求解“任意”、“存在”問題的策略

曹吉龍

“任意”、“存在”問題是近幾年模擬題及高考題的熱點(diǎn)、重點(diǎn)。好多考生對于如何處理這類問題感到無從下手?，F(xiàn)舉例介紹這類問題的常見的求解策略及方法。

一、“任意”問題的解法

含有“任意的x∈A，使f（x）≥g（x）成立或f（x）≤g（x）成立”這類問題可轉(zhuǎn)化為最值問題或分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值問題來求解。

【解】（1）略

（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得 a（x-lnx）≤x2-2x.

∵x∈ [1，]e，lnx≤1≤x，且等號不能同時取得，∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0

當(dāng)x∈ [1，]e時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，從而t′（x）≥0

∴t（x）在區(qū)間 [1，]e上單調(diào)遞增，∴t（x）min=t（1）=-1，∴a≤-1

解題策略：任意的x∈A，使f（x）≥g（x）成立?x∈A，使［f（x）-g（x）］min≥0；任意的x∈A，使f（x）≤g（x）成立?x∈A，使［f（x）-g（x）］max≤0恒成立。

二、“存在”問題的解法

例2.定義在R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+3同時滿足以下條件：

①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；②f′（x）是偶函數(shù)；③f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直.

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；

（2）設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈［1，e］，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c.

∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，

由f′（x）是偶函數(shù)得b=0，①

又f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，

∴f′（0）=c=-1，②

（2）由已知得，若存在x∈［1，e］，使4lnx-m＜x2-1，

即存在x∈［1，e］，使m＞（4lnx-x2+1）min.

設(shè)M（x）=4lnx-x2+1，x∈［1，e］，

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又M（1）=0，M（e）=5-e2＜0，

∴M（x）的最小值為5-e2.∴m＞5-e2.

評注：存在x∈［1，e］，使4lnx-m＜x2-1?存在x∈［1，e］，使m＞（4lnx-x2+1）min.

解題策略：存在x∈A，使f（x）≥g（x）成立?x∈A，使［f（x）-g（x）］max≥0；存在x∈A，使f（x）≤g（x）成立?x∈A，使［f（x）-g（x）］min≤0恒成立.

三、含二元或多元的“任意”與“存在”問題的解法

所以當(dāng)x∈［0，1］時，f（x）min=f（0）=-1.

根據(jù)題意可知存在x∈［1，2］，

使得g（x）=x2-2ax+4≤-1，即x2-2ax+5≤0，即成立，

則要使a≥h（x）在x∈［1，2］能成立，只需使a≥h（x）min

解題策略：任意x1∈A存在x2∈B，使f（x1）≥g（x2）成立?x1∈A，x2∈B使f（x1）min≥g（x2）min.

“任意”“存在”問題一直是高考中的熱點(diǎn)問題，此類問題涉及到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式與方程等知識，考查了同學(xué)們基本計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及分析問題解決問題的能力。解決此類問題的方法較多，需具體問題具體分析，雖有難度但有規(guī)律可循。為此我們要善于觀察、善于歸納，把“任意”、“存在”問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的最值問題，就能取得成功。