例說微積分中的經(jīng)典題的突破方法

■河南省太康縣第一高級中學(xué) 董珍珍

在高中階段,由于利用定義法求定積分的過程(四個(gè)基本步驟:分割、近似代替、求和、取極限)比較煩瑣,所以在實(shí)際的計(jì)算過程中很少使用。相反地,我們一般利用微積分基本定理來計(jì)算求解定積分。

微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的聯(lián)系——導(dǎo)數(shù)與定積分的運(yùn)算互為逆運(yùn)算,同時(shí)還給我們提供了一個(gè)計(jì)算定積分的簡單有效的方法。

一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F'(x)=f(x),那么=F(b)-F(a),這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓—萊布尼茨公式。

如果F'(x)=f(x),則(F(x)+c)'=f(x)(其中c為常數(shù)),那么,F(x)+c均為f(x)的原函數(shù),要求定積分,關(guān)鍵是找f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x),表1就是常用的基本初等函數(shù)f(x)和它的一個(gè)原函數(shù)F(x)。

表1

分析：根據(jù)定積分,找到被積函數(shù)的原函數(shù),運(yùn)用微積分基本定理,即可求解。

點(diǎn)評：本題主要考查了運(yùn)用牛頓-萊布尼茨公式求解定積分的方法,其中解答時(shí)根據(jù)定積分公式,找出被積函數(shù)的原函數(shù),準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了同學(xué)們的運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題。

分析：通過微積分基本定理計(jì)算出a,c的值,通過定積分的幾何意義可求出b的值,比較即可得出結(jié)果。

點(diǎn)評：本題主要考查利用微積分基本定理和定積分的幾何意義來計(jì)算定積分的值。

分析：先將被積函數(shù)變形,然后根據(jù)定積分基本性質(zhì)和微積分基本定理,計(jì)算即可。

點(diǎn)評：計(jì)算定積分的步驟：①先將被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)等基本初等函數(shù)的和、差等形式;②根據(jù)定積分的基本性質(zhì)進(jìn)行變形;③分別利用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算,找到相應(yīng)的原始函數(shù);④利用微積分基本定理分別求出各個(gè)定積分的值,然后求代數(shù)之和(差)即可。

例4 若函數(shù)f(x)=ln(ex+1)+a x為偶函數(shù),則

分析：由函數(shù)f(x)=ln(ex+1)+a x為偶函數(shù),求得,再利用微積分基本定理求解即可。

解：因?yàn)閒(x)=ln(ex+1)+a x為偶函數(shù),所以f(1)=f(-1),即ln(e+1)+a=解得所以

點(diǎn)評：本題主要考查由已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù),以及微積分基本定理的應(yīng)用。已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù),主要方法有兩種：一是利用：(1)奇函數(shù)由f(-x)+f(x)=0恒成立求解,(2)偶函數(shù)由f(-x)-f(x)=0恒成立求解;二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由f(0)=0求解,偶函數(shù)一般由f(-1)-f(1)=0求解,用特殊法求解參數(shù)后,一定要注意驗(yàn)證奇偶性。

例5 求曲線y2=2x與直線y=x-4所圍成的曲邊圖形的面積。

分析：先作圖,根據(jù)圖形求出交點(diǎn)坐標(biāo),以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y為積分變量,寫出積分。

解：如圖1,在y∈[-2,4]上,直線x=y+4在曲線之上,所以曲線y2=2x與直線y=x-4所圍成的曲邊圖形的面積為

圖1

點(diǎn)評：根據(jù)具體情況,選取適當(dāng)?shù)姆e分變量,運(yùn)用微積分定理進(jìn)行簡便計(jì)算。

例6 已知拋物線y=x2-2x及直線x=0,x=a,y=0所圍成的平面圖形的面積為,求a的值。

分析：先作出y=x2-2x的圖像,根據(jù)圖像分析可知,要將a分成三類討論圍成區(qū)域,當(dāng)a＜0時(shí),,當(dāng)0＜a≤2時(shí),,當(dāng)a＞2時(shí),種情況分別求出a的值,其中一個(gè)值舍去。

解：作出y=x2-2x的圖像,如圖2所示。

圖2

(1)當(dāng)a＜0時(shí),,所以(a+1)(a-2)2=0。因?yàn)閍＜0,所以a=-1。

(2)當(dāng)0＜a≤2時(shí),所以(a+1)(a-2)2=0。因?yàn)閍＞0,所以a=2。

(3)當(dāng)a＞2時(shí)解得a=2。因?yàn)閍＞2,所以不合題意。

綜上,a=-1或a=2。

點(diǎn)評：本題主要考查利用微積分基本定理計(jì)算定積分,考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。由于題目要求圍成圖形的面積,所以首先要畫出圖像,看清楚圍成的圖像是哪一個(gè)部分。本題中當(dāng)a的取值不同時(shí),圍成的圖像不一樣,故分成三種情況分別求解a的值。