永磁同步電機的有限時間動態(tài)面位置跟蹤控制

胡成江,于金鵬,于海生,付 程

(青島大學，青島 266071)

0 引 言

永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)相比于其他電動機結構簡單、易于維護、能量轉換效率高，因此，PMSM在工業(yè)控制領域中應用廣泛。PMSM的矢量控制方法可以保證系統有良好的穩(wěn)態(tài)響應，但是動態(tài)響應較差?？紤]到PMSM的動態(tài)模型是一個非線性和強耦合的模型，目前對PMSM的控制仍然是一個熱門問題。為了實現對PMSM驅動系統的高性能控制，專家學者們提出了很多非線性控制方法，如反饋線性化控制[1]、滑模變結構控制[2]、自適應控制[3,7]、反步控制[4-5]和動態(tài)面控制[6]等控制方法。

反步控制技術是非線性控制領域的一大突破，反步控制技術可以保證系統的跟蹤效果，提高系統的瞬態(tài)性能，但是反步控制算法中的“計算爆炸”問題，使其不能得到廣泛的應用。1997年，Swaroop D 提出了動態(tài)面控制技術[19]，動態(tài)面技術與反步控制技術相結合，通過引入一個低通濾波器，解決了反步控制算法中“計算爆炸”的問題。文獻[6]將動態(tài)面控制技術運用到非線性動力系統控制中，在解決系統“計算爆炸”問題的同時，使系統的跟蹤誤差在規(guī)定的范圍內，同時閉環(huán)系統其他的所有信號被限制在一個小的鄰域內。文獻[18]將動態(tài)面技術運用到PMSM控制中，構造了一個自適應動態(tài)面控制器，避免了反步控制算法中的“計算爆炸”問題，但系統的跟蹤誤差在時間趨于無窮大時，才能達到理想的跟蹤效果。

在另一個研究領域上，有限時間控制技術[12-15]具有響應更快、跟蹤精度更高和抗干擾能力更強的優(yōu)點，文獻[20-22]研究了高階非線性系統的有限時間控制，但只考慮了穩(wěn)定性問題，然而在一些工程應用中的跟蹤問題也應該得到解決。有限時間控制技術[13，22]運用到跟蹤控制中可以達到更理想的效果。動態(tài)面反步控制技術可以有效地解決非線性系統的跟蹤問題，但是如何在動態(tài)面反步控制的基礎上，使跟蹤誤差能夠在有限時間內達到理想的效果這一問題仍未解決。

基于上述問題，本文研究了PMSM的有限時間動態(tài)面跟蹤控制技術，引入神經網絡技術[8-11]來逼近系統中存在非線性未知項，通過自適應技術解決了神經網絡控制算法中存在參數未知的問題，利用動態(tài)面控制解決了反步控制算法中不可避免的“計算爆炸”問題，在保留動態(tài)面自適應神經網絡反步法優(yōu)點的基礎上，引入有限時間技術[12-15]，提高了系統的收斂速度，本文的控制方法，與目前PMSM控制方法相比，主要的優(yōu)點如下：

1)與文獻[18]的控制技術相比，引入有限時間控制技術，提高了系統的收斂速度。

2)與文獻[4]的控制技術相比，本文采用了動態(tài)面控制技術，解決了傳統反步控制技術中“計算爆炸”的問題。

3)控制器只需一個自適應律，減小了在線計算時間，更適于工程應用。

1 建立PMSM數學模型

在d-q坐標下，PMSM的數學模型：

式中：Θ為轉子角度;id和iq分別為d軸和q軸電流；ud和uq分別為d軸和q軸電壓;Rs為定子電阻；ω為轉子角速度;Ld和Lq分別為d軸和q軸電感；p為PMSM的極對數；J為轉動慣量；B為摩擦系數；T為電磁轉矩；TL為負載轉矩；Ψ為磁鏈。

PMSM模型可以表示:

引理2[13]：任取xi∈R，i=1,2,…，n，0

式中：vi=[vi1,…，viq]T是接受域的中心；qi是高斯函數的寬度。由文獻[17]可知，給定標量ε>0，選擇足夠大的l，RBF-NN能夠在緊集Ωz?Rq下逼近任何連續(xù)函數：φ(z)=ΦTP(z)+δ(z),?z∈Ωz?Rq，其中δ(z)為跟蹤誤差，跟蹤誤差滿足|δ(z)|≤ε；Φ是為分析而定義的未知的理想權向量，Φ的取值為Φ*時,使|δ(z)|在z∈Ωz中取得最小值，其定義如下：

