基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

錢(qián)呈

[摘? ?要]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)情感態(tài)度的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的.概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng); 概念教學(xué);銳角三角比;意義

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）23-0013-03

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)已從數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基石.在概念教學(xué)中，教師常會(huì)出現(xiàn)“重知識(shí)，輕過(guò)程”的現(xiàn)象，將概念看成定論，重灌輸輕引導(dǎo).由于缺乏過(guò)程性體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)缺乏理解，造成學(xué)生思維能力薄弱，所學(xué)知識(shí)無(wú)法靈活遷移，概念教學(xué)也缺少了應(yīng)有的教育價(jià)值.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念本身，更重要的是讓學(xué)生在獲得概念本質(zhì)屬性的過(guò)程中，通過(guò)觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化思維品質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

現(xiàn)筆者以《銳角三角比的意義》的教學(xué)為例，探究如何在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是第一課時(shí)，主要讓學(xué)生經(jīng)歷銳角的正切概念的形成過(guò)程，掌握正切、余切的定義.本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在探索發(fā)現(xiàn)直角三角形邊角關(guān)系的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷“感知——猜測(cè)——驗(yàn)證——?dú)w納”的問(wèn)題探究過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般、從抽象到具象的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在利用相似三角形論證時(shí)，發(fā)展學(xué)生的推理能力;在引入三角比的符號(hào)表示過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí);在銳角三角比的實(shí)際應(yīng)用中，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！币庾R(shí).本章的學(xué)習(xí)為后續(xù)高中階段學(xué)習(xí)任意角的三角比、三角函數(shù)打下基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標(biāo)和設(shè)計(jì)思路

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷正切概念的形成過(guò)程，理解正切和余切的定義，掌握求正切和余切值的方法.

2.經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

3.經(jīng)歷“感知——猜測(cè)——驗(yàn)證——?dú)w納”的問(wèn)題探究過(guò)程，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，逐步養(yǎng)成良好的個(gè)性思維品質(zhì).

（二）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷銳角的正切概念的形成過(guò)程，掌握正切、余切的定義.

教學(xué)難點(diǎn)：正切、余切概念的形成.

（三）教學(xué)設(shè)計(jì)思路

三角比的概念來(lái)源于實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用，教師教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)利用航海測(cè)量問(wèn)題引入，體現(xiàn)引入三角比概念的必要性，也激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.探究三角形邊角關(guān)系時(shí)，以“感知——猜測(cè)——驗(yàn)證——?dú)w納”為主線，從特殊直角三角形出發(fā)，探究邊角之間的數(shù)量關(guān)系，引發(fā)學(xué)生對(duì)一般直角三角形邊角關(guān)系的猜想，即直角三角形中如果給定一個(gè)角的大小，那么它的兩條直角邊的比值是一個(gè)確定的數(shù)，引出銳角三角比的概念，從而可知角三角比的定義是合理的.三角比概念的形成過(guò)程不僅遵循學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，還可以幫助學(xué)生感知從特殊到一般、從抽象到具象的數(shù)學(xué)思想方法和思維策略.

三、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

如圖1，在港口B的正北方向40千米處有一小島A，一艘船以每小時(shí)25千米的速度從港口B出發(fā)沿正東方向行駛.

問(wèn)題1：48分鐘后，船到達(dá)C處，問(wèn)此時(shí)船與小島A相距多少千米？

問(wèn)題2：船繼續(xù)向正東方向行駛，到達(dá)D處，測(cè)得此時(shí)小島A在船的西北方向，問(wèn)此時(shí)船與小島A相距多少千米？

問(wèn)題3：船繼續(xù)向正東方向行駛，到達(dá)E處，測(cè)得此時(shí)小島A在船的北偏西55°，問(wèn)此時(shí)船與小島A相距多少千米？

設(shè)計(jì)意圖：一是幫助學(xué)生回憶直角三角形的邊角性質(zhì)，鞏固直角三角形中的邊邊關(guān)系和角角關(guān)系;二是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形的邊角之間存在一定的聯(lián)系，通過(guò)設(shè)疑引出本節(jié)課的研究主題：直角三角形的邊角關(guān)系.

（二）歸納猜想，感知概念

探究一：特殊直角三角形中的邊角關(guān)系

問(wèn)題1：等腰直角三角形中，45°角的對(duì)邊和鄰邊的比值是什么？這個(gè)比值是否會(huì)隨著三角形大小的變化而變化？為什么？

問(wèn)題2： 含30°角的直角三角形中，30°角的對(duì)邊和鄰邊的比值是什么？這個(gè)比值是否會(huì)隨著三角形大小的變化而變化？為什么？

圖2

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)特殊情況的觀察思考往往能引發(fā)對(duì)一般規(guī)律的探究.從學(xué)生熟悉的特殊直角三角形入手探究，將抽象的問(wèn)題具體化，為后續(xù)探究一般直角三角形打下基礎(chǔ).

探究二：一般直角三角形中的邊角關(guān)系

問(wèn)題1：探究1中觀察到的現(xiàn)象是否存在于一般的直角三角形？當(dāng)銳角A不是特殊角，而是任意某個(gè)確定的角時(shí)，對(duì)邊和鄰邊的比值是否也確定？ 如何說(shuō)明？

如圖3，[Rt△ABC與Rt△ADE]中，[∠C=∠AED=90°]，[∠A=α]，那么[BCAC]與[DEAE]有何關(guān)系？

問(wèn)題2：如果銳角A變化，它的對(duì)邊與鄰邊的比值是否會(huì)變化嗎？

如圖4，[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[∠BAC>∠DAC]，那么[BCAC]與[CDAC]有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納的過(guò)程，學(xué)生自主探究，合作交流，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生得出結(jié)論后，教師輔以幾何畫(huà)板演示，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的變化，直觀感受比值的變化情況，體會(huì)“變”與“不變”間的辯證統(tǒng)一，滲透函數(shù)思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好鋪墊.

