搭建化歸平臺　借他山石攻玉

蘇華春

摘 要：“化歸思想并非源于數(shù)學，它的根源在于人類的思維定式——以現(xiàn)有的方法去處理面臨的新問題。”借助這種思維原則來學習與教學?？墒掳牍Ρ丁Ｎ恼陆梃b化歸思想為高中數(shù)學教學提供一種思路——搭建化歸平臺，以促進學生理解掌握數(shù)學知識，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)，融合提升數(shù)學理論應用能力。

關鍵詞：化歸平臺;高中數(shù)學;化歸思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-03-27 文章編號：1674-120X（2019）21-0080-02

化歸思想是重要的數(shù)學思想之一，多數(shù)教師只將化歸思想方法視為解題思想方法，事實上化歸思想曾被笛卡爾譽為“萬能方法”：“一切問題都可數(shù)學化，化歸為數(shù)學問題;一切數(shù)學問題都可化歸為代數(shù)問題;一切代數(shù)問題又都可化歸為方程問題，有了方程理論就可解決一切問題。” 雖然這一方法并不是萬能的，但是這種思維原則體現(xiàn)了“化歸思想并非源于數(shù)學，它的根源在于人類的思維定式——以現(xiàn)有的方法去處理面臨的新問題”。在教學中，把“化歸”作為一種教學思想方法，就是把那些有待教學、學生學習比較難的問題（內(nèi)容），通過某種轉化手段（搭建的平臺），化歸到學生已經(jīng)解決或比較容易解決或已有解決程序的問題（內(nèi)容），即“規(guī)范問題”，通過對規(guī)范問題的教學，使學生解決（學習）新問題。本文借鑒化歸思想為高中數(shù)學教學提供一種思路——搭建化歸平臺促進學生理解掌握數(shù)學知識、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)、融合提升數(shù)學理論應用能力。

一、在知識發(fā)生過程中搭建知識同化、順應的化歸平臺，促新知的內(nèi)化吸收

中學數(shù)學知識內(nèi)在邏輯關系緊密，新知的學習多在舊知基礎上擴充定義，擴展延伸知識與方法，提煉產(chǎn)生新知識、新方法，是從已知到未知的表層知識規(guī)范化的過程。教師可立足于學生已有的學習基礎，著眼尋找新知識與已經(jīng)學習過的相關知識間的內(nèi)在聯(lián)系，通過化歸的方式，把將要教學的知識用已學習過的知識來建構，讓學生調(diào)整頭腦中已有的知識結構去適應新的學習內(nèi)容，使其對新知識的學習轉變成對原有知識的發(fā)展。

如教學“空間等角定理”及其本質(zhì)——空間平移的不變性（角的大?。山惷嬷本€所成角與平面相交直線所成角的聯(lián)系。反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)兩個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。教學中強化從“數(shù)”的對應（映射）關系和“形”的對稱關系理解反函數(shù)，學生就會參考已學過的指數(shù)函數(shù)的定義以及相關性質(zhì)來理解內(nèi)化對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)?！皵?shù)列的通項本質(zhì)是一個特殊的函數(shù)”是理解數(shù)列的節(jié)點，教學在“數(shù)列是一個特殊的函數(shù)”上下功夫：①在數(shù)列中由項的序號可得對應項，即對每一個序號，都有唯一的項與之對應，這種對應本質(zhì)是什么？以針對性的問題來揭示數(shù)列與函數(shù)的關系。②數(shù)列到底是怎樣的函數(shù)？誰是自變量？誰是函數(shù)？（序號n是自變量，項an是函數(shù)）an是關于n的函數(shù)，這個函數(shù)的定義域是什么？數(shù)an是關于n的這個函數(shù)的什么？理清通項函數(shù)的內(nèi)涵。③函數(shù)從哪幾個角度研究？數(shù)列呢？讓學生用函數(shù)的知識方法去建構數(shù)列的知識方法。教學中通過抓住新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系的橋梁，架設知識同化、順應的化歸平臺，充分發(fā)揮學生的主體地位，讓學生參與到類比、歸納、化歸的過程中去，促進知識習得與內(nèi)化。

二、在知識應用教學過程中搭建數(shù)學模型化歸平臺，促提升數(shù)學理論應用能力

要將所習得的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗轉化為“生產(chǎn)力”，鞏固所學、提升能力，需要在教學中提供例題模型平臺，幫助學生構建一定的知識應用模式。經(jīng)過適度的強化訓練，讓學生研究模型問題的條件與所求，進行翻譯、轉化、類比，調(diào)用頭腦中已有的相關聯(lián)的認知結構來演繹、來推理，激活儲備信息把問題轉化為基本概念、定理、公式或圖形問題，按照條件代入公式或定理而得出結論，讓學生在大腦里形成一定的解題系統(tǒng)。不斷教會學生學會如何想題，如何追根求源，進而讓學生深刻理解概念，掌握研究方法。

例如初學等差數(shù)列的定義，由于數(shù)學符號的抽象性，學生無法馬上從本質(zhì)上理解什么是等差數(shù)列。給出例題：已知數(shù)列{an}滿足下列條件，求通項。

（1）a2n+1=a2n+4，且a1=1，an>0.

（2）

（3）

（4）

（5）lgan+1=lgan+2，且a1=2.

