019年試題突顯了數(shù)學學科素養(yǎng)的導向，注重基本能力的考查，全面覆蓋了基礎知識，增強了綜合性及應用性，以社會生活中真實情境作為問題的載體，貼近實際，聯(lián)系社會生活，在數(shù)學教育和評價中真正地落實了“立德樹人”的根本任務.

從文理考題差異來看，2018年感覺就是近在咫尺，而2019年卻遠在天涯，文理考題差異漸行漸遠，若即若離.2019年填空選擇文理考題只有6道題完全相同.解答題除了立體幾何第一問和選做題以外均與理科不同，這與2018年高考題的導向完全不同.但是試題整體難度遠低于理科.2017-2019年文理科考點見表1：

2 2019年全國Ⅱ卷理科試題特點

2.1 聚焦主干知識，突出核心素養(yǎng)

2019年數(shù)學高考試卷注重對高中基礎內容的全面考查.三視圖與2018年一樣仍然沒有考查，2019年算法沒有考查，理科線性規(guī)劃沒有考查，這與新課標的導向一致.過去的三年連續(xù)在小題中對異面直線成角的考查，今年的試題中沒有出現(xiàn).排列組合二項式定理今年也都沒有考查.填空壓軸題為立體幾何而且兩個問題，這是之前高考題沒有嘗試過的新考法.

在此基礎上，試卷強調對主干內容的重點考查，體現(xiàn)了全面性、基礎性和綜合性的考查要求.理科Ⅱ卷客觀題除了第4小題的情境問題讓學生感覺略顯慌張以外，其余試題比較常規(guī).在解答題中重點考查了函數(shù)與導數(shù)、概率、數(shù)列、立體幾何、直線與圓錐曲線等主干內容.解答題題目順序調整之大史無前例！正如我校在考前16天所做的考前指導里說的那樣，2019年數(shù)學考題會有翻天覆地的變化，當初猜測的就是題目順序的變化.看到試卷之后才真正明白了翻天覆地的含義！

理科第17題為立體幾何大題，屬于非?；A的問題，長方體為問題背景，沒有以往復雜的證明和艱難的計算，而且第二問回避了二面角銳角或是鈍角的判斷.

理科第19題是數(shù)列問題，雖然不是專家們預測的三角函數(shù)大題，但是題目很簡單，對學生來說較為輕松，需要注意的是第一問作答時，首項和公差、公比的描述.打破了近五年三角函數(shù)和數(shù)列交替出題的慣例，而且題目位置由第一道大題調到了第三道大題.

選做第22題極坐標參數(shù)方程考查的是極坐標的知識，對學生來說問題有兩點：（1）沒有直角坐標系，如果第一問用直角坐標轉化是否需要敘述建系過程？（2）第二問的完備性仍然是學生的難點問題，這與近三年極坐標的考查方向是一致的，學生會卻難得滿分.

選做第23題不等式選講，這道題和以往考查方向不同，這是一個二次的分段函數(shù).雖然第一問難度不大，但是這道題中涉及的二次的問題是學生平時見得較少的（17年全國Ⅲ卷曾經考過），包括第二問，無論是分段研究解不等式還是圖象突破都需要學生嚴謹?shù)乃季S和計算能力.這與一直以來，考查關于一次絕對值不等式的解集、參數(shù)范圍或證明問題差別較大.相同之處是分類討論的解題思想.

2.2 聯(lián)系社會熱點，強調數(shù)學應用

2019年的數(shù)學高考試題，注重了與國家社會經濟的發(fā)展、科學技術的進步和生產生活實際緊密的聯(lián)系起來，通過創(chuàng)設真實的問題情境，著重考查了考生靈活運用高中數(shù)學知識分析和解決應用問題的能力.如今年高考理科Ⅱ卷客觀題的第13題，以我國高鐵列車的發(fā)展為問題背景、文科Ⅱ卷主觀題第5題以 “一帶一路”知識測驗為問題情境設計題目，實則考查了學生邏輯推理的能力;理科Ⅱ卷主觀題第4題聯(lián)系“嫦娥”四號的技術突破，考查了學生估算的能力，反映我國航空航天事業(yè)所取得的突出成就.這些試題充分發(fā)揮了思想教育的功能，體現(xiàn)了 “立德樹人”的教育宗旨.這些真實情境來源于不同的領域，貼近生活中的實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學應用的價值，有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高對數(shù)學應用價值的認知，提升數(shù)學核心素養(yǎng)，對中學的素質教育有很好的促進作用.

