臨近概念：優(yōu)化初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

繆愛紅

[摘? 要] 概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基石. 但學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，經(jīng)常會產(chǎn)生一些接近本質(zhì)、非標準的“臨近概念”. 對于學(xué)生的“臨近概念”，教學(xué)中教師要尊重、理解和包容，并對之加以積極引導(dǎo)，將學(xué)生非正式、非正規(guī)的“臨近概念”發(fā)展、提升為科學(xué)化的“數(shù)學(xué)概念”.

[關(guān)鍵詞] 臨近概念;概念教學(xué);概念本質(zhì)

概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，精準把握概念的內(nèi)涵和外延是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然要求. 但在教學(xué)實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生理解了概念的內(nèi)涵和外延，但對概念的描述卻是日?；?、個性化的，沒有上升到科學(xué)概念表達的層次. 對此，教師不必苛求，而應(yīng)對學(xué)生的“臨近概念”表達尊重、理解、包容，并對之積極轉(zhuǎn)化、發(fā)展和提升，讓學(xué)生的“臨近概念”逐步逼近“科學(xué)概念”，這是一個漸進的過程，不可能一蹴而就. 那么，學(xué)生的“臨近概念”有哪些特征，怎樣發(fā)展、提升學(xué)生的“臨近概念”？筆者在教學(xué)中進行了積極探索. 本文旨在拋磚引玉，以求教于大方之家.

“臨近概念”是一個數(shù)學(xué)表達術(shù)語，意在表達學(xué)生“前概念”和“科學(xué)概念”轉(zhuǎn)化的過程狀態(tài). “臨近概念”既不同于“前概念”，也不同于“科學(xué)概念”. 首先，“臨近概念”不是完全基于學(xué)生的生活實踐經(jīng)驗的，臨近概念是學(xué)生學(xué)習(xí)新知后所形成的“個體化概念”，從這個意義上說，“臨近概念”是“準科學(xué)的”. 其次，“臨近概念”不同于“科學(xué)概念”，科學(xué)概念是完全數(shù)學(xué)化、標準化的，而“臨近概念”夾雜著個體的理解，因而可能是模糊的、不清晰的，有時甚至夾雜著錯誤因子. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生臨近概念，促進學(xué)生“臨近概念”向“科學(xué)概念”的積極轉(zhuǎn)化.

1. 接近性

應(yīng)該說，“臨近概念”是很接近科學(xué)的數(shù)學(xué)概念的. 有時候，由于學(xué)生的理解差異，對概念的表達也是不盡相同的. 例如人教版八年級的“因式分解”，科學(xué)化的定義是：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的變形叫作把這個多項式因式分解. 教學(xué)中，有學(xué)生認為將一個多項式化成積的形式，有學(xué)生認為將一個多項式分成多個整式乘積，還有學(xué)生認為，將一個多項式寫成和它相等的積的形式……應(yīng)該說，學(xué)生的“臨近概念”都是“部分真理”，但卻都不嚴格、不嚴謹，都有待提煉、發(fā)展和提升.

2. 發(fā)展性

學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是一個不斷發(fā)展的過程，有時，教師需要“在下一個路口等學(xué)生”. 學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，常見的有兩種方式：一是數(shù)學(xué)概念的同化，二是數(shù)學(xué)概念的順應(yīng). 同化即學(xué)生數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的自然擴張，是一種“量”的累積;順應(yīng)即學(xué)生數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)質(zhì)的改變、發(fā)展. 這個過程伴隨著學(xué)生的認知沖突、認知失衡. 例如人教版七年級引入“垂線”，學(xué)生的理解是“垂直就是兩條直線相交成直角”. 人教版八年級、九年級繼續(xù)深化學(xué)生的“臨近概念”，學(xué)生運用兩條直線互相垂直的定義進行推理，深刻理解垂直定義的判斷、性質(zhì)等多方面的功能. 在不斷的學(xué)習(xí)中，學(xué)生零散化的臨近概念理解逐步發(fā)展提升為系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)概念理解.

