初中數(shù)學(xué)教學(xué)的“三理解”

張建軍

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)教師以熟悉的方式將自己理解的教學(xué)內(nèi)容“傳遞”給學(xué)生的過(guò)程. 理解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與特點(diǎn)，理解學(xué)生尤其是學(xué)生的思維方式，理解“傳遞”的背后是學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)，是數(shù)學(xué)有效教學(xué)乃至核心素養(yǎng)培育的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);理解數(shù)學(xué);理解學(xué)生;理解教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程，就是教師將自己所理解的數(shù)學(xué)內(nèi)容，通過(guò)自己熟悉的教學(xué)方式，“傳遞”給學(xué)生的過(guò)程. 當(dāng)然，這個(gè)傳遞不是像傳遞物體那樣形象，而是為了促進(jìn)學(xué)生的主體建構(gòu). 基于這樣的理解，可以看到數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)基本的“三理解”：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 可以說(shuō)，只有這三個(gè)方面的理解到位了，數(shù)學(xué)教學(xué)乃至數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育才能真正落到實(shí)處. 本文試就這“三理解”做一簡(jiǎn)述.

理解數(shù)學(xué)

理解數(shù)學(xué)的目的，在于讓教師知道自己所教的是什么. 顯然，數(shù)學(xué)教師所教的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，因此數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只是教學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程也不是簡(jiǎn)單的模仿，而應(yīng)是進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在規(guī)律，并領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力的過(guò)程.

例如，在等腰三角形的教學(xué)中，人教版教材緊隨其后設(shè)計(jì)了“最短路徑問(wèn)題”這一學(xué)習(xí)課題. 從內(nèi)容上看，這是因?yàn)樽疃搪窂絾?wèn)題的解決過(guò)程中使用到了等腰三角形的知識(shí)，但如果我們?cè)偕钊胍稽c(diǎn)去理解，就會(huì)發(fā)現(xiàn)更多. 比如，最短路徑問(wèn)題在數(shù)學(xué)中最初出現(xiàn)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”，這也是學(xué)生最熟悉的基本規(guī)律，因此這是最短路徑問(wèn)題的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而等腰三角形后面的這一最短路徑問(wèn)題，實(shí)際上是新情境下的最短路徑問(wèn)題，其需要用到“兩點(diǎn)之間，線段最短”、軸對(duì)稱、等腰三角形等知識(shí). 更重要的是，這類問(wèn)題往往是從實(shí)際問(wèn)題中抽象而來(lái)的，因此這一課題的學(xué)習(xí)，實(shí)際上是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，能培養(yǎng)學(xué)生在生活中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的意識(shí)與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的能力.

再比如，從數(shù)學(xué)方法的角度講，解決最短路徑問(wèn)題，需要將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即把飲馬、挑水類實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為由A點(diǎn)到直線l上某點(diǎn)再到B點(diǎn)的問(wèn)題. 這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，而數(shù)學(xué)抽象既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成部分之一，因此數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程，應(yīng)當(dāng)把體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)顯性過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷充分的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程.

所以我們可以發(fā)現(xiàn)，要在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中理解數(shù)學(xué)，實(shí)際上就是既要理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中的地位，也要理解某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中按照什么樣的邏輯展開(kāi). 因?yàn)楦鶕?jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程可能有兩個(gè)途徑：一是教師預(yù)設(shè)的途徑，也就是教師所希望的知識(shí)生成的過(guò)程;另一個(gè)途徑是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，實(shí)際的知識(shí)發(fā)生過(guò)程. 這兩種途徑往往并不完全重合. 很多時(shí)候，教師教學(xué)中遇到的矛盾，其實(shí)就是這兩種途徑所展示出來(lái)的矛盾. 從這個(gè)角度講，理解數(shù)學(xué)，離不開(kāi)理解學(xué)生.

