幾何模型教學(xué)研究

張軍

[摘? ?要]在幾何教學(xué)中建立幾何模型，類比遷移知識(shí)，能培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜的問題中提煉出幾何模型，解決問題的數(shù)學(xué)意識(shí)，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]幾何模型;核心素養(yǎng); 圓;相似

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）23-0011-02

新課程的改革和教育要求的改變，要求教師在教學(xué)時(shí)不僅要教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，還要注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在初中的幾何教學(xué)中，建立幾何模型，可以把復(fù)雜的幾何問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生探索問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

在平時(shí)幾何教學(xué)中，我們要有意識(shí)地幫助學(xué)生歸納、總結(jié)出一些平面基本圖形，提高學(xué)生的幾何直觀能力.本文以我市一堂初三復(fù)習(xí)課《圓中的相似》教學(xué)為例，談?wù)勗趲缀谓虒W(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的幾點(diǎn)啟示.

一、探究模型，培養(yǎng)模型意識(shí)

根據(jù)學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”原理構(gòu)建基本圖形框架，從最簡單的問題入手，幫助學(xué)生掌握基本的結(jié)論和方法，構(gòu)建幾何模型.探究的問題不是學(xué)生所學(xué)知識(shí)的簡單重復(fù)，而是將學(xué)生已有知識(shí)建立聯(lián)系，形成體系，讓學(xué)生看到基本圖像，想到基本結(jié)論.

建立模型：如圖1，在⊙O中，弦[AB]，[CD]相交于點(diǎn)[P]，連接AC，CB，BD，DA，圖中的相似三角形有哪些？

生1：[△APC∽△DPB]，[△ADP∽△CBP]（說理略）.

師：這里的圓形給我們提供了什么條件？

生2：根據(jù)“同圓中同一條弧所對(duì)的圓周角相等”提供了相等的角.

師：“[△APC∽△DPB]”是哪一種基本相似模型？寫出對(duì)應(yīng)線段的比例式.

生3：是我們前面學(xué)過的相似里的“斜[Χ]”型，比例式為[APDP=PCPB=ACBD].

（教師表揚(yáng)該生的讀圖能力，并且板書基本圖形1.）

師：若點(diǎn)[A]為弧[CD]的中點(diǎn)時(shí)，與[△ADP]相似的三角形除了[△CBP]外還有嗎？

生4：[△ADP∽△ABD]（說理略）.

師：這里圓也提供了“等弧對(duì)等角”的條件，你能找出這是哪種相似模型嗎？

生4：斜母子型.

（教師板書基本圖形2）

師：若延長[DA，BC]交圓外一點(diǎn)[E]，如圖2（圖略）.與[△EAC]相似的三角形是? ? ? ? ? ? ? ?.

生5：[△EAC∽△EBD].這是“斜A”型相似.

師：太棒了！思維很嚴(yán)謹(jǐn).我們來總結(jié)一下圓中的這些相似幾何模型.

（教師板書：基本模型——相似三角形——對(duì)應(yīng)比例式）

評(píng)析：“授人以魚，不如授人以漁”，引導(dǎo)學(xué)生通過基本圖形的歸納與總結(jié)，理解圓作為問題背景的作用，抓住問題的本質(zhì)，將圓的知識(shí)與三角形相似進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，從而理解幾何模型的結(jié)構(gòu);讓學(xué)生經(jīng)歷幾何模型的形成過程，重視培養(yǎng)學(xué)生思考和分析問題的能力，注重培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，使學(xué)生能利用幾何模型把復(fù)雜的問題簡單化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、立足模型，培養(yǎng)推理能力

圓中的問題種類繁多，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求較高.教師設(shè)計(jì)的問題要能促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展.從幾何模型的本質(zhì)屬性入手，在直角三角形和三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)處設(shè)計(jì)問題，在類比、分析等合情推理的基礎(chǔ)上感悟幾何模型的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

應(yīng)用模型：在⊙O中，弦[AB]，[CD]相交于點(diǎn)[P]，[BD]是⊙O的直徑，已知[AC=1，BD=3]，求[cos∠BPC]的值.

