基于DGS技術(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)融合策略的案例研究

趙麗娜

【摘要】信息技術(shù)與課程整合成為國(guó)際教育改革和發(fā)展中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，但對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的深入研究進(jìn)入了瓶頸期.本文是“設(shè)計(jì)研究”視角下的課程整合，強(qiáng)調(diào)通過(guò)教學(xué)方法、活動(dòng)和任務(wù)的設(shè)計(jì)來(lái)有效地利用技術(shù)，基于案例探索三種融合策略，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注實(shí)際的教學(xué)情境和思維認(rèn)知是整合研究設(shè)計(jì)的本源.

【關(guān)鍵詞】DGS技術(shù);TMPACK;整合策略

【基金項(xiàng)目】本文系吉林省發(fā)改委項(xiàng)目：認(rèn)知診斷模型構(gòu)建、軟件開發(fā)與推廣（2015Y054）和吉林省教育廳項(xiàng)目JJKH20180044SK的研究成果之一.

信息技術(shù)與課程整合成為國(guó)際教育改革和發(fā)展中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.DGS技術(shù)（動(dòng)態(tài)幾何軟件（Dynamic Geometer Software）的英文縮略形式）是基于DGS平臺(tái)以DGS操作主的計(jì)算機(jī)技術(shù)，在我國(guó)DGS主要有幾何畫板/超級(jí)畫板Geogebra、Fathom動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)軟件/Z+Z智能教育平臺(tái)/Excel/圖形計(jì)算器等.把DGS技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但給學(xué)生提供了理解數(shù)學(xué)的源泉，而且也給學(xué)生提供了探究和創(chuàng)新的實(shí)踐環(huán)境.本文是“設(shè)計(jì)研究”視角下的課程整合，強(qiáng)調(diào)通過(guò)教學(xué)方法、活動(dòng)和任務(wù)的設(shè)計(jì)來(lái)有效地利用技術(shù)，基于問(wèn)題探索三種融合策略，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重過(guò)程的生成性和學(xué)生思維化的過(guò)程，關(guān)注實(shí)際的教學(xué)情境和思維認(rèn)知是整合研究設(shè)計(jì)的本源.

案例呈現(xiàn)：如圖所示，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過(guò)平移得到的線段記為PQ，連接PA，QD，并過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA，OP.

（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過(guò)程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請(qǐng)判斷OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明;

（3）在平移變換過(guò)程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值.

策略1 基于問(wèn)題情境的預(yù)設(shè)生成策略

【探索1】由題意可得：邊BC在其所在的直線上平移，平移得到的線段記為PQ，所以在動(dòng)線段BC移動(dòng)的過(guò)程中，連接PA，QD所得到的四邊形APQD中存在不變量.同時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BD，垂足為O，連接OA，OP可以探究出OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并及時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證得出最后的結(jié)論.在此過(guò)程中，也可以求解出伴隨動(dòng)線段的運(yùn)動(dòng)，△OPB對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)關(guān)系式.故可以利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)操作向?qū)W生直觀演示動(dòng)線段BC在其所在的直線上的平移變換過(guò)程，在仔細(xì)觀察中尋找其中的不變量.幾何畫板的驗(yàn)證探究中的動(dòng)畫效果如下圖所示.

通過(guò)DGS技術(shù)軟件借助其強(qiáng)大的作圖工具使問(wèn)題清晰化，對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡有了直觀把握，由文本中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)展現(xiàn)，通過(guò)DGS技術(shù)與數(shù)學(xué)問(wèn)題的整合，轉(zhuǎn)換為信息技術(shù)環(huán)境中的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)可通過(guò)“畫圖”“測(cè)量”“軌跡”等配套功能固定某一個(gè)數(shù)量關(guān)系或者空間形式，直觀地觀察到當(dāng)某一些數(shù)量變化或幾何量變化情況，構(gòu)建動(dòng)態(tài)的“情境”讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而發(fā)現(xiàn)不變量，這為在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境提供了很大的便利，DGS技術(shù)可讓學(xué)生在獲得正式數(shù)學(xué)概念之前擁有數(shù)學(xué)現(xiàn)象的經(jīng)驗(yàn).

策略2 基于動(dòng)態(tài)直觀的表征轉(zhuǎn)化策略

【探索2】第（1）問(wèn)可以在探索1中的設(shè)置幾何畫板動(dòng)畫按鈕的操作基礎(chǔ)上，仔細(xì)觀察：在動(dòng)線段BC作平移變換的過(guò)程中，四邊形APQD中的不變性和不變量，以便于利用特殊四邊形的判定方法獲得四邊形APQD的形狀的結(jié)論，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言，然后利用幾何畫板中的度量等功能進(jìn)行如下探究：

基于DGS技術(shù)將言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)形象的動(dòng)作表征（物理過(guò)程）、圖像表征（視覺）和符號(hào)表征（抽象），數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)性轉(zhuǎn)化為可教授的教育形態(tài)，在DGS技術(shù)環(huán)境中學(xué)生的學(xué)習(xí)成為一種真正意義上的理解性學(xué)習(xí)，抽象的概念形象化，簡(jiǎn)單的結(jié)論充實(shí)化，有利于消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的距離感，促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)理解和本質(zhì)認(rèn)知.

策略3 基于活動(dòng)探究的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略

【探索3】在幾何畫板的動(dòng)畫按鈕的設(shè)置中，觀察與OA，OP相關(guān)的不變性與不變量，可以發(fā)現(xiàn)：在動(dòng)線段BC作平移變換的過(guò)程中，△AOB和△POQ的大小和形狀完全相同.利用幾何畫板的度量功能可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形的面積一直相等.

【探索4】利用幾何畫板的度量功能可以發(fā)現(xiàn)：OA與OP的長(zhǎng)度一直相等，同時(shí)，OA與OP之間的夾角一直為90°，故在利用上述三角形全等所得的探究思路的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步利用幾何畫板驗(yàn)證出所得的OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的結(jié)論的正確性.

本題的解題關(guān)鍵在于分析在動(dòng)線段運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，因此，借助DGS技術(shù)不斷設(shè)計(jì)問(wèn)題串，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探索所求問(wèn)題中蘊(yùn)含的不變性和不變量，從而找到解決問(wèn)題的突破口.傳統(tǒng)教學(xué)傾向于直接說(shuō)出解題思路，在一系列代數(shù)計(jì)算證明中引導(dǎo)學(xué)生探究正確答案，而學(xué)生經(jīng)常對(duì)解題的思路和所用方法產(chǎn)生疑問(wèn)，在自己做題時(shí)，不知如何獲得解題思路.而幾何畫板驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)重在幫助學(xué)生理解傳統(tǒng)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的解題思路，在幾何畫板的理解運(yùn)動(dòng)過(guò)程、多角度探究不變性和不變量的驗(yàn)證教學(xué)中，體會(huì)解題思路的來(lái)源，在探究類似題目時(shí)學(xué)會(huì)多角度分析問(wèn)題的解題思路，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.

【參考文獻(xiàn)】

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