波利亞“怎樣解題表”指導(dǎo)下的命題課教學(xué)

☉南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 葛雯琳

波利亞是美國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，他對(duì)數(shù)學(xué)思維的研究具有劃時(shí)代的意義，其中他提出的“怎樣解題表”更是為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了可操作性的指導(dǎo).波利亞指出“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”，但是這里的“解題訓(xùn)練”并非是“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是問(wèn)題的解決.他倡導(dǎo)的解題是一個(gè)探索的過(guò)程，是誘發(fā)學(xué)生思考和創(chuàng)造的過(guò)程.而“怎樣解題表”實(shí)際上是一個(gè)用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的智力活動(dòng)表.有研究者將波利亞的“怎樣解題表”應(yīng)用于中、高考題的解答，或是習(xí)題課的教學(xué)中，利用“怎樣解題表”的操作順序解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生解一題，會(huì)一類(lèi).但是筆者認(rèn)為不應(yīng)局限于此，在數(shù)學(xué)命題、定理等的教學(xué)中亦可以滲透波利亞的“怎樣解題表”思想.于是筆者結(jié)合之前的研究，設(shè)計(jì)出證明圓周角定理的教學(xué)片段，用實(shí)例說(shuō)明如何在命題課中運(yùn)用“怎樣解題表”.主要通過(guò)大量的“解題提示語(yǔ)”來(lái)幫助學(xué)生完成新知識(shí)的形成過(guò)程.

一、波利亞“怎樣解題表”的內(nèi)涵

波利亞“怎樣解題表”主要分為4部分內(nèi)容：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案和回顧.

遇到問(wèn)題，第一步就是理解題意，目的在于對(duì)題目的整體分析，把握題目的條件和目標(biāo).在理解題目階段，圖形和符號(hào)與數(shù)學(xué)思維緊密相聯(lián)，它們的使用有助于思考.因此，我們引入數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)一個(gè)文字提出的條件與結(jié)論.符號(hào)化的過(guò)程也是深入理解題意的過(guò)程.

在擬定方案的階段，關(guān)鍵是找出已知條件和目標(biāo)之間的聯(lián)系，激發(fā)一個(gè)“好念頭”的基礎(chǔ)就是“過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”.因此，“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎”是建立聯(lián)系的第一步，但是有所遺憾的是，一般問(wèn)題都與已有經(jīng)驗(yàn)有所差異，因此，我們需要一些方法來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理：對(duì)問(wèn)題形式進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，將一些專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)轉(zhuǎn)化為一般的語(yǔ)言分析.例如：“你能重新敘述這個(gè)問(wèn)題嗎？”用不同的方法去表述原題，使問(wèn)題表述得更具有熟悉度，更簡(jiǎn)潔平易，更有希望解決.更甚，我們找不到已知條件和未知量之間的直接聯(lián)系，那么可以考慮舍去一部分條件或結(jié)論得到相似的問(wèn)題（特殊化、一般化），借助輔助問(wèn)題的方法或結(jié)果來(lái)尋找思路.但我們對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分解組合，有可能會(huì)在“變”中迷失，因此“回到定義上”作為不斷提醒自己的有效提示語(yǔ)，讓我們能時(shí)刻不忘問(wèn)題之本.

表1

在執(zhí)行方案的階段，是零碎想法整體化的過(guò)程，是分析思路綜合表達(dá)的過(guò)程.這需要我們做到對(duì)每個(gè)步驟的來(lái)源與作用了然于心.“你能看出來(lái)嗎”“你能證明嗎”，從直觀上和形式上檢查每一步驟的正確性，直觀想象和邏輯推理并重而行.

在回顧階段，對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程進(jìn)行反思和推廣應(yīng)用，從而獲得新的方法和經(jīng)驗(yàn).回顧本質(zhì)上是從“理解性”和“發(fā)展性”兩個(gè)方面來(lái)認(rèn)識(shí)解題的過(guò)程.一方面，從理解的角度，回顧解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵，總結(jié)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn).另一方面，從發(fā)展的角度重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題的方法和結(jié)果進(jìn)行推廣深化，形成反思、評(píng)價(jià)的良好習(xí)慣.