（6）

給學生充分的時間整體來觀察題目條件的共同結構特征，讓學生內(nèi)化“在你的心目中什么是等差數(shù)列”“上述題目中有沒有能構成等差數(shù)列的結構”，等待學生對照等差數(shù)列定義“an+1-an=d”，將上述數(shù)列整體轉化為等差數(shù)列定義形式，最后自主發(fā)現(xiàn)上述題目中{a2n}、{}、{}、{}、{lgan}、{}等都是等差數(shù)列，并得出相應的首項與公差，然后再求得數(shù)列的通項。

再如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性應用教學，設計例題與變式訓練如下：

例題1：已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求實數(shù)a的取值范圍。

變式訓練1.已知函數(shù)f（x）=，x∈[-1，1].若

f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求實數(shù)a的取值范圍。

例題2：2016年福建省質(zhì)檢數(shù)學科填空題：已知點A（3，1）， B（，2），且平行四邊形ABCD的四個頂點都在函數(shù)

f（x）=log2的圖像上，則四邊形ABCD的面積為 ? ? ? ?。

從直接應用知識的例題（源問題）到需要挖掘題設條件所反映的知識本質(zhì)的變式訓練題，讓學生經(jīng)歷識別、聯(lián)想和構建與“源問題”相關的思維橋梁，數(shù)學模型群組搭建了知識的應用化歸平臺?！跋到y(tǒng)地給學生發(fā)現(xiàn)事物的機會”，充足典型的平臺催化學生模式思想的產(chǎn)生，讓學生經(jīng)歷從不同角度、不同層次應用知識、形成應用知識模式到熟練掌握知識系統(tǒng)的過程，拓展思維，提高知識的綜合應用能力。

三、在解題教學中搭建運用化歸思想解題的展示平臺，促數(shù)學核心素養(yǎng)的形成發(fā)展

數(shù)學解題的本質(zhì)是轉化條件與結論之間的差異，化異為同，化繁為簡，需要探索化歸轉化的策略及化歸目標選擇的合理性和必然性，教學中精選例題，搭建運用化歸思想解題的展示平臺，讓學生直觀感知化歸思想在解題中的指導作用，同時升華解題思想，提升解題能力。

例：對任意x∈[-1，1]不等式x2-ax-2≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。在教學中先讓學生回顧不等式與函數(shù)圖像的關系，然后引導學生想到解此題可把代數(shù)式x2-ax-2看作函數(shù)，記（x）=x2-ax-2，指出這是化歸思想指導函數(shù)思想在起作用。這樣使（x）≤0對x∈[-1，1]恒成立就可轉化為二次函數(shù)（x）在區(qū)間x∈[-1，1]上（x）≤

0或數(shù)形結合只需函數(shù)（x）圖像在兩端點處值小于等于0。求函數(shù)（x）在區(qū)間x∈[-1，1]上的最值或用函數(shù)的圖像來研究屬于函數(shù)知識與方法的應用，屬于技能范疇，不是函數(shù)思想的體現(xiàn)。解決本題的關鍵在轉化思想與函數(shù)思想的應用，讓學生體驗建立用化歸思想指導解題的必要性，體驗應用函數(shù)思想解題就是用函數(shù)和變量去思考，引領學生開拓思維，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

在高中數(shù)學解題教學過程中，教師通過設置合理化解題建議，不斷將問題與條件的一種語言“翻譯”成另一種語言（數(shù)學語言一般有文字語言、符號語言和圖形語言），一種表現(xiàn)形式轉化為另一種表現(xiàn)形式，展示轉化思維過程與涉及的思想方法，讓學生自主揭示命題的本質(zhì)特征，從而找到解題途徑;并在解題基礎上總結和歸納解題的方法，升華到思想的高度;在后繼的習題鞏固環(huán)節(jié)中強化化歸思想對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉化功能，有效提高學生的邏輯思維能力，讓學生會想到、能做到，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

四、在復習小結的提煉和概括中搭建知識網(wǎng)絡化歸平臺，促內(nèi)容系統(tǒng)結構化

在復習小結中運用化歸方法，整合新舊知識，建構知識網(wǎng)絡， 促新舊知識有機聯(lián)系;整合解題思路，建構思維導圖，促進尋找解題策略思維過程，拓寬解題思路，迅速找到解題的突破口。如研究簡單多面體外接球問題時，探求解決此類問題本質(zhì)：確定球心位置，在小結時可歸納、歸類、構建思維導圖整合確定球心的方法如下：

內(nèi)切球的球心確定等也可采用類似方法，利用思維導圖的表征工具，展示確定球心的解題方向，展示化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易來尋找解題策略思維過程，揭示知識之間內(nèi)在聯(lián)系的功能，幫助學生在思維層次上總結歸納各種基本特征、規(guī)律，提煉和概括出其中的數(shù)學思想，有助于學生更好地理解其本質(zhì)特征。

總之，在不同的教學階段、教學環(huán)節(jié)都可“搭建化歸平臺，引發(fā)學生數(shù)學思考，為學生思維發(fā)展而教”，讓學生在自主探索、合作探究、實踐操作的基礎上領悟并駕馭數(shù)學思想，提高數(shù)學素養(yǎng)。在教學過程中教師應充分發(fā)揚新課程標準的精神，促進學生形成良好的數(shù)學思維習慣和應用數(shù)學的意識。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)（第二卷）[M].劉遠圖，等譯.北京：科學出版社，1987.