既可意會也可言傳

陳韓飛

【摘要】本文通過三個教學(xué)片段，舉例說明課堂上怎樣培養(yǎng)高中生立體幾何的直觀感知能力，并對本課作反思。

【關(guān)鍵詞】直觀感知 ?操作確認(rèn) ?思辨論證 ?度量計算 ?培養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）28-0122-02

1.發(fā)現(xiàn)問題

人教A版《數(shù)學(xué)2》導(dǎo)引中指出：“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算是認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法[1]”，那么，高中立體幾何怎樣進行學(xué)生直觀感知能力的培養(yǎng)？本文選取“直線與平面垂直的判定”的三個片段為例，談?wù)剬Υ藛栴}的一些思考，旨在交流分享。

2.直觀感知的理解

徐利治先生提出：“直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！盵2]立體幾何的直觀感知能力是空間想象力的重要方面，它是以空間幾何體為載體，通過空間點、線、面位置的觀察，感知它們之間的空間關(guān)系，從而作出判斷。但是，直觀感知能力受個人經(jīng)驗、直觀洞察力、判斷能力等主觀因素的限制，所作出判斷不一定是正確的，還需要確認(rèn)。確認(rèn)的方式有三種：操作確認(rèn)，思辨論證，度量計算。所以，直觀感知能力的培養(yǎng)是離不開這三種方式的。在教學(xué)中一定要有機結(jié)合起來。

3.三個教學(xué)片段

3.1教學(xué)片段1直線與平面垂直的定義

情景設(shè)置在陽光下，直立于地面的旗桿與它的影子

問題1旗桿與影子是否垂直？旗桿與地面上的任意直線a，b是否都垂直？你能用兩支筆說明嗎？

設(shè)計意圖 直觀感知垂直的兩條直線是相交或異面直線

問題2 如果一條直線與一個平面垂直，那么直線與平面內(nèi)的直線是怎樣的關(guān)系？你能給直線與平面垂直下一個定義嗎？

設(shè)計意圖 從具體到抽象、從特殊到一般，歸納出定義

片段說明 旗桿垂直地面的現(xiàn)象是學(xué)生觀察到，這是學(xué)生的生活經(jīng)驗。旗桿與影子垂直，這是初中平面幾何中的“兩相交直線垂直”，存在垂足。但兩異面直線垂直且沒有垂足，學(xué)生“人生字典”里翻不到了。在教師引導(dǎo)下，通過平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷相交直線是否垂直，從而確認(rèn)兩異面直線是否垂直。從這里可以看出，直觀感知能力受個人經(jīng)驗的限制，需要借助度量計算或推理論證來打開局限性。

3.2教學(xué)片段2 ?探究 ?如圖，將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的紙片豎起放置在桌面上，使BD、DC與桌面接觸，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系。

問題1 如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？

設(shè)計意圖 通過操作調(diào)整獲得正確的翻折方法。

問題2上述的折痕與多少直線垂直？直線與平面垂直的定義中，直線與平面多少條直線垂直？是否需要都去說明這些垂直？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生歸納出：無數(shù)組垂直轉(zhuǎn)化為有限組（兩個）垂直

片段說明 通過直觀感知和操作確認(rèn)，歸納得到的線面垂直的判定定理，這種處理方式，使教學(xué)過程更加流暢，學(xué)生更容易接受。這種合情推理的方式，雖然不夠嚴(yán)密，但是能得到學(xué)生的認(rèn)可，有助于對定理的理解。

3.3教學(xué)片段3 ?直線與平面判定定理的應(yīng)用

例題 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC。

問題1 要證明：AE⊥平面PBC，需要幾個條件？有哪個條件？還缺條件嗎？

設(shè)計意圖 從三個關(guān)系A(chǔ)E⊥PC，AE⊥PB，AE⊥BC中確定兩個，其中AE⊥PC已知，AE⊥PB，AE⊥BC二選一

問題2 從AE⊥PB，AE⊥BC中選取哪一個呢？哪個位置好、關(guān)系多就選哪個？

設(shè)計意圖 在底面內(nèi)的水平線與豎直線都是比斜線位置好;題目條件中提到的直線就是關(guān)系多。

問題3 要證明AE⊥BC，你覺得AE與BC是相交直線還是異面直線？兩異面直線垂直該怎么證明？

設(shè)計意圖 用直線與平面垂直定義的逆命題證明

問題4 要證明BC⊥平面PAC，有哪些條件？還缺條件嗎？

設(shè)計意圖 通過問題1學(xué)生基本上學(xué)會“三選二”

片段說明 “直線與平面垂直判定定理”的應(yīng)用易采用分析法，即從結(jié)論出發(fā)由果索源。在這個過程中，會遇到“該選哪一組垂直”的問題，那么應(yīng)該怎樣取舍呢？應(yīng)該選擇“位置好的、關(guān)系多的直線”。一般來說，水平直線與豎直直線的位置比斜線的位置好;題目中條件多的直線比沒條件的直線要好。這里的“好與不好”就是一種直觀感知，但是最終的選擇是否恰當(dāng)，還需要嚴(yán)密的推理確認(rèn)。

4.我的感悟

（1）培養(yǎng)學(xué)生立體幾何的直觀感知能力，方法應(yīng)該靈活多樣。比如異面直線的既不像平行也不像相交的體會，可以先讓學(xué)生用兩只筆比劃，再從教室里找這樣的線，再用橋上通過的車與河上航行的船，讓學(xué)生體會。提供足夠多實例，讓學(xué)生獲得體會后，再紙上談兵。應(yīng)用“直線與平面平行的判定定理”時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找線?？梢杂贸咄破叫芯€粗略找到，確定采用哪條直線。對于垂直問題，教師往往把重心放在邏輯推理上，往往忽視垂線與垂面位置的感知：斜面配斜線，水平配豎直。

（2）培養(yǎng)立體幾何的直觀感知能力，應(yīng)該重視三視圖，尤其要重視由三視圖還原成直觀圖這一類問題。這似乎是“只可意會，不可言傳”的一塊內(nèi)容，但是，教師可以從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，循序漸進地訓(xùn)練，似乎也能“言之鑿鑿、收獲多多”。下面以棱椎為例作一說明。

要重視頂點在底面投影的位置的訓(xùn)練，要重視教材的配套練習(xí)：

由于學(xué)生空間想象力的不同，三視圖的感知能力也不一樣，需要反復(fù)訓(xùn)練。

（3）要常布置畫圖作業(yè)，使學(xué)生在畫圖中體會點、線、面的關(guān)系，從而提高空間直觀感知能力可以嘗試讓學(xué)生抄題后再做題。現(xiàn)在的作業(yè)都是現(xiàn)成的課外資料，就算是老師補充的練習(xí)也是打印的，雖說這是節(jié)省了時間，但也削弱了學(xué)生畫圖能力。?？吹綄W(xué)生畫的立體圖形全是實線，沒有虛線。底面的正方形就是平面幾何的正方形，正三角形就是三邊相等的正三角形。被平面擋住的線段畫虛線的學(xué)生就更少了，至于幾何體怎么放置虛線最少那就更不講究了。這些問題除了老師及時糾正以外，還需要學(xué)生學(xué)習(xí)與模仿。所以，布置畫圖作圖是提高學(xué)生直觀感知能力的比較好的途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué).《數(shù)學(xué)2》人民教育出版社 2007.

[2]姜建平.新課程背景下空間思維障礙的突破[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2005（10）：5-7.