考慮翹曲及擠壓影響的深孔閘門主梁正應(yīng)力解析解

陳英昕，吳思遠(yuǎn)，李 斯，王正中，吳守軍

(1. 西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；3. 上海千年城市規(guī)劃工程設(shè)計(jì)股份有限公司，上海 201108)

在水利、建筑及港口工程等領(lǐng)域，隨著荷載量級(jí)的不斷增大，組合工字形或箱形薄壁截面深梁得到越來越廣泛的應(yīng)用。深梁在橫力彎曲時(shí)，由于剪應(yīng)力沿橫截面高度的分布不均勻，剪應(yīng)變也沿截面高度同步變化，從而導(dǎo)致橫截面不能保持平面而翹曲。當(dāng)梁在各相鄰橫截面上的剪力都相等時(shí)，則各截面的翹曲程度也相同，相鄰橫截面間縱向纖維伸長(zhǎng)相同[1]，即為同步翹曲影響。但在分布荷載作用下，梁在各橫截面上的剪力不同，各橫截面的翹曲程度也不同，相鄰橫截面縱向纖維的伸長(zhǎng)也就不相同[2]，此時(shí)既要考慮同步翹曲影響，也要考慮不同步翹曲影響。同時(shí)翼緣受力使得層間纖維相互擠壓[3]也是影響因素之一。

長(zhǎng)期以來，眾多學(xué)者致力于深梁理論及應(yīng)力計(jì)算的研究，針對(duì)矩形截面深梁的應(yīng)力計(jì)算已有很多研究成果[2, 4-7]，但工字形截面梁因其截面復(fù)雜，與矩形梁相比受力機(jī)理更為復(fù)雜，精確解析解難以求出[8]。王正中等[9-11]探索了工字形截面深梁的應(yīng)力計(jì)算方法，研究了梁內(nèi)彎應(yīng)力的分布規(guī)律。利用材料力學(xué)方法考慮了不同步翹曲影響，給出了工字形截面應(yīng)力計(jì)算式；通過假定工字形梁翼緣、腹板傳力方式，采用彈性力學(xué)半逆解法推導(dǎo)出了不同支座形式應(yīng)力計(jì)算式；給出了層間擠壓應(yīng)力的計(jì)算方法，并指出其應(yīng)力值隨梁跨度和高度方向變化，不可忽略。但所采用彈性力學(xué)和有限元方法分別對(duì)工字形矩形截面梁進(jìn)行應(yīng)力分析，所得公式解法復(fù)雜，物理含義不夠明晰，不易推廣至其他特殊形狀截面梁的計(jì)算。

本文首先根據(jù)閘門面板與主梁翼緣連接形式，忽略其扭轉(zhuǎn)變形，同時(shí)摒棄材料力學(xué)中平截面及縱向纖維互不擠壓的假定，利用疊加思想，建立橫力彎曲下工字形截面深梁力學(xué)模型，推導(dǎo)出考慮同步翹曲、不同步翹曲和擠壓影響的應(yīng)力解析計(jì)算式，揭示了薄壁深梁彎曲、剪切與擠壓的耦合變形機(jī)理。進(jìn)而將本文解以及文獻(xiàn)[9- 10]解與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，分析其分布規(guī)律和適用范圍。

圖1 工字形截面尺寸Fig.1 Dimensions of I-beam cross section

1 工字形截面梁的截面特征

根據(jù)圖1定義工字形截面幾何特征參數(shù)，各參數(shù)計(jì)算如下。

設(shè)：

(1)

則：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：A1，A2分別為上下翼緣的面積；h1，h2分別為上下翼緣距中性軸的距離；h為梁高；b(y1)為距中性軸y1處橫截面寬度，即1，面積為A；I為工字形截面對(duì)中性軸的慣性矩；S*為橫截面距中性軸y1以外部分面積對(duì)中性軸的面積矩。

2 單軸對(duì)稱工字形截面正應(yīng)力計(jì)算式推導(dǎo)

圖2 計(jì)算模型Fig.2 Computation model

工字形截面單跨簡(jiǎn)支深梁是工程中常見的構(gòu)件形式，而由于閘門主梁與面板直接相連，主梁上翼緣分載作用相對(duì)面板而言較小，故該處假定由腹板處承擔(dān)上翼緣載荷，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示。圖2中的q=dQ/dz，為梁上的分布荷載，以向下為正，Q為剪力。

文獻(xiàn)[9]利用材料力學(xué)法建立工字形截面梁。當(dāng)各截面剪力不同時(shí)，正應(yīng)力計(jì)算模型即考慮不同步翹曲對(duì)正應(yīng)力的影響，其計(jì)算式為：

