構(gòu)造橢圓求解三角形問題

程雷虎

[摘? ?要]構(gòu)造橢圓，結(jié)合極坐標(biāo)系的知識，可以迅速解決比較復(fù)雜的三角形問題，尤其是范圍和面積問題.

[關(guān)鍵詞]構(gòu)造;橢圓;三角形;問題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0007-02

構(gòu)造橢圓來解決三角形問題，主要是構(gòu)造橢圓來證明三角形問題.筆者以2019年某地高三?？既切螁栴}為例，就構(gòu)造橢圓模型求解三角形問題做一些探討.

一、試題呈現(xiàn)與欣賞

試題1：在銳角[△ABC]中，[BC=2 ，sinB+sinC=2sinA]，則中線[AD]長的取值范圍是___________.

本題是合肥市2019屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測題.這道題在解三角形和不等式等知識的交匯處命制，既考查了正弦定理、余弦定理、不等式求解、基本不等式、平面向量等基礎(chǔ)知識及解三角形、求函數(shù)最值等基本方法，又考查了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)基本思想.同時考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出了能力立意，彰顯了數(shù)學(xué)思想方法.此題看起來背景熟悉、平淡無奇，實際上卻內(nèi)涵豐富，平中見奇.

對此題求解，絕大多數(shù)學(xué)生用常規(guī)解法.

常規(guī)解法：設(shè)[△ABC]中[∠A，∠B，∠C]所對的邊分別為[a，b，c].依題意知[a=2]，因為[sinB+sinC=2sinA]，由正弦定理得[b+c=2a=4].

因為[△ABC]是銳角三角形，所以[0

由余弦定理得[0

同理， [0

[0

綜上可得，[32

在[△ADB]和[△ADC]中分別由余弦定理得

[cos∠ADB=AD2+1-（4-b）22AD]，[cos∠ADC=AD2+1-b22AD].

又因為[cos∠ADB+cos∠ADC=0]，

所以? [AD=b2-4b+7=（b-2）2+3]，再由[32? ? ? ?

點(diǎn)評：上述求解過程運(yùn)算量較大，對不等式求解知識要求扎實.此解法運(yùn)用正余弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，用余弦定理處理三角形為銳角三角形的條件，求解不等式，得到邊的范圍，最終求得中線的取值范圍.

構(gòu)造橢圓求解：同常規(guī)解法有[b+c=4>a].以[BC]的中點(diǎn)為原點(diǎn)，[BC]所在直線為[x]軸，建立平面直角坐標(biāo)系，易知點(diǎn)[A]在橢圓[x24+y23=1]上運(yùn)動.因為對稱性，只研究點(diǎn)[A]在橢圓上半部分的情形.

考慮到三角形為銳角三角形，由橢圓性質(zhì)知 ， 當(dāng)點(diǎn)[A]在橢圓上頂點(diǎn)時，[∠A]最大.此時[∠A=60°]，得[AD=3]，此時[AD]最小.當(dāng)[AC⊥BC]時，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[1，32]，此時[AD=132]，所以由題意知? [AD∈3，132] .

點(diǎn)評：此解法運(yùn)用解析法求出點(diǎn)[A]的軌跡，數(shù)形結(jié)合獲得簡解.在問題研究的過程中，運(yùn)用了橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式的變形，即[S=b2?tan∠F1AF22=c?yA]，當(dāng)面積最大時，[yA]最大，此時點(diǎn)[A]恰好落在橢圓的上頂點(diǎn)處，此時[∠A]也最大.雖然此種解法以前都見過，但是，教師在平時教學(xué)，學(xué)生在解題時，運(yùn)用常規(guī)解法較多.

試題2：如圖1，[l1]是經(jīng)過城市[O]與城郊小鎮(zhèn)[A]的東西方向公路，城市[O]與小鎮(zhèn)[A]相距[83 km].[l2]是經(jīng)過城市[O]的南北方向的公路，現(xiàn)準(zhǔn)備在城市[O]的西北區(qū)域內(nèi)選址[P]，建造開發(fā)區(qū)管委會，并開發(fā)三角形區(qū)域[PAO]與[PBO].其中，[AB]為計劃修建的經(jīng)過小鎮(zhèn)[A]和管委會[P]的繞城公路（[B]在[l2]上，且位于城市[O]的正北方向），[PO]為計劃修建的管委會[P]到城市[O]的公路，要求公路[PO]與公路[PA]的總長為16 [km]（即[PO+PA=16]）.設(shè)[∠BAO=θ].

（1）記[PA=f（θ）]，求[f（θ）]的函數(shù)解析式，并確定[θ]的取值范圍;

（2）當(dāng)開發(fā)的三角形區(qū)域[PAO]的面積最大時，求繞城公路[AB]的長.

本題是2019年南師附中、淮陰中學(xué)、天一中學(xué)、海門中學(xué)等四校聯(lián)考試題.該題是一道三角函數(shù)實際應(yīng)用題，既考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、函數(shù)最值等基本知識，又考查了學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化的思想方法.下面，筆者介紹本題的構(gòu)造橢圓求解方法.