2 PMSM系統控制器設計

定義系統誤差變量，其中xd為給定的期望：

(1)

(2)

構建虛擬控制函數：

(3)

式中：k1>0，引入一個新的狀態(tài)變量α1d，使α1通過一個時間常數為1的一階濾波器：

(4)

將式(1)、式(3)、式(4)代入式(2)，得：

(5)

(6)

(7)

構建虛擬控制函數：

(8)

(9)

將式(7)～式(9)代入式(6)，得：

(10)

(11)

(12)

設計其真實控制律uq：

(13)

將式(12)和式(13)代入式(11)，得：

(14)

z4[f4(Z4)+c3ud]

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)中，得：

(17)

設計其真實控制律ud：

(18)

定義θ=max{‖φ2‖2,‖φ3‖2,‖φ4‖2}，將式(18)代入式(17)，得：

(19)

(20)

得到如下等式：

(21)

(22)

式中：

D1=-α·1

D2=-α·2}

(23)

取自適應率：

(24)

式中：m1,r1和li(i=2,3,4)均為正數。

3 穩(wěn)定性分析

選擇如下Lyapunov函數：

(25)

式中：r1為正數。對V求導，得：

(26)

將式(24)代入式(26)，得：

(27)

由文獻[18]可知，|Di|在緊集|Ωi|上具有最大值Dim(i=1,2),|Di|≤Dim，由此可得以下不等式：

(28)

式中：τ>0。由楊氏不等式得：

(29)

(30)

(31)

將式(28)～式(31)代入式(27)，得：

(32)

(33)

(34)

由式(33)和式(34)可得：

(35)

同理，可得：

(36)

(37)

由上式可得：

(38)

由式(38)可得：

(39)

在真實控制律uq和ud的作用下，PMSM控制系統在有限的時間內達到穩(wěn)定狀態(tài)，其位置跟蹤誤差在對應的時間內收斂于原點周圍期望的鄰域內，由此證明該方法是有效的。

4 對比實驗分析

為了驗證本文的PMSM有限時間動態(tài)面跟蹤控制技術在控制系統中的有效性，在MATLAB環(huán)境中進行仿真。PMSM的數學模型中電機及負載參數如下：J=0.003 798 kg·m2,Ld=0.003 15 H,p=3,Lq=0.00285H,B=0.001158N·m/(rad·s-1),Rs=0.68 Ω,Ψ=0.124 5 H。

控制器參數選取如下：k1=6,k2=75,k3=65,k4=430,r1=0.05,l2=l3=l4=3,m1=0.05,1=59,2=2,γ=0.818 1,s2=6,s3=15,s1=7.5,s4=114。

在PMSM零初始狀態(tài)下進行仿真，給定的期望跟蹤信號xd=sint，設定其負載轉矩：

仿真結果如圖1～圖5所示。

圖1為在有限時間動態(tài)面反步法控制下仿真結果，圖2為在動態(tài)面反步法控制下仿真結果，由圖1和圖2可知，與動態(tài)面反步技術相比，有限時間技術可以提高系統的收斂速度。系統在兩種方法控制下的位置跟蹤誤差波形對比如圖3所示，引入有限時間控制技術后PMSM位置跟蹤誤差更小，系統的抗干擾能力更強。圖4為圖1控制方法下d軸電壓和q軸電壓的波形圖，由圖4可知，ud和uq的值都穩(wěn)定在一定范圍內。圖5為動態(tài)面控制技術下d軸電壓和q軸電壓的波形圖。

圖1有限時間動態(tài)面反步法控制下x1和xd的波形

圖2動態(tài)面反步法控制下x1和xd的波形

圖3兩種控制方法下跟蹤誤差(x1-xd)

(a) 控制器輸入信號ud

(b) 控制器輸入信號uq

圖4有限時間動態(tài)面反步法控制下的輸入信號

(a) 控制器輸入信號ud

(b) 控制器輸入信號uq

圖5動態(tài)面控制下的輸入信號

與文獻[18]的動態(tài)面控制技術相比，本文引入了有限時間控制技術，加快了系統的收斂速度，減小了系統的跟蹤誤差，提高了系統的魯棒性。

5 結 語

本文將有限時間方法和動態(tài)面反步法相結合，實現了PMSM的非線性位置跟蹤控制，仿真分析結果表明，將有限時間技術與動態(tài)面反步法相結合，保留了動態(tài)面反步法的優(yōu)點之外，在縮短系統收斂時間的同時，減小了系統的跟蹤誤差，提高了系統的魯棒性。