高考數(shù)學(xué)“數(shù)列”試題分析與教學(xué)建議

摘 要：數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要內(nèi)容之一，也是未來(lái)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一.它作為一種特殊的函數(shù)，在高考中經(jīng)常與其它數(shù)學(xué)知識(shí)交互聯(lián)系，并以選擇、填空、解答題形式出現(xiàn).命題人依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》的要求，在近幾年把數(shù)列當(dāng)作熱門考點(diǎn)進(jìn)行命題，以考查學(xué)生“四基”“四能”、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)聯(lián)系的掌握程度.本文對(duì)2016-2019年高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷中數(shù)列試題的特點(diǎn)進(jìn)行分析，并提出了一些教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;試題分析;教學(xué)建議

作者簡(jiǎn)介：唐宇亮（1994-），男，黑龍江齊齊哈爾人，碩士研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）.

1 引言

數(shù)列屬于人教A版教材必修五中第二章的內(nèi)容，包含“數(shù)列的概念”“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”三部分.在高考試題中該專題所占分值少則5分，多則12分，主要以選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，在高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷中更是頻頻以解答題的形式出現(xiàn)，所以這個(gè)專題是高考必考內(nèi)容之一，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)必修部分重要的教學(xué)內(nèi)容之一.

2016-2019年的高考試題的解答題部分尤為“偏愛”數(shù)列這個(gè)專題，連續(xù)四年在解答題部分扮演著重要的角色.命題人這樣做的目的不僅是為了契合考綱，也是為了培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)思想.所以本文深入研究數(shù)列專題的考點(diǎn)和解題特點(diǎn)，主要針對(duì)2016-2019年高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷中的數(shù)列解答題進(jìn)行分析與研究，并在此基礎(chǔ)上給出實(shí)用的教學(xué)建議.

3 2016-2019年全國(guó)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)中數(shù)列試題特點(diǎn)

通過(guò)分析2016-2019年的高考試題可知，數(shù)列解答題仍然以等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和為主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行命題.對(duì)取整函數(shù)、解二元一次方程組、函數(shù)最值問題、對(duì)數(shù)相關(guān)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查.總的來(lái)說(shuō)，全國(guó)Ⅱ卷的文科數(shù)學(xué)數(shù)列試題相對(duì)理科要更基礎(chǔ)、更常規(guī)，但方式也更靈活，既考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，又能更好地檢測(cè)學(xué)生結(jié)合其他知識(shí)的綜合水平.比如，對(duì)于2016年試題第（2）問，若不能理解x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)以及題干中給的取整函數(shù)的例子，就不能知道前十項(xiàng)和如何計(jì)算;對(duì)于2017年試題所涉及的解二元一次方程組取值問題和2018年試題的一元二次方程求最值問題，都是考查學(xué)生對(duì)于方程的理解以及細(xì)節(jié)上的取值范圍問題，也是相對(duì)困難的;而對(duì)于2019年的最新試題來(lái)說(shuō)，第（1）問相對(duì)常規(guī)，第（2）問結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算思想，若不了解logaax=x這樣的運(yùn)算，也很難完成.綜上所述，高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)列試題第（1）問偏基礎(chǔ)常規(guī)，主要考查基礎(chǔ)公式，第（2）問多結(jié)合其他知識(shí)，綜合性較強(qiáng).

4 高中數(shù)學(xué)“數(shù)列”教學(xué)的建議

4.1 注重“四基”“四能”

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：培養(yǎng)“四基”（即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、發(fā)展“四能”（即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）.高考雖然是一種能力的測(cè)試，但是萬(wàn)變不離其宗.從近些年的全國(guó)卷來(lái)看，本考點(diǎn)集中在等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和上，試題越來(lái)越側(cè)重通性通法，淡化特殊技巧.