生1：連接[BC].（解答略）

生2：也可以連接[AD]，[∠BPC=∠APD]，我發(fā)現(xiàn)只要利用直徑構(gòu)造直角三角形，表示出三角函數(shù)就都可以求.

師：我們再來看“斜A”型的應(yīng)用.在⊙O中弦[DA，BC]的延長線交于圓外一點(diǎn)[E]，[BD]是⊙O的直徑，若點(diǎn)[C]是[BE]的中點(diǎn)，[S△EACS△EBD=425]，求[cosE].

生3：根據(jù)基本圖形3的模型解答.（略）

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想幾何模型，直接利用斜[Χ]模型、“斜A”型等相似基本圖形將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題，在學(xué)生的腦海中形成“求三角函數(shù)值——直角三角形——線段的比值——相似三角形的相似比”這條思維線.通過教師有意識(shí)地引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，提高學(xué)生的邏輯推理能力.

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)思想方法為核心，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素質(zhì)為目的，著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.培養(yǎng)學(xué)生的推理能力不能急于求成，可通過幾何模型的教學(xué)，讓學(xué)生在腦海中形成各種基礎(chǔ)的直觀圖形，再在復(fù)雜的圖像中找出這些基本圖形，加強(qiáng)分析訓(xùn)練，逐步實(shí)現(xiàn)推理能力的提高.

三、感悟模型，提高解題能力

數(shù)學(xué)解題是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)，幾何推理題型更是靈活多樣，我們無法教會(huì)學(xué)生做所有的題目，但可以通過有限的幾何模型去引導(dǎo)學(xué)生感悟無數(shù)道題目的本質(zhì).圓中的問題雖千變?nèi)f化，但只要我們抓住問題的本質(zhì)，在“變化”的題目背景下探究出“不變”的幾何模型，問題也就迎刃而解.

感悟模型：（2016年蘇州中考第26題改編）在⊙O中弦[DA，BC]的延長線交于圓外一點(diǎn)[E]，[BD]是⊙O的直徑，若點(diǎn)[C]是[BE]的中點(diǎn)，若[AC=4，cosE=25]，取弧[BD]的中點(diǎn)[F]，連接[FD，F(xiàn)C]，設(shè)直線[FC]交直線[BD]于點(diǎn)[G]，求[FG?FC]的值.

生1：由上面引入的問題可知[BD=10]，[F]是弧[BD]的中點(diǎn)，可算出[DF=52]，再利用“斜母子型”相似，[△FDC∽△FGD]，[FD2=FC?FG=50].

生2：也可以證明[△FBC∽△FGB]，[∠FBG=∠FCB=135°].

生3：點(diǎn)[F]可以是弧[BD]下面的中點(diǎn)嗎？

師：這是個(gè)好問題，你能畫出圖形，解決一下嗎？

生4：（補(bǔ)充另一種情況）我取的點(diǎn)[F]是弧[BD]下面的中點(diǎn)，如圖6（圖略），同理[△FDC∽△FGD]，[FD2=FC?FG=50].

生5：我發(fā)現(xiàn)這種情況下連接[BF]也可以解答.

評(píng)析：隨著探究的深入，圍繞相似幾何模型進(jìn)行類比分析，可逐漸掌握解決圓中問題的策略，形成基本的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，完善思維結(jié)構(gòu).引導(dǎo)學(xué)生大膽嘗試、探究，在探究圖形變化規(guī)律的體驗(yàn)中，化陌生為熟悉，化復(fù)雜為簡單，深入對(duì)幾何模型的認(rèn)識(shí).經(jīng)過對(duì)問題的“再思考”，反思如何在復(fù)雜的圖形中提煉出基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中的“變”與“不變”，進(jìn)而理解蘊(yùn)含在幾何圖形中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的作用.問題的設(shè)計(jì)有梯度，層次感強(qiáng)，體現(xiàn)了根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知心理及認(rèn)知障礙來設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)的特點(diǎn).