解決一個(gè)問(wèn)題給學(xué)生帶來(lái)的喜悅感是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的一大關(guān)鍵，而成功解決問(wèn)題的路上并非一帆風(fēng)順，如果教師能夠用這樣激勵(lì)性的“提示語(yǔ)”來(lái)幫助學(xué)生解答問(wèn)題，讓他們感受到“自然”，在這樣的指引下，學(xué)生的獨(dú)立思考能力一定會(huì)有所提升，對(duì)解決問(wèn)題的方法也會(huì)有更深的領(lǐng)悟.從“解題”到“學(xué)解題”，是知識(shí)、技能到思想方法的升華.

二、在教學(xué)中善用波利亞“怎樣解題表”

美國(guó)心理學(xué)家布魯納曾說(shuō)過(guò)：“教學(xué)過(guò)程，是一種提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的持續(xù)不斷的活動(dòng).”波利亞的“怎樣解題表”提供了一個(gè)清晰、完整的解題步驟，可以用于解決各式各類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.自然地，教學(xué)過(guò)程作為一個(gè)問(wèn)題提出、求解的活動(dòng)，“怎樣解題表”在其中也有著重要的地位.“怎樣解題表”含有大量的元認(rèn)知提示語(yǔ)，這些提示語(yǔ)符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特征規(guī)律，能夠啟發(fā)學(xué)生思考，將內(nèi)在思維過(guò)程轉(zhuǎn)化成顯性的可操作性程序，對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展有很大的促進(jìn)作用.因此教師在教學(xué)中應(yīng)善用“提示語(yǔ)”.

波利亞的提示語(yǔ)具有兩個(gè)共同的特征：常識(shí)性和普遍性.因?yàn)槌ＷR(shí)性，所以學(xué)生自己也可能想出類(lèi)似的問(wèn)題，比較自然.因?yàn)槠毡樾?，所以不直接指向結(jié)果，而是讓學(xué)生有“事”可做，學(xué)生能夠在自己的探索下進(jìn)行活躍的思維活動(dòng)，逐漸接近問(wèn)題的中心，成功解決.如果教師經(jīng)常使用這些“提示語(yǔ)”，并且學(xué)生在相同的“提示語(yǔ)”的幫助，反復(fù)幾次，學(xué)生必然會(huì)注意到這些提示語(yǔ)進(jìn)而嘗試自己運(yùn)用這些提示語(yǔ)，但凡有一次成功就能讓學(xué)生對(duì)這些提示語(yǔ)有所領(lǐng)悟，從而逐漸理解、掌握、應(yīng)用，形成自己的解題方法，歸納出自己的“提示語(yǔ)”.授之以“魚(yú)”不如授之以“漁”，進(jìn)而授之以“欲”.學(xué)生學(xué)到的遠(yuǎn)比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更加重要.

因此，在教學(xué)中教師若能將“怎樣解題表”融于平時(shí)教學(xué)，善用“提示語(yǔ)”指導(dǎo)教學(xué)，必使學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)思維有很大的提升.

三、圓周角定理教學(xué)片段

在引導(dǎo)學(xué)生猜想“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半”后進(jìn)行驗(yàn)證，本設(shè)計(jì)意圖如下：

讓學(xué)生探索知識(shí)形成的過(guò)程，體會(huì)特殊化的轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)思想，掌握解決問(wèn)題的一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造、探索精神.

1.理解題意

用符號(hào)、圖形語(yǔ)言表示出已知數(shù)、未知數(shù)、條件.

師：我們現(xiàn)在要驗(yàn)證猜想：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半.

師：題設(shè)是什么？

生：一個(gè)圓周角，它所對(duì)弧的度數(shù).

師：結(jié)論是什么？

生：圓周角的度數(shù)是它所對(duì)弧度數(shù)的一半.

師：你能否畫(huà)個(gè)圖來(lái)解釋這個(gè)猜想？

學(xué)生畫(huà)出了一個(gè)圓周角∠BAC.

師：完整了嗎？請(qǐng)你用你引入的符號(hào)來(lái)表述一下題設(shè).

學(xué)生意識(shí)到題設(shè)中有兩個(gè)量.

師：“它所對(duì)弧的度數(shù)”要怎么表示？回到定義上.

生：指弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，（在圖上畫(huà)出了圓心角∠BOC）已知圓上一段弧BC，它的圓周角是∠BAC、圓心角是∠BOC，要證明：

在老師的幫助下將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表述為：

已知B、C是圓上兩點(diǎn)，A是圓上優(yōu)弧BC上異于B、C的一點(diǎn)，證明：

設(shè)計(jì)意圖：著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué).”數(shù)學(xué)語(yǔ)言具體分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言，簡(jiǎn)約而精準(zhǔn).將文字語(yǔ)言符號(hào)化、圖形化是理解題意的關(guān)鍵，學(xué)生在“翻譯”中抓住定理的關(guān)鍵要素，加深對(duì)問(wèn)題的理解.