理科第18題引入國人引以為傲的乒乓球運動，以比賽結果的預估提出問題，要求考生應用數(shù)學知識方法來分析、解決體育問題.體現(xiàn)了數(shù)學應用的價值.2017年、2018年均考查的是統(tǒng)計大題，今年理科試題的兩問均為概率，在學生對題目進行充分的理解后作答應該不會困難，但是過程書寫、閱卷的要求不清楚，如果按照教材中給出的書寫要求，學生恐怕不容易得滿分.

2.3 考查數(shù)學思維，選拔功能明顯

2019年的數(shù)學考題與之前三年的考題比較，強化思維，有效區(qū)分不同思維層次的考生.今年試題非常側重對邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力的考查.命題從知識立意到能力立意，再從能力立意發(fā)展到學科素養(yǎng)立意，目的就是以數(shù)學知識為載體，培養(yǎng)學生的理性思維和數(shù)學精神，考查考生理性思維的廣度和深度，滿足了高校對人才選拔的需求.

理科第20題導數(shù)，兩問均為證明問題，考查形式變化較大.以往的導數(shù)大題會有一大部分學生因為難度較大或沒時間作答而選擇舍棄，今年的這道題無論從思維還是運算難度都比較合理，屬于比較常規(guī)的典型問題.但對于第一問的定義域和零點存在的敘述也不容易拿到滿分.第二問函數(shù)公切線的問題曾在2016年全國Ⅱ卷填空壓軸題出現(xiàn)過，屬于比較程序化的解題思路.

理科第21題以解析幾何壓軸出現(xiàn)，相當于三個問題.第一問比較常規(guī)，題目原型是教材的課后習題，但是完備性的問題需要特別注意;第二問借助于二級結論（需要證明）解決能相對容易一些.注意代數(shù)和幾何條件的轉化，最值求解方法比較開放.但無論思維考查還是運算量都需要學生過硬的基本功，有很好的選拔功能.對于“新課標”所提到的圓錐曲線整體要求有所下降似乎沒有任何導向作用！

2.4 增強文化滲透，體現(xiàn)立德樹人

中華民族有著悠久的歷史和文化積淀，它是我們民族的根基和靈魂，也是立德樹人、繁衍發(fā)展的文化血液，蘊含著強大感召力.2019年高考數(shù)學試題把其中的精華引入到了考試內容中，既刻上了中華文化的烙印，又有東方數(shù)學文化的風韻，發(fā)揮如沐春風、潤物無聲的作用.文、理科Ⅱ卷客觀題第16題融合了中國悠久的金石文化，賦以幾何體以真實的問題背景，考查了學生的空間圖形的轉化能力和空間想象能力，引導學生關注數(shù)學文化，發(fā)現(xiàn)幾何之美.

其實，數(shù)學之美無處不在.數(shù)學之美體現(xiàn)在：簡潔的語言、精巧的構造、嚴謹?shù)慕Y構、代數(shù)的優(yōu)雅、幾何的神韻、清澈的理性等多方面.

3 教學建議

3.1 創(chuàng)造真實的問題情境，通過問題驅動系統(tǒng)實現(xiàn)學生思維能力的提升

今年的高考題無論是嫦娥四號、金石文化的印信、一帶一路還是中國高鐵等問題，學生之所以慌張，主要原因是平時像這樣在真實的情境下解決問題的機會太少了.我們更多見到的是一個單刀直入的數(shù)學問題，那么在生活實踐中哪里會有這樣的問題：這個函數(shù)的表達式是什么？最值又是多少？而這樣的問題背景實際是一個決策問題，整個過程是一個數(shù)學建模的過程.說到這里可能老師在想，平時的考題中一定要多多加入這樣實際問題情境的問題，我想這樣的訓練僅在考試中加強還是遠遠不夠的，要把這樣的應用意識滲透到每一節(jié)課，就像我們學校正在實行的國家課程校本化所倡導的那樣，每一節(jié)課不是講知識和做訓練，而是讓學生在真實的問題情境下發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析并解決問題.只有關注學生思維的成長，才能讓我們的課堂走向“啟迪智慧、點化生命”的高度.

所謂創(chuàng)設問題情境，實際上是把數(shù)學問題隱藏在一個問題情境之中，或者是將數(shù)學問題引伸到實際問題中，從而引發(fā)認知沖突，點燃學生思維的火花.所以，在平時的教學活動中教師應創(chuàng)設真實問題情境，建立問題驅動系統(tǒng)，以問題驅動為主線，通過真實問題情境的創(chuàng)設來調動學生的學習熱情和思維的積極參與，使學生能聽言，入境，帶領學生以積極愉悅的心態(tài)去主動探索，善于研究.