3. 直覺性

盡管初中生的抽象邏輯思維能力已經(jīng)得到了較大程度的發(fā)展，但很多時候，尤其是不能清晰界定數(shù)學(xué)概念的情況下，還是善于運用“直觀”“直覺”等進行思考、描述. 例如對于人教版八年級的“全等三角形”，有學(xué)生對于怎樣判斷三角形全等經(jīng)常把握不準，他們于是借助筆在草稿紙上畫圖，從而把握三角形全等的條件，如“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等. 有時候，由于學(xué)生的直覺思維，在解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，不能通盤考慮，從而造成思維卡殼、思維短路.

“臨近概念”是基于學(xué)生經(jīng)驗的，學(xué)生的許多“臨近概念”是不登“大雅之堂”的，但在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中卻發(fā)揮著重要的作用. 教學(xué)中，教師一方面要呵護學(xué)生的“臨近概念”，另一方面卻要對學(xué)生的“臨近概念”進行引導(dǎo)，促進學(xué)生將“臨近概念”轉(zhuǎn)化、提升為科學(xué)的數(shù)學(xué)概念.

1. 問題情境：讓學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)概念的內(nèi)核

學(xué)生的“臨近概念”不僅表現(xiàn)在對概念本質(zhì)把握的個性化，更體現(xiàn)為學(xué)生對科學(xué)的數(shù)學(xué)概念沒有真正地感受、體驗、感悟. 學(xué)生所獲得的對概念的認知是文字式的，比如學(xué)生無法想象這樣的情境：用一根直徑比地球赤道長2米的鐵絲將地球圍起來，地球和鐵絲之間的間隔有多大？對于這樣的問題，需要在情境中用數(shù)據(jù)說話，才能讓學(xué)生獲得真正的知識理解和感悟.

例如教學(xué)人教版七年級數(shù)學(xué)“有理數(shù)的乘方”，有學(xué)生盡管能夠記憶乘方的概念，但對乘方的內(nèi)涵卻缺乏必要的體驗. 應(yīng)該說，這樣的概念掌握是有缺失、有缺陷的，也應(yīng)該屬于“臨近概念”. 數(shù)學(xué)概念不僅僅是把握概念的形，更為重要的是把握概念的神. 為此，在講解有理數(shù)的乘方時，筆者引入了這樣的經(jīng)典故事：從前，有一個智慧的大臣，把自己發(fā)明的國際象棋獻給了國王. 國際象棋讓國王樂此不疲，揚言只要大臣提出條件，國王一定滿足他. 大臣于是讓國王在棋盤上放置米粒，第一格放置二的一次方也就是二粒米，第二格放置二的二次方也就是四粒米，第三格放置二的三次方也就是八粒米……國王說，這有什么難的呢？大臣笑道，恐怕陛下沒有這么多米粒吧？這樣的問題情境，對于學(xué)生認識乘方有著重要的意義. 學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識不再是無動于衷，而是在知識情感的基礎(chǔ)上多了一份知識理性.

基于情境的教學(xué)讓學(xué)生干癟的數(shù)學(xué)“臨近概念”更加飽滿. 知識不再游離于學(xué)生之外，而是切入學(xué)生的經(jīng)驗系統(tǒng)、情感系統(tǒng)，讓其多了一份真切的體驗和感受. 如此，學(xué)生不僅從文字表面理解了數(shù)學(xué)概念，而且理解了概念的本質(zhì)內(nèi)涵、深層意蘊.

2. 多向辨析：讓學(xué)生逼近概念的內(nèi)核

某些數(shù)學(xué)概念，其內(nèi)涵是十分豐富的，從不同的視角看，基于不同的場景，具有不同的意蘊和內(nèi)涵. 教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生思辨、辨析，不斷逼近概念的本質(zhì)內(nèi)核. 有時候，教師還需要將單個的概念放置于概念結(jié)構(gòu)、概念體系中才能獲得全面而深刻的理解. 俗話說，有比較才有鑒別，概念通常的定義方法是“屬加種差”式的，對相關(guān)概念進行比較，尋找概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，同樣能夠?qū)W(xué)生的“臨近概念”發(fā)展、提升為科學(xué)化的數(shù)學(xué)概念.