理解學(xué)生

學(xué)生在教學(xué)中的主體地位不言而喻，但需要認(rèn)清的一個(gè)事實(shí)是，認(rèn)同學(xué)生的主體地位，不等于能夠真正理解學(xué)生. 筆者以為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，理解學(xué)生應(yīng)當(dāng)持久理解，同時(shí)應(yīng)當(dāng)具有下面三個(gè)方面的內(nèi)涵.

1. 理解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

教師在預(yù)設(shè)教學(xué)的時(shí)候，總是從數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯來(lái)設(shè)計(jì)，譬如讓學(xué)生解決“最短路徑問(wèn)題”時(shí)，總是預(yù)設(shè)學(xué)生已經(jīng)對(duì)軸對(duì)稱、等腰三角形的知識(shí)掌握得很熟練了，但事實(shí)上并非如此. 很多學(xué)生此前的知識(shí)基礎(chǔ)不同，哪怕是剛剛所學(xué)的知識(shí)，不同學(xué)生的理解程度也是不同的. 筆者就發(fā)現(xiàn)，在將實(shí)際問(wèn)題抽象成“由A點(diǎn)到直線l上某點(diǎn)再到B點(diǎn)的問(wèn)題”的過(guò)程中，就有學(xué)生無(wú)法想象在直線l上任取一點(diǎn)C對(duì)解決問(wèn)題有什么作用. 說(shuō)得再直白一些，這部分學(xué)生還沒(méi)有意識(shí)到軸對(duì)稱知識(shí)在此能夠發(fā)揮什么樣的作用. 因此，教師在教學(xué)時(shí)，不要因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)學(xué)過(guò)了軸對(duì)稱知識(shí)，就認(rèn)為其已經(jīng)是所有學(xué)生都能熟練運(yùn)用的工具，還是要針對(duì)不同學(xué)生的實(shí)際情況，單獨(dú)回憶甚至板書(shū)，以備隨時(shí)調(diào)用.

2. 理解學(xué)生的思維方式

學(xué)生的思維方式對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果有直接的影響，數(shù)學(xué)本身就是思維的學(xué)科，思維方式對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)結(jié)果非常明顯. 思維方式的研究成果是豐富的，筆者在工作中發(fā)現(xiàn)，如果從學(xué)生思維與教師講授之間的時(shí)間差關(guān)系角度來(lái)分析，會(huì)出現(xiàn)很有意思的結(jié)果：有的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維是跟著教師走的，這類學(xué)生的思維慢教師半拍，通常沒(méi)有自主性;有的學(xué)生則喜歡想在教師的前面，他們會(huì)下意識(shí)地猜教師下面會(huì)講什么知識(shí)、問(wèn)什么問(wèn)題，如果猜想不一致，他們會(huì)對(duì)自己的學(xué)習(xí)進(jìn)程做出調(diào)整. 我們說(shuō)課堂上學(xué)生容易分心，通常就是前一類思維方式的學(xué)生. 在解決“最短路徑問(wèn)題”的時(shí)候，有的學(xué)生只是呆呆地思考，有的學(xué)生則眼珠直轉(zhuǎn)，立即思考其與前面所學(xué)的軸對(duì)稱、等腰三角形是不是有什么關(guān)系. 教師在教學(xué)中把握了學(xué)生這一思維方式的不同，并盡量培養(yǎng)后一種思維方式，對(duì)提高教學(xué)效果非常有幫助.

3. 理解學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)建模運(yùn)用

初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，可以理解為初中生掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程. 掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，意味著學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入數(shù)學(xué)范式，意味著學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)自己的思想，這對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，并非一件輕而易舉的事情. 如“最短路徑問(wèn)題”中，我們可以看到班上不同層次的學(xué)生在思考這個(gè)問(wèn)題時(shí)，內(nèi)心的想法是不一樣的. “學(xué)困生”大腦中想的往往是問(wèn)題本身，即題目問(wèn)怎樣的路徑最短，他就想怎樣的路徑最短，而沒(méi)有將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的意識(shí)，這實(shí)際上就是數(shù)學(xué)思維方式?jīng)]有養(yǎng)成的表現(xiàn);而中等生往往知道將此問(wèn)題與軸對(duì)稱知識(shí)結(jié)合起來(lái)，但是由于建立數(shù)學(xué)模型比較困難，所以他們最終也難以解決;只有學(xué)優(yōu)生既能將軸對(duì)稱知識(shí)運(yùn)用進(jìn)來(lái)，又能順利地建立數(shù)學(xué)模型. 需要指出的是，對(duì)于“學(xué)困生”和中等生，教師必須明確教學(xué)是為他們服務(wù)的，只有這樣，才是真正的以生為本.