(6)

(7)

式中：K為截面特征無量綱數(shù)；M為橫截面上的彎矩；E為材料彈性模量；G為剪切模量；μ為泊松比；q為梁上分布荷載，以向下為正;A為截面面積。式(6)中后兩項(xiàng)即為材料力學(xué)法推得的不同步翹曲項(xiàng)。

文獻(xiàn)[10]利用彈性力學(xué)半逆解法，通過分離工字形截面腹板和翼緣并合理假設(shè)邊界條件，分別研究腹板和翼緣的受力機(jī)理，得到相應(yīng)的彈性力學(xué)法正應(yīng)力計(jì)算公式，并給出支座形式為簡(jiǎn)支時(shí)工字梁水平纖維間擠壓應(yīng)力為：

(8)

式中：S1，S2分別為上下翼緣對(duì)中性軸面積距的絕對(duì)值。

2.1 考慮同步翹曲的正應(yīng)力

圖3 微元體剪切變形Fig.3 Shear deformation of element

在以上研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建受剪力情況下微元體變形模型，如圖3所示。

現(xiàn)取梁上長(zhǎng)為dx的微段，其中P點(diǎn)在中性層上，沿x軸和y軸的正方向取兩個(gè)微小長(zhǎng)度的線段PA=dx和PB=dy，并以此圍成微元體PACB；假定微元體受剪力，其剪力以引起梁段左邊向上和右邊向下的變形為正，彎矩以使梁端產(chǎn)生向下凸出的變形為正。設(shè)截面的同一高度上剪應(yīng)力相等，可得剪應(yīng)力公式為：

(9)

微元體受剪力后，P，A，B三點(diǎn)分別移動(dòng)到P′，A′，B′，設(shè)P點(diǎn)在x方向的位移分量為u，在y方向的位移分量為v，則切應(yīng)變?chǔ)脼椋?/p>

(10)

設(shè)梁截面沒有平面內(nèi)的變形，于是v與y無關(guān)，它代表梁軸線的撓度。式(7)對(duì)y積分得：

(11)

在中性軸處由u|y=0=0的條件得：

C1(x)=0

(12)

在腹板與翼緣相交處橫向位移相同，即u1|y=h0/2=u2|y=h0/2，得：

(13)

相應(yīng)的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(14)

根據(jù)縱向?qū)又g沒有正應(yīng)力的假設(shè)，可得正應(yīng)力為：

(15)

靜力學(xué)條件為：

(16)

將式(12)代入式(13)得：

(17)

將式(17)代入式(15)即可得正應(yīng)力σM。以上求解過程不作平截面和縱向纖維無擠壓假設(shè)，其剪力引起的截面翹曲沒有考慮相鄰剪力的變化，即僅考慮同步翹曲影響。

2.2 不同步翹曲對(duì)正應(yīng)力影響

根據(jù)圖3，在均布荷載作用下，微元體兩端剪力不等。纖維的不同步縱向變形使得B′，C′移動(dòng)到B″，C″，從而相鄰截面的不同步翹曲所引起的正應(yīng)力為[9]：

(18)

2.3 縱向纖維擠壓對(duì)正應(yīng)力影響

在考慮同步翹曲、不同步翹曲影響的基礎(chǔ)上，還必須考慮水平纖維間擠壓力影響，即添加附加擠壓正應(yīng)力，其中簡(jiǎn)支工字梁水平纖維擠壓應(yīng)力如式(7)。但需要注意的是，式(7)基于彈性力學(xué)假定，σy不隨梁長(zhǎng)變化。這與文獻(xiàn)[3]中越靠近支座處擠壓力越明顯的描述不符。故假定：① 支座截面σys與跨中截面σy之差Δσy按二次拋物線分布；② 在跨中處σy沿截面高度按正弦曲線分布，從而對(duì)式(7)進(jìn)一步修正，得到隨梁高及梁長(zhǎng)(l)變化的擠壓正應(yīng)力，其中修正項(xiàng)為：

(19)

根據(jù)縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變的比例關(guān)系，推得擠壓正應(yīng)力附加項(xiàng)為：

σJ=-μ(σy+Δσy)

(20)

綜上，考慮彎剪耦合及擠壓效應(yīng)求得的單軸對(duì)稱工字形截面正應(yīng)力最終表達(dá)式為：

σx=σM+σQ+σJ

(21)

3 均布荷載作用下雙軸對(duì)稱工字形截面正應(yīng)力計(jì)算式

為了便于分析并使計(jì)算式更加簡(jiǎn)明通用，引入無量綱位置參數(shù)：剪高比ξ=2y/h，剪跨比η=x/l，跨高比α=l/h[11]，則上下翼緣處彎應(yīng)力σxw的表達(dá)式可統(tǒng)一寫為：