囿于傳統(tǒng)教學的思維定式，我們早已經習慣用單純的數(shù)學知識來解決單純的數(shù)學問題.要讓數(shù)學問題發(fā)揮它真正的研究和應用價值，對傳統(tǒng)的教學方式的挑戰(zhàn)，也是我們必須要逾越的第一道障礙.唯有教師自身有堅定的改革信心并具備了扎實的課程研究能力，并對數(shù)學教學初心不改，始終以敬畏、好奇的研究精神發(fā)掘生活中有意義的教學素材，數(shù)學教學才能真正跳出唯知識、方法論的狹隘層面，從而才能使數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根，并走向培養(yǎng)學生高階思維的教學！

問題驅動教學提倡教師引導學生經歷完整的問題解決過程，在整個過程中，教師應特別關注學生的活動體驗、獨立鉆研和學生之間的互動交流，自覺地運用所學知識和數(shù)學思維方式去觀察、發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題.借助合理科學的問題情境載體，真正實現(xiàn)“為數(shù)學的核心素養(yǎng)而教”“為學生的可持續(xù)發(fā)展而教”的目的.2019年數(shù)學高考題為我們指引了方向并堅定了信心.

3.2 重視細節(jié)的教學，養(yǎng)成良好的學習習慣

2019年的高考題選拔功能明顯，對于一些同學來說，想得到一個滿意的分數(shù)就需要做到“會的全對”，步驟上“無懈可擊”.所以，在日常教學中教師應該要求學生做到規(guī)范做答，并努力作到“會則對，對則滿”，引導學生注意怎樣書寫才能不丟分，如何去爭取步驟分.一定強調良好書寫習慣的重要性，訓練重點要落在速度快、表達全、計算準三個方面.考試的時間緊，復習時特別強調要有速度意識，加強速度訓練，不斷提醒學生，對于有些題，用時過多，步驟書寫廢話太多，即使此題做對了，其實也是“潛在丟分”.一定不要“小題大做”.

數(shù)學高考試題歷來重視運算能力的考查，運算要熟練、準確，運算要簡捷、迅速.事實證明，在以中低檔難度為主體的試題測試中，考生想獲得正確的思路一般來說比較容易，如何規(guī)范而準確地表達就變得相當重要了，所以，要求考生一定要將解答過程書寫得結構完整、層次分明.具體建議有如下四點：

（1）課堂上培養(yǎng)學生認真審題的習慣（特別是應用問題），通過反復認真的讀題、標記關鍵詞語，將問題用自己的語言重新表述、對數(shù)學語言進行再加工，進而努力尋找解題突破口;

（2）課堂上善于將典型問題的解題過程程序化.通過對問題的典型性、層次性、綜合性進行分析，尋找解決問題的捷徑.例如：看到有根號時，常想到平方、有理化、兩點間距離公式等.遇到求取值范圍和最值問題時，通常想到一個變量函數(shù)思想和兩個變量的不等式思想;

（3）課堂上培養(yǎng)學生“說”解題的思維過程，“聽懂了卻不會做”類似于這樣的問題是學生身上普遍存在的問題，其實究其原因是學生沒有真正學會思考，把數(shù)學學習當成簡單記憶.所以解題時教師一定要追問：本題要怎樣想，為什么要這樣想？特別是清晰如何做，怎么想到要這么做，還可以怎樣做？等等.

（4）課堂上規(guī)范和培養(yǎng)學生計算和用草紙的習慣，在講解解答題時規(guī)范每一步的解題步驟，強調易丟分的步驟，必要時教師一定要板演打樣.

例如：數(shù)列中的n≥2;三角中的A∈（0，π）;證明等差、等比時要說明首項及公差公比;概率過程的書寫等.

總結起來：解題方法多樣化、格式書寫規(guī)范化、重要結論工具化、解后思路程序化.

總之，2019年數(shù)學試卷反饋給我們的信息就是：回歸課本，發(fā)展學生的基本數(shù)學思維，注重數(shù)學思維的培養(yǎng).考生除了需要吃透課本、抓實基礎、注意通性通法以外，還需要強大的心理來應對情境問題和突如其來的變化.

教師要特別重視數(shù)學閱讀、表達、數(shù)學應用、邏輯推理等關鍵能力的培養(yǎng)，特別關注運用數(shù)學方法解決應用問題的教學.注重帶領學生經歷數(shù)學知識的生成，以及問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的完整過程，充分挖掘數(shù)學問題的遷移功能和內在價值，提升學生思維的延展性與創(chuàng)新性及應用性.為培養(yǎng)出更多的具有生命活力、研究潛力、創(chuàng)新能力和報國實力的未來棟梁，我們一線教師是時候該行動起來啦！

（收稿日期：2019-06-25）