2.擬定計(jì)劃——實(shí)施計(jì)劃

師：你打算怎么證明？

生：這個(gè)∠BAC的位置我不確定.

師：很好，你意識(shí)到一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：點(diǎn)A是圓O上異于B、C的任意一點(diǎn)，這意味著有無(wú)數(shù)個(gè)圓周角.以前是否遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題？無(wú)限多個(gè)圓周角，是無(wú)數(shù)種情況嗎？

師：我們之前是怎么解決無(wú)數(shù)多種情況的問(wèn)題的？

生：取特殊.

師：無(wú)限多是不好研究的，我們可以化無(wú)限為有限，找到最特殊的位置關(guān)系，從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況入手.

設(shè)計(jì)意圖：圓周角定理證明的難點(diǎn)：無(wú)限種情況沒(méi)有辦法一一討論，對(duì)于這樣的情況，是否能借助以往的經(jīng)驗(yàn)？由簡(jiǎn)入繁，通過(guò)一種簡(jiǎn)單情形的解決得到啟示，進(jìn)而解決復(fù)雜多樣的情況，學(xué)生在證明定理中也學(xué)習(xí)到解決問(wèn)題的一般思想方法：轉(zhuǎn)化思想.

師：（幾何畫(huà)板展示點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，觀察∠BAC什么時(shí)候最特殊.

學(xué)生找到了最特殊的情況，如圖3.

師：你能直接看出結(jié)論嗎？

生：感覺(jué)像.

師：此時(shí)圓心O和圓周角∠BAC有著怎樣的位置關(guān)系？

生：點(diǎn)O在∠BAC的邊上.

師：現(xiàn)在，你對(duì)驗(yàn)證我們的猜想有計(jì)劃了嗎？

生：分情況：點(diǎn)O在∠BAC的邊上和點(diǎn)O不在∠BAC的邊上.第一個(gè)比較好證.

師：你先從簡(jiǎn)單的情況下手，這是一個(gè)很好的策略.那你打算如何證明點(diǎn)O在∠BAC的邊上的情況呢？是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題？

生：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

師：你想到了一個(gè)很有用的定理.你能利用它嗎？

生：∠BOC=∠BAC+∠ABO，我不知道∠BAC和∠ABO的關(guān)系，它們看著像相等.如果它們相等，就可以了.

師：你看出了∠BAC=∠ABO，那你能否證明它們相等？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？有沒(méi)有潛在的條件？

生：圓的性質(zhì)！△ABO是一個(gè)等腰三角形，那就可以了.

設(shè)計(jì)意圖：在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)用以往學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)，通過(guò)一些提示語(yǔ)“你之前見(jiàn)過(guò)這樣的問(wèn)題嗎”，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系，從而加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，也在無(wú)形中增加了學(xué)生的數(shù)學(xué)信心，將陌生的問(wèn)題熟悉化.

師：根據(jù)你的思路實(shí)施你的證明.

證明略.

師：檢驗(yàn)?zāi)愕拿恳粋€(gè)步驟，你能否清楚地看出你的步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的呢？

教師與學(xué)生檢驗(yàn)證明過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖：初中生正處于直覺(jué)思維與抽象思維的過(guò)渡期，教師應(yīng)遵循學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)與心理發(fā)展規(guī)律，通過(guò)詢(xún)問(wèn)學(xué)生：“你能看出來(lái)嗎”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，在此基礎(chǔ)上詢(xún)問(wèn)：“你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？”讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，證明是檢驗(yàn)想象的最佳途徑，可培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

師：我們已經(jīng)驗(yàn)證了點(diǎn)O在∠BAC的邊上時(shí)結(jié)論成立.這道題解決了嗎？

生：沒(méi)，還有其他情形.點(diǎn)O在∠BAC的內(nèi)部、外部時(shí).

師：當(dāng)點(diǎn)O落在∠BAC的內(nèi)部時(shí)，你能證明結(jié)論嗎？

師：這個(gè)問(wèn)題與我們剛解決的問(wèn)題相關(guān)嗎？你能不能利用它？

生：應(yīng)該能，但是這不是三角形，更別說(shuō)等腰三角形了.