（三）得出定義，明確概念

通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)，直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的長(zhǎng)度的比值隨著這個(gè)銳角的大小的變化而變化，這個(gè)比值又隨著銳角大小的確定而確定，兩者間存在著確定的依賴(lài)關(guān)系，即[銳角A的對(duì)邊銳角A的鄰邊=一個(gè)確定的值].

直角三角形中的一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值叫作這個(gè)銳角的正切（tangent），銳角A的正切記作tanA，[tanA=銳角A的對(duì)邊銳角A的鄰邊=BCAC=ab];直角三角形中的一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比值叫作這個(gè)銳角的余切（cotangent），銳角A的余切記作cotA.

[cotA=銳角A的鄰邊銳角A的對(duì)邊=ACBC=ba].

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的初步思考結(jié)果進(jìn)行“抽象化”和“形式化”，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）給概念下定義，讓概念成為一個(gè)穩(wěn)定的對(duì)象.

（四）基礎(chǔ)應(yīng)用，鞏固概念

1.如圖6， Rt△MNP中，∠N=90°，

（1）∠P的對(duì)邊是 ，∠P的鄰邊是 ;∠M的對(duì)邊是，∠M的鄰邊是 .

（2） tanP =，tanM=;cotP=_________，cotM=________.

（3） tanP與cotP有何關(guān)系？

（4）? tanP與cotM有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)發(fā)現(xiàn)同角的正切與余切之間的關(guān)系，互余的兩個(gè)角的正切與余切之間的關(guān)系，通過(guò)建立概念間的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)正切和余切概念的理解.

2.如圖7，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=3，BC=2，求tanA、cotA.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生掌握求正切和余切的方法，規(guī)范幾何書(shū)寫(xiě).

3.在Rt△ABC中，BC=4，AB=5，求 cotA和cotB.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步明確求正切和余切的條件：（1）必須在直角三角形中;（2）已知直角三角形中的任意兩邊長(zhǎng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.解決幾何問(wèn)題時(shí)，若題目未給出具體圖形，養(yǎng)成優(yōu)先作圖習(xí)慣;在條件未明確時(shí)，注意分類(lèi)討論，提高思維能力.

（五）歸納小結(jié)，反思提高

問(wèn)題：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@.

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)、探究方法、數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容有整體、全面的認(rèn)識(shí)，完善學(xué)生頭腦中的概念體系.

四、教學(xué)反思

（一）深入解析概念本質(zhì)，提升概念教學(xué)價(jià)值

概念教學(xué)的基本目標(biāo)是讓學(xué)生理解概念，并能利用概念表達(dá)思想和解決問(wèn)題.要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師必須深入解析概念.對(duì)概念的解析應(yīng)包含三個(gè)方面：一是解析概念的特征，主要包括概念的內(nèi)涵和外延、概念形成的必要性及合理性、概念不同形式的表征（文字、符號(hào)、圖形）、概念的地位和作用、與其他概念間的聯(lián)系等;二是解析概念的教育價(jià)值，要揭示概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘在概念形成過(guò)程中能夠發(fā)展的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);三是解析學(xué)生學(xué)習(xí)概念的認(rèn)知起點(diǎn)與可能存在的障礙，分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和教學(xué)目標(biāo)間的潛在差異和距離，確定教學(xué)難點(diǎn)及突破難點(diǎn)的方法.

（二）創(chuàng)設(shè)有效問(wèn)題情境，從“激趣”走向“引思”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，對(duì)抽象事物的認(rèn)識(shí)，需要依賴(lài)具體事例的支持，在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境具有一定的意義.問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)要具有典型性和適應(yīng)性，要能體現(xiàn)概念本質(zhì)屬性的同時(shí)，還要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，便于學(xué)生理解，要有助于學(xué)生抽象出共性特征，概括出本質(zhì)屬性，形成數(shù)學(xué)概念.問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)要具有目的性和層次性.通過(guò)創(chuàng)設(shè)有效的情境，幫助學(xué)生回顧舊知，建立新概念與原有認(rèn)知體系間的聯(lián)系.創(chuàng)設(shè)的情境要能體現(xiàn)引入新概念的必要性及實(shí)際意義.

（三）以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思維，讓概念自主建構(gòu)

“APOS理論”中提出概念學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷“操作”“過(guò)程”“對(duì)象”“圖式”四個(gè)階段.“操作”階段是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)，為概念理解提供數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí);“過(guò)程”階段是學(xué)生通過(guò)思考、頓悟?qū)ⅰ安僮鳌彪A段的感受內(nèi)化，是對(duì)概念的自主建構(gòu).教學(xué)中需要通過(guò)提供大量典型例證，讓學(xué)生經(jīng)歷屬性的分析、比較、綜合、歸納、概括活動(dòng).有效問(wèn)題的設(shè)計(jì)能引領(lǐng)學(xué)生充分地參與思考，幫助學(xué)生將操作過(guò)程中的直觀感受抽象概括，逐步獲得所需要的概念屬性，實(shí)現(xiàn)概念內(nèi)化.問(wèn)題的設(shè)計(jì)要具有啟發(fā)性、探索性和層次性，可以從學(xué)生最熟悉的觀念出發(fā)，讓學(xué)生在好奇心的驅(qū)使下逐步接近概念本質(zhì).

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類(lèi)、特征及其教學(xué)探討[J] .課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）