此題的求解要用到極坐標(biāo)方法，為了求解的方便，先介紹如下結(jié)論.

【結(jié)論】已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2].

（1）若以左焦點(diǎn)[F1]為極點(diǎn)，射線[F1∞]為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓[C]的極坐標(biāo)方程是：[ρ=eP1-ecosθ]，其中[P]是左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離，[e]為離心率.

（2）若以右焦點(diǎn)[F2]為極點(diǎn)，射線[F2∞]為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓[C]的極坐標(biāo)方程是： [ρ=eP1+ecosθ]，其中[P]是右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離，[e]為離心率.

下面構(gòu)造橢圓，對于該題進(jìn)行求解.

解：（1）由題意知：[AO=83]，[PA+PO=16]為常數(shù)，且[PA+PO>AO].

再結(jié)合實際情形，所以[P]點(diǎn)在一個橢圓的上半部分上運(yùn)動.

以[OA]的中點(diǎn)為原點(diǎn)，射線[AO]為[x]軸建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)[P]的坐標(biāo)滿足橢圓[x264+y216=1]，其中[A]、[O]分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).

以點(diǎn)[A]為極點(diǎn)，射線[AO]為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)[P]的坐標(biāo)設(shè)為[（ρ，θ）]，由題意知，[PA=ρ].由上結(jié)論知：[ρ=eP1-ecosθ]，又因為[e=32，P=-43--6443=433]，所以 [ρ=42-3cosθ].

再考慮臨界情形，當(dāng)點(diǎn)[P]在[l2]上，即[∠POA=90°]時，由橢圓方程知，此時點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[（43，2）]，得[cosθ=8314=437].

結(jié)合實際情況，點(diǎn)[P]位于城市[O]的西北區(qū)域內(nèi)，故有公路[PA]段長關(guān)于[θ]的函數(shù)解析式為[PA=42-3cosθ]，[θ]的取值范圍為[α，π2]，其中，[0<α<π2]，且[cosα=437].

（2）因為點(diǎn)[P]在橢圓的上半部分運(yùn)動，由橢圓性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)[P]位于短軸頂點(diǎn)時，[△PAO]的面積最大，此時[PA=PO=8]，且[P]是[AB]的中點(diǎn)，故得繞城公路[AB]的長為[16? km].

點(diǎn)評：極坐標(biāo)在高考中幾乎年年考查，尤其是[ρ，θ]這兩個量的幾何意義，明顯指向求長度、求夾角問題.該題的構(gòu)造橢圓解法，利用了極坐標(biāo)法，尤其是第（2）問避免了繁雜的不等式求解和函數(shù)求最值問題，有事半功倍的作用.

二、高考題鏈接

在歷年的高考題中，解三角形問題都是熱點(diǎn)，而在此問題的解答中，絕大多數(shù)教師和學(xué)生都是從正余弦定理入手，結(jié)合不等式知識.實際上，構(gòu)造橢圓法，對于一類解三角形問題，尤其是面積和取值范圍問題，可以做到“秒殺”.

下面筆者列舉幾道歷年的高考真題，供讀者參考.

高考題1：（2017年理數(shù)新課標(biāo)全國Ⅱ卷）[△ABC]的內(nèi)角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]，已知[sin（A+C）=8sin2B2].

（1）求[cosB;]

（2）若[a+c=6]，[△ABC]的面積為2，求[b].

高考題2：（2013年文數(shù)浙江卷）在銳角[△ABC]中，內(nèi)角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]，且[2asinB=3b].

（1）求角[A]的大小;

（2）若[a=6，b+c=8]，求[△ABC]的面積.

高考題3：（2013年理數(shù)江西卷）在[△ABC]中，內(nèi)角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]，已知[cosC+（cosA-3sinA）cosB=0].

（1）求角[B]的大小;

（2）若[a+c=1]，求b的取值范圍.

在解題思維結(jié)構(gòu)中，要求教師和學(xué)生在平時的教與學(xué)中善于挖掘教材中有應(yīng)用價值的定義、定理、公式、習(xí)題等的潛在功能.在高三解題教學(xué)中，需要建立廣泛的縱橫聯(lián)系，在注重通性、通法，掌握常規(guī)的基礎(chǔ)上，要不拘泥于常規(guī)，實現(xiàn)創(chuàng)新.在解題的過程中，需要一些非常規(guī)的想法，這不僅能使解題效果有事半功倍之效，別具一格，而且對學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)也具有重要的意義.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 張善敏.構(gòu)造橢圓模型求解三角問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2007（6）：30-31.

[2]? 張國治，錢進(jìn)兵.巧構(gòu)圓、橢圓妙解高考題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（5）：38-39.

[3]? 支金山.構(gòu)造橢圓：巧解三角問題的一條有效途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007（1）：24-27.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）