例如人教版八年級的“矩形、菱形和正方形”，除了基本的定義外，還需要學(xué)生自覺地將這些概念進行比較. 通過比較，凸顯概念的本質(zhì)內(nèi)涵，從而突破自我臨近概念的局限. 就拿內(nèi)涵最深刻、外延最窄的正方形來說，和菱形比較，可以發(fā)現(xiàn)有一個角是直角的菱形是正方形;和矩形比較，可以發(fā)現(xiàn)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;再和平行四邊形進行比較，可以發(fā)現(xiàn)有一個角是直角、一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形等等. 在不同的比較中，正方形顯示出不同的內(nèi)涵，表現(xiàn)為不同的外延，也正是在比較中，學(xué)生能夠突破自我的認識局限，超越自我的臨近概念，逐步逼近概念的本質(zhì)內(nèi)核.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解是緩慢的，建構(gòu)是漸進的. 某種意義上，學(xué)生的“臨近概念”是一種“模糊性的精確”，是源于學(xué)生自我認知的[1].

3. 緩沖建構(gòu)：引導(dǎo)學(xué)生抵達概念的本質(zhì)

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認知與把握不是一次性到位的，其間可能要經(jīng)過一個漫長的、曲折的過程. 教學(xué)中，教師不能要求教學(xué)的一帆風(fēng)順，不能企望教學(xué)的一蹴而就，而應(yīng)允許學(xué)生的緩沖理解. 學(xué)生的這種緩沖理解可能只是學(xué)生的一種體驗、一種意會，可能只是學(xué)生一種懵懂的表達，但其中卻閃現(xiàn)著數(shù)學(xué)本質(zhì)的光輝，蘊含著數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的種子.

例如教學(xué)“三角函數(shù)”，其定義經(jīng)歷了幾個不斷深化、循序漸進的過程. 首先，是讓學(xué)生理解直角三角形邊長的比來刻畫銳角三角函數(shù)，這是三角函數(shù)最為基本的定義;其次，是用點的坐標來表示三角函數(shù)定義;再次是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)線、三角函數(shù)值在各個象限的符號、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等等. 對于三角函數(shù)概念的深度發(fā)掘，能夠讓學(xué)生理解三角函數(shù)的內(nèi)涵和外延. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解有時不是一步到位的，正如三角函數(shù)概念的建立. 但是，學(xué)生數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)認識的不周全，恰恰為教師的豐富性教學(xué)提供了可能. 正是由于對數(shù)學(xué)概念的分層建構(gòu)，才讓學(xué)生真正感受、體驗到數(shù)學(xué)的嚴謹、嚴密，體驗到數(shù)學(xué)概念高度的抽象性、普適性.

俗話說，“磨刀不誤砍柴工”. 三角函數(shù)的概念是整個三角函數(shù)部分的奠基石，貫穿于與三角函數(shù)有關(guān)的各個部分內(nèi)容之中并發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用. 教師重視概念教學(xué)，有助于讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延. 教學(xué)中，要讓學(xué)生反復(fù)體會、螺旋上升、逐步理解，從而能夠靈活運用.

學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成過程是一個漸進化的過程，“臨近概念”是學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的一個重要階段. 教學(xué)中，教師不能急功近利，不能急躁浮躁，奢望一蹴而就，而應(yīng)從學(xué)生的“臨近概念”出發(fā)，引領(lǐng)啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生從對數(shù)學(xué)概念的臨近理解發(fā)展、提升為數(shù)學(xué)化的理解. 如此，學(xué)生對概念的認知才能從模糊走向清晰、從模糊走向精準.

參考文獻：

[1]趙庭標. 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的章始概念課教學(xué)實踐與探索 [J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017 （32）：2-5.