在此觀點(diǎn)下的教學(xué)中應(yīng)做到：（1）通過(guò)加強(qiáng)數(shù)列概念教學(xué)，等差、等比數(shù)列相關(guān)公式、性質(zhì)的由來(lái)以及推導(dǎo)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能;通過(guò)回歸教材，從教材的編寫中得到啟示，教會(huì)學(xué)生利用公式解決數(shù)列基本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);（2）通過(guò)故事形式的導(dǎo)入及設(shè)置問題的情景講解基本概念，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力;（3）運(yùn)用“引導(dǎo)——發(fā)現(xiàn)”的模式，通過(guò)事先的情景導(dǎo)入進(jìn)一步分析問題所在并解決相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

4.2 用聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)列

數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，可以更好地把握數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，等差與等比之間的聯(lián)系，以及數(shù)列解題方法的聯(lián)系等.近些年的高考試題很好地體現(xiàn)了數(shù)列與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，例如與一元二次方程、基本初等函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式等的聯(lián)系.

在此觀點(diǎn)下的教學(xué)中，教師可以講解具有數(shù)列與其他知識(shí)相結(jié)合的試題，找到解決該問題所涉及的“幾重聯(lián)系”（即是等差與等比數(shù)列之間的綜合性問題？還是數(shù)列與方程相結(jié)合的問題？等），通過(guò)分析找出解題的整體思路，從知識(shí)與方法兩個(gè)方面指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題.

4.3 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

早在古代就存在很重要的數(shù)列，例如，斐波那契數(shù)列;中國(guó)古代也有相關(guān)數(shù)列的著作，例如，《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》等.從內(nèi)容上來(lái)看，它們都與生活息息相關(guān)，這些內(nèi)容可以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)文化，而優(yōu)秀的文化對(duì)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)起到了積極的作用.考查學(xué)生應(yīng)用的創(chuàng)新意識(shí)，是《課標(biāo)》中要求學(xué)生必須具備的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析）.

在此觀點(diǎn)下的教學(xué)中應(yīng)做到：（1）教師可以給學(xué)生提供一個(gè)數(shù)軸，然后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上的數(shù)與數(shù)之間存在的“規(guī)律”，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等，再將它們逐個(gè)提取出來(lái)可以得到一個(gè)個(gè)數(shù)列，就可以完成一個(gè)從直觀想象到逐步理解數(shù)列定義的抽象過(guò)程;（2）教師可以給出一些特殊數(shù)列，像常數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列和有限數(shù)列等讓學(xué)生進(jìn)行分類，學(xué)生分類的同時(shí)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)再去分析未知模型，此舉意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力;（3）教師在給出數(shù)列通項(xiàng)公式之后，通過(guò)一定的習(xí)題去演練，然后再通過(guò)演練題型的變式，通過(guò)一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力.

4.4 完善的教學(xué)評(píng)價(jià)

4.4.1 評(píng)價(jià)的開放性與多元化

不僅要對(duì)教師的課堂教學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)，也要進(jìn)行學(xué)生的數(shù)列學(xué)習(xí)評(píng)價(jià).關(guān)注學(xué)生的知識(shí)技能掌握、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，不僅評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，也要評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程.可以結(jié)合“教師——學(xué)生——家長(zhǎng)”三方面的主體來(lái)納入評(píng)價(jià)體系，從生理、心理、表現(xiàn)等開放多元性的途徑來(lái)進(jìn)行綜合性評(píng)價(jià).

4.4.2 評(píng)價(jià)方法要更加“彈性”

教育部2017年新頒布的《課標(biāo)》明確：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要融入課程、教學(xué)和評(píng)價(jià)之中，可以看出除了“教”與“學(xué)”之外，評(píng)價(jià)的方式方法也受到了重視.大多數(shù)對(duì)于學(xué)生的評(píng)價(jià)只以“考試”的形式為標(biāo)準(zhǔn)，這樣的硬性指標(biāo)只能從單一的方面看待學(xué)生學(xué)業(yè)完成的基本情況，對(duì)于學(xué)生的興趣、創(chuàng)新意識(shí)和情感價(jià)值觀方面卻很少關(guān)注.為了避免這種情況，可以通過(guò)教師與學(xué)生談話溝通、小組合作學(xué)習(xí)、心靈溝通的班會(huì)等形式進(jìn)行評(píng)價(jià).

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（收稿日期：2019-07-09）