理解教學(xué)

關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)，有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，課程改革中曾經(jīng)有過(guò)對(duì)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的爭(zhēng)論. 盡管不少專家不承認(rèn)建構(gòu)主義的作用，但筆者基于學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際依然認(rèn)為，初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)存在著明顯的建構(gòu)性，根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論去為學(xué)生準(zhǔn)備先前經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)，確實(shí)可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平. 因此，從建構(gòu)主義角度理解數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者以為是恰當(dāng)?shù)?

比如，上面提到的部分學(xué)生由于對(duì)軸對(duì)稱知識(shí)和等腰三角形知識(shí)掌握不牢，導(dǎo)致解決最短路徑問(wèn)題出現(xiàn)障礙的情形，筆者所采用的“課堂上即時(shí)回憶，板書(shū)前面的知識(shí)要點(diǎn)”這一策略就非常有用;再比如，在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，通過(guò)直線l上任意一點(diǎn)的假設(shè)，來(lái)建立初步的模型，這也是非常重要的一步，因?yàn)镃點(diǎn)的選擇與確定，實(shí)際上就是在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中幫學(xué)生確認(rèn)問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn). 從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的角度來(lái)看，這就是幫學(xué)生建構(gòu)，但這個(gè)幫又不是完全替代，教師要通過(guò)對(duì)C點(diǎn)的分析，讓學(xué)生意識(shí)到直線l上只有一點(diǎn)保證路徑最短，而該點(diǎn)的最終選擇，要從對(duì)一般情形的分析中得出. 于是，基于經(jīng)驗(yàn)試錯(cuò)，借助軸對(duì)稱知識(shí)去論證，就成為主動(dòng)建構(gòu)的核心組成部分. 事實(shí)也證明，這樣的過(guò)程雖然略顯耗時(shí)，卻能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中知道如何規(guī)避經(jīng)驗(yàn)的缺陷，如何準(zhǔn)確地選擇數(shù)學(xué)工具（軸對(duì)稱知識(shí)）來(lái)解決問(wèn)題，這就是能力的提升.

理解教學(xué)，實(shí)際上是理解教育學(xué)的關(guān)系，也是理解教師與學(xué)生的關(guān)系. 通過(guò)十多年的課程改革，師生之間教與學(xué)、幫助與被幫助、服務(wù)與被服務(wù)的關(guān)系已較為明確. 但這還是一種宏觀的描述，如果再精細(xì)一點(diǎn)，具體到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的某一個(gè)知識(shí)或某一個(gè)環(huán)節(jié)，教師仍然要思考自己在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中應(yīng)該充當(dāng)什么樣的角色. 只有角色恰當(dāng)，師生之間的教學(xué)關(guān)系才能清晰. 從這個(gè)角度講，理解教學(xué)包括三個(gè)元素，即教師、學(xué)生以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，其中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容是教師與學(xué)生之間產(chǎn)生教學(xué)聯(lián)系的橋梁. 當(dāng)然，我們還可以尋找另外一個(gè)比喻，那就是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是教師帶著學(xué)生沿著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容這條途徑一同前行的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生走在前面，他們有可能會(huì)遇到困難，遇到困難時(shí)，教師及時(shí)提示并提供幫助，那這個(gè)幫助的過(guò)程實(shí)際上就是教學(xué)的過(guò)程.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效的教學(xué)離不開(kāi)理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 真正做到了這“三理解”，那初中數(shù)學(xué)教學(xué)就是有效的. 同樣的，也必然可以為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育奠定一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).