四、亮點(diǎn)展現(xiàn)，教學(xué)感悟

1.問題引入，經(jīng)歷構(gòu)建幾何模型的過程，模型再認(rèn)識(shí)

雖然學(xué)生之前分別學(xué)習(xí)過相似三角形和圓，但學(xué)生對(duì)它們的認(rèn)識(shí)基本上停留在“碎片化”的“就題論題”的淺表層次，缺乏對(duì)兩者之間相互聯(lián)系的深入研究.由圓中常見的相交弦的問題引入，在問題不斷演變的過程中，幫助學(xué)生建立相似三角形知識(shí)與圓中知識(shí)的聯(lián)系，理解圓作為題目的背景只提供了“相等的角”這一條件，抓住問題的本質(zhì)，將圓中的“曲線形”問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的“直線形”問題來解決.在幾何模型的再認(rèn)識(shí)過程中，提出新的探究問題，實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)相互滲透聯(lián)系，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生分析與思考問題的能力，優(yōu)化了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高了學(xué)生的思維素質(zhì).

2.添加條件，應(yīng)用幾何模型解決問題，模型再運(yùn)用

依據(jù)幾何模型的背景添加特殊條件，創(chuàng)設(shè)一個(gè)不變的學(xué)生較易解決的問題，獲得一個(gè)解決問題的方法，再創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的問題，變化的問題置身于不變的模型之中，通過類比遷移方法思路，抓住基本圖形來解決，深刻領(lǐng)悟本質(zhì)特征，揭示規(guī)律，擺脫題海戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)以“幾何模型之不變”來應(yīng)“題型之萬變”.通過對(duì)簡單的模型的再運(yùn)用，體驗(yàn)圓中涉及的相似三角形這一幾何模型再認(rèn)識(shí)、再創(chuàng)新、再完善和提高的過程，為模型的再發(fā)展做好鋪墊，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感.

3.開啟智慧，構(gòu)造幾何模型，模型再創(chuàng)造

以中考試題為背景進(jìn)行改編，設(shè)計(jì)巧妙，拓寬了學(xué)生的視野，給學(xué)生的思維創(chuàng)設(shè)了更廣闊的空間.仔細(xì)分析中考試題，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵在于動(dòng)手找到弧[BD]上的兩個(gè)[F]點(diǎn)，構(gòu)造“斜母子型”相似來解決問題，著眼于問題的數(shù)學(xué)原理、結(jié)構(gòu)，利用“斜母子型”相似將問題轉(zhuǎn)化為探求“[FD2=FC?FG]”關(guān)系，從陌生到熟悉、從無到有、從未知到已知的信息轉(zhuǎn)化，領(lǐng)悟其中的模型思想，使其逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，形成解決問題的自覺意識(shí).經(jīng)過學(xué)生自己的動(dòng)手作圖、探究問題的求解過程也是學(xué)生對(duì)相似模型再創(chuàng)造的過程，需要學(xué)生具有創(chuàng)新思維和開拓精神，同時(shí)也正是通過這種學(xué)習(xí)過程來培養(yǎng)學(xué)生的開拓、創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

新課標(biāo)將數(shù)學(xué)模型思想正式列為課程內(nèi)容的核心概念，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.在幾何教學(xué)中教師要善于挖掘出幾何圖形的本質(zhì)規(guī)律，注重引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)幾何模型的形成過程，通過“變式教學(xué)”挖掘幾何圖形的功能，提升學(xué)生數(shù)學(xué)模型的綜合運(yùn)用能力，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì).通過幾何模型來促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何問題的“深度理解”，從復(fù)雜的問題中找到幾何基本圖形，達(dá)到做一題、通一類的效果.弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)不是教師教出來的，而是研究出來的.而在這種研究中，數(shù)學(xué)模型意識(shí)的養(yǎng)成是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的一大特征.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]? 郭敏. 再認(rèn)識(shí)、再構(gòu)建、再運(yùn)用：基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（13）：16-18.

[3]? 水菊芳.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂數(shù)學(xué)意識(shí)的構(gòu)建[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（11）：6-9.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）