非對(duì)稱的Lp-徑向差體

齊繼兵

(1. 上海大學(xué)理學(xué)院, 上海200444; 2. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 合肥230601)

1 已有結(jié)果

近幾年, 非對(duì)稱的Lp-Brunn-Minkowski 理論是凸幾何理論的一個(gè)新的而且發(fā)展迅速的方向[1-16]. 本工作給出了文獻(xiàn)[14]的對(duì)偶結(jié)果, 研究了關(guān)于星體的非對(duì)稱Lp-徑向差體的一些性質(zhì), 建立了關(guān)于非對(duì)稱的Lp-徑向差體的均值積分的幾何不等式. 作為其特例, 得到非對(duì)稱Lp-徑向差體體積的一些不等式.

設(shè)φn為n 維歐氏空間Rn中全體星體(關(guān)于原點(diǎn))的集合, 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的星體的全體記為φns. 設(shè)K ∈φn, 其徑向函數(shù)定義[17]為

對(duì)于兩個(gè)星體K,L, 如果存在一常數(shù)λ ＞0, 使得它們的徑向函數(shù)滿足ρ(K,·) = λρ(L,·),則稱這兩個(gè)星體相互膨脹. 設(shè)K,L ∈φn,p ≥1,λ,μ≥0 不全為0, Lp-徑向線性組合λ·L ∈φn定義[17]為

式中, λ·K =λp1K. 特別地, 當(dāng)p=n-1 時(shí), λ··L ∈φn稱為徑向Blaschke 線性組合[18]; 當(dāng)p ≤-1 時(shí), λ·μ·L ∈φn稱為調(diào)和-p 組合[19].

設(shè)K ∈φn,p ≥1,τ ∈[-1,1], 引出Lp- 徑向差體K 與非對(duì)稱的Lp-徑向差體定義為

這里

設(shè)K ∈φn, K 的第i 個(gè)對(duì)偶均值積分定義[17]為

式中, S(·)為通常的球面Lebesgue 測(cè)度.

在φn中, 星體K的一種對(duì)偶被稱為星對(duì)偶, 定義[20]為

本工作的主要目標(biāo)是研究關(guān)于星體的非對(duì)稱徑向差體及其星對(duì)偶的對(duì)偶均值積分的極值問題. 進(jìn)一步地, 本工作給出了關(guān)于星體的對(duì)偶Blaschke-Santal′o 型不等式.

定理1 設(shè)K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 則有

如果K 不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則左邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =0; 右邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =±1. 如果K 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則式(9)中的兩個(gè)不等式是恒等式.

推論1 設(shè)K ∈φn, τ ∈[-1,1], p ≥1, 則有

如果K 不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則左邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =0; 右邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =±1. 如果K 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則式(10)中的兩個(gè)不等式是恒等式.

定理2 設(shè)K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 則有如果K 不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則左邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =0; 右邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =±1. 如果K 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則式(11)中的兩個(gè)不等式是恒等式.

在定理2 中取i=0, 可得到如下推論.

推論2 設(shè)K ∈φn, τ ∈[-1,1], p ≥1, 則有

如果K 不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則左邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =0; 右邊不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ =±1. 如果K 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則式(12)中的兩個(gè)不等式是恒等式.

設(shè)ωn為歐氏空間Rn中單位球的體積, 則可獲得如下關(guān)于星體的非對(duì)稱Lp徑向差體的對(duì)偶均值積分的對(duì)偶Blaschke-Santal′o 型不等式.

定理3 設(shè)K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 則有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K 為球心在原點(diǎn)的球.

推論3 設(shè)K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1, 則有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K 為球心在原點(diǎn)的球.

2 準(zhǔn)備工作

設(shè)K,L ∈φn,p ≥1,λ ≥0,μ≥0(不全為0), 調(diào)和p-組合λ··L定義[17,19]為

設(shè)Q,K,L ∈φn,p ≥1,λ ≥0,μ≥0(不全為0), 結(jié)合式(13)和(14), 有

引理1[21]如果K,L ∈φn,p ≥1,λ,μ＞0, 0 ≤i ＜n, 那么

式(16)和(17)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K 和L 互為膨脹.