(22)

中性軸上下腹板處彎應(yīng)力σxs的表達(dá)式可統(tǒng)一寫為：

(23)

引入無量綱由翹曲與擠壓引起的影響系數(shù)λ，翼緣處為：

(24)

腹板處為：

(25)

λ的影響因素有跨高比α、剪高比ξ(-1≤ξ≤l)、剪跨比η(0≤η≤l)及翼緣與腹板面積比β。由于在計(jì)算式的推導(dǎo)過程中考慮了截面形式、跨高比、橫截面翹曲、縱向纖維相互擠壓及彎剪耦合效應(yīng)等問題，因而計(jì)算式具有通用性。

4 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

4.1 計(jì)算式無量綱化對(duì)比分析

與有限元模擬結(jié)果對(duì)比分析，可得：① 隨著跨高比的減小和翼緣與腹板面積比的增大，傳統(tǒng)歐拉細(xì)長(zhǎng)梁解的誤差逐漸增大。當(dāng)跨高比較小時(shí)，翼緣處正應(yīng)力誤差遠(yuǎn)大于腹板處，所以跨中截面翼緣處正應(yīng)力是主要考察范圍；② 本文解最大誤差為5.69%，文獻(xiàn)[9]解的最大誤差為9.32%，歐拉細(xì)長(zhǎng)梁解的最大誤差為18.70%，其中在跨中截面彎矩正應(yīng)力最大處不同跨高比與翼緣與腹板面積比的本文解誤差均小于文獻(xiàn)[9]的誤差，本文解更為精確，而文獻(xiàn)[10]在跨高比小于5時(shí)誤差極大。在跨高比6～8時(shí)，誤差在合理范圍內(nèi)，最大誤差為6.89%，計(jì)算結(jié)果偏于安全。

表1 跨中截面不同方法解與歐拉細(xì)長(zhǎng)梁解的比值Tab.1 Ratios between solutions of different methods to solution of Bernoulli-Euler slender beam

4.2 算例與分析

設(shè)有簡(jiǎn)支工字形截面深梁，長(zhǎng)2.50 m，高0.63 m，受均布荷載q=10 kN/m的作用，如圖2。b1=b2=0.180 m，h0=0.586 m。材料為Q235鋼，彈性模量E=2.06×108kPa，泊松比μ=0.30。

圖4 k-η 關(guān)系Fig.4 Relationships between k and η

圖5 f-ξ 關(guān)系Fig.5 Relationships between f and ξ

分析圖4和5可見：(1) 本文解可以很好地描述沿梁長(zhǎng)方向的正應(yīng)力變化規(guī)律，最大誤差5.5%，跨中截面處誤差1.0%，偏于安全；文獻(xiàn)[9]給出的解在遠(yuǎn)離支座時(shí)，精度較高，靠近支座時(shí)精度不能滿足要求，最大誤差44.1%，跨中截面處誤差1.9%；而文獻(xiàn)[10]給出的解，沿跨中截面向支座兩端誤差逐漸增大，不宜描述不同剪跨比時(shí)正應(yīng)力沿梁長(zhǎng)的變化規(guī)律，其中跨中截面誤差為10.3%；(2) 文獻(xiàn)[9]和[10]沒有考慮擠壓影響，正應(yīng)力近似于線性分布。本文解考慮擠壓影響，從圖5可見中性軸略向下移動(dòng)，符合文獻(xiàn)[3]中描述的正應(yīng)力沿梁高變化規(guī)律，最大誤差為5.2%。但跨中截面處中性軸下移較小，從圖5可見，文獻(xiàn)[9]和[10]在不考慮中性軸下移情況下，依然能定性描述正應(yīng)力梁高方向的變化規(guī)律，文獻(xiàn)[9]誤差為22.2%，文獻(xiàn)[10]精度為31.7%，其誤差主要在中性軸下沉處。

5 結(jié) 語

在文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，考慮同步翹曲、不同步翹曲及擠壓對(duì)正應(yīng)力的影響，基于疊加思想改進(jìn)了以往解析計(jì)算方法。通過不同計(jì)算方法比較表明：在工字形截面計(jì)算時(shí)本文解能有效反映正應(yīng)力變化規(guī)律，且計(jì)算精度和適用范圍優(yōu)于文獻(xiàn)[9]和[10]。同時(shí)采用疊加思想和材料力學(xué)方法，相比于彈性力學(xué)解法更易于分析各類特殊薄壁深梁截面，并能保證其計(jì)算精度。