師：為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

學(xué)生提出：連接AO并延長(zhǎng)，與圓O交于另一點(diǎn)G.

師：出于什么目的？

生：這樣就出現(xiàn)了等腰三角形.

師：此時(shí)，你能證明嗎？

學(xué)生實(shí)施證明過(guò)程.

師：通過(guò)添加輔助線，我們將點(diǎn)O落在∠BAC的內(nèi)部轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)O落在∠BAC的邊上的情形.

師：我們討論了點(diǎn)O落在∠BAC上、點(diǎn)O落在∠BAC的內(nèi)部的情況，還有點(diǎn)O落在∠BAC的外部的情形.這種情形我們?cè)撛趺醋C明？你能否利用之前的結(jié)果和方法？

生：按照之前方法，添加輔助線，連接AO，并延長(zhǎng)與圓O交于另一點(diǎn)G，此時(shí)得到∠BOG=2∠BAG.

師：這與你要證明的結(jié)論有關(guān)嗎？

生：只要∠COG=2∠CAG，相減就是我們要證的結(jié)論.

師：∠COG=2∠CAG是你猜想的還是你驗(yàn)證的？

生：我猜的，但是可以證明，就像證明第一種情況一樣.

師：所以實(shí)際上，我們是把點(diǎn)O落在∠BAC的外部轉(zhuǎn)化成點(diǎn)O落在∠BAC的邊上的情形.給出你的具體證明.

證明略.

師：通過(guò)以上三種情況的討論，我們發(fā)現(xiàn)：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，那么自然地，同弧所對(duì)的圓周角相等.

設(shè)計(jì)意圖：教師通過(guò)“提示語(yǔ)”引導(dǎo)學(xué)生借助以往知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去聯(lián)想、去轉(zhuǎn)化，往往需要一些輔助元素，將原題變換一下，增加問(wèn)題的“相似度”，但是要提醒“要證明的是什么”，在變化中不要忘了原來(lái)的問(wèn)題是什么.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生充分利用腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，重組改造，一步步解決問(wèn)題.

3.回顧

（1）反思總結(jié).

回顧我們驗(yàn)證猜想的整個(gè)過(guò)程，同學(xué)們有什么感想？你能回答出以下問(wèn)題嗎？

①當(dāng)我們遇到不熟悉的問(wèn)題時(shí)，我們是怎么做的？

想想之前有沒(méi)有遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題，借助已有的經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題.

②當(dāng)我們遇到無(wú)限多種情況無(wú)法一一討論時(shí)，我們采用什么樣的方法？

尋找特殊的情況，將無(wú)限多個(gè)圓周角轉(zhuǎn)化成三類(lèi)有限的情況去討論.

③采取這種方法的依據(jù)是什么？

依據(jù)點(diǎn)O與圓心角∠BOC的關(guān)系，通過(guò)有限的分類(lèi)驗(yàn)證了無(wú)限的問(wèn)題.

④在解決第二類(lèi)和第三類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們添加了輔助線，這一做法出于什么樣的目的？

利用已有的結(jié)果和方法，將第二類(lèi)和第三類(lèi)情形轉(zhuǎn)化成第一類(lèi)情形.

（2）推廣深化.

你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：回顧小結(jié)是提升學(xué)生能力的重要階段，不僅是強(qiáng)調(diào)這節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，更是從更高的角度審思這部分內(nèi)容，將數(shù)學(xué)思想方法外顯化，進(jìn)行歸納、提煉，形成解決問(wèn)題的一般方法，讓學(xué)生有更多的收獲.

四、結(jié)語(yǔ)

波利亞說(shuō)：“只要應(yīng)用得當(dāng)，如果你向自己提出表中的這些問(wèn)題與建議，可以幫助解決你的問(wèn)題；而如果你向你的學(xué)生提出同樣的問(wèn)題與建議，你就可以幫助解決他們的問(wèn)題.”平時(shí)教師若能有意識(shí)地將“怎樣解題表”的思想滲透于命題課教學(xué)，不僅可以幫助學(xué)生解決現(xiàn)行的問(wèn)題，還能啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用這些“提示語(yǔ)”和方法自我?guī)椭?，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.在應(yīng)用“怎樣解題表”時(shí)，要注意根據(jù)學(xué)生反應(yīng)靈活使用，上述操作并非死板的順序.