引理2[22]若K,L ∈φn,p ≥1,λ,μ＞0, 0 ≤i ≤n-1, 則等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K 和L 互為膨脹.

根據(jù)Cauchy-Schwartz 不等式以及式(7)和(8)容易得到下面的引理.

引理3 設(shè)K ∈φn,0 ≤i ＜n, 則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K 是中心在原點(diǎn)的球.

3 非對(duì)稱Lp-徑向差體的一些性質(zhì)

為了證明主要結(jié)果, 本工作給出了關(guān)于非對(duì)稱Lp-徑向差體的一些性質(zhì).

定理4 設(shè)K ∈φn, τ ∈[-1,1],p ≥1,φ 為非退化的線性變換, 有

若τ /=0, 則

證明 設(shè)u ∈Sn-1, 由式(1), (2)和(4), 可得

式(20)得證. 根據(jù)式(5), (8)和(9), 有

根據(jù)定理4, 容易得到下面3 個(gè)推論.

推論4 設(shè)τ ∈[-1,1], p ≥1,K ∈φn, 但

推論5 設(shè)K ∈φns,τ ∈[-1,1], p ≥1, 則

推論6 設(shè)K,L ∈φns,τ ∈[-1,1], p ≥1, 則

4 主要結(jié)果的證明

4.1 定理1 的證明

設(shè)K ∈φn, τ ∈[-1,1],p ≥1,0 ≤i ≤n-1. 根據(jù)式(4)和(18), 可得

根據(jù)式(2)和(4), 對(duì)于任意的u ∈Sn-1, 有

由式(6), 有

即

所以

4.2 定理2 的證明

設(shè)K ∈φn, u ∈Sn-1, 由式(1)和(11), 有

因此

對(duì)于τ ∈[-1,1], p ≥1, 由式(4), (8), (13)和(23), 得到

所以

對(duì)于0 ≤i ≤n-1, 結(jié)合式(17)和(25), 得到

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f1(τ)f2(τ)=0 或Ko和-Ko互為膨脹. 如果f1(τ)f2(τ)=0,則τ =±1.如果Ko和-Ko互為膨脹, 有Ko=-Ko, 根據(jù)式(8)和(23), 也就是說K =-K. 再根據(jù)推論5, 若K = -K, 則對(duì)于任意的因此不等式組(11)右邊的不等式得證.

根據(jù)式(7), 得到

對(duì)于τ ∈[-1,1], 利用文獻(xiàn)[4, 14]的證明技巧, 計(jì)算函數(shù)關(guān)于τ 的導(dǎo)數(shù).根據(jù)式(14), (24) 和(27), 有

這里

由式(28), 等價(jià)于

根據(jù)式(23)和(25), 有

根據(jù)式(16), 得到

因?yàn)閜 ≥1,0 ≤i ≤n-1, 所以

結(jié)合式(31)和(32), 得到

根據(jù)式(13), (30)和(33), 對(duì)于任意的u ∈Sn-1, 有

如果ρ(Ko,u)-p= ρ(-Ko,u)-p對(duì)于任意的u ∈Sn-1成立, 根據(jù)式(8)和(23), 這等價(jià)于K =-K. 再根據(jù)推論5, 如果K =-K, 得到

因此式(11)左邊的不等式得證.

根據(jù)式(11), (26)和(34)可知, 如果K 不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則式(11) 左邊的不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ = 0, 右邊的不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)τ = ±1. 如果K ∈φns，即K 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, 則式(11)中左右兩個(gè)不等式是恒等式. 綜上，定理2 得證.

4.3 定理3 的證明

設(shè)K ∈φn, τ ∈[-1,1],p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 根據(jù)式(9), (11)和(19), 有

由式(9)和(19)的等號(hào)成立條件, 得到式(12)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K 為中心在原點(diǎn)的球.