基于Najar能量法的混凝土動(dòng)態(tài)雙軸受壓損傷特性分析

程卓群，彭 剛，孫尚鵬，王 普，劉苗苗

(三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

目前，混凝土材料仍是基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的材料，并且隨著時(shí)代的發(fā)展，各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體還將不斷涌現(xiàn)。因此，只有更加深入研究混凝土損傷演化，才能給混凝土結(jié)構(gòu)的整體安全性分析提供理論基礎(chǔ)。Dougill[1]最早發(fā)現(xiàn)損傷力學(xué)與混凝土非線(xiàn)性特性的關(guān)系極為緊密;繼他之后，對(duì)混凝土損傷特性的研究就越來(lái)越多。Mazars[2]首次采用應(yīng)力張量分解法，并假設(shè)由正應(yīng)力引起受壓損傷，負(fù)應(yīng)力引起受拉損傷；Ananiev等[3]基于混凝土加載過(guò)程存在塑性變形這一特性，建立了混凝土塑性損傷模型；Jason等[4]建立了結(jié)合塑性應(yīng)變和損傷演化的彈塑性損傷模型；Oliver等[5]將混凝土加載過(guò)程中拉、壓應(yīng)力的區(qū)分，通過(guò)拉壓應(yīng)力分量的退化來(lái)定義混凝土的損傷變量；王春來(lái)等[6]針對(duì)混凝土在單調(diào)荷載條件下?lián)p傷行為的復(fù)雜性，根據(jù)Weibull統(tǒng)計(jì)分布理論和等效應(yīng)變假定原理，得出了混凝土損傷本構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)公式；在王春來(lái)等[6]研究的基礎(chǔ)上，王乾峰[7]提出了峰前基于Weibull統(tǒng)計(jì)理論，峰后基于Longnormal統(tǒng)計(jì)理論的分段式本構(gòu)方程，且大量試驗(yàn)證明，該本構(gòu)方程的擬合效果較好；杜成斌等[8]所構(gòu)建的混凝土損傷模型考慮了應(yīng)變軟化，結(jié)果證明，隨著應(yīng)變率增加，混凝土的破壞形式明顯由單條宏觀(guān)裂縫向多條裂紋變化；馬懷發(fā)等[9]提出了一種適用于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的雙折線(xiàn)彈性損傷模型，該模型考慮了混凝土的速率效應(yīng)；Haussler-Combe等[10]基于黏彈性觀(guān)點(diǎn)，考慮到高加載速率下混凝土的慣性效應(yīng)，提出了相應(yīng)的損傷本構(gòu)模型。馬小亮等[11]將混凝土的損傷演化劃分為損傷初始發(fā)展階段、損傷快速發(fā)展階段和完全破壞階段3個(gè)階段，并分析了加載速率對(duì)損傷轉(zhuǎn)折點(diǎn)的影響；胡海蛟等[12]研究了混凝土在不同加載速率下?lián)p傷特性。

綜上所述，目前關(guān)于混凝土靜態(tài)單軸受拉、受壓損傷機(jī)理的認(rèn)識(shí)已經(jīng)越來(lái)越清晰，然而有關(guān)混凝土在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的損傷機(jī)理研究則較少。因此本文開(kāi)展了對(duì)常態(tài)混凝土進(jìn)行5種側(cè)壓(0，0.12fc，0.24fc，0.36fc，0.48fc)和5種應(yīng)變速率(10-5/s，5×10-5/s，10-4/s，5×10-4/s，10-3/s)的雙軸動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn)分析研究。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)采用三峽大學(xué)的TAZW- 10000型10 MN大型多功能液壓伺服動(dòng)靜力三軸儀。該系統(tǒng)由油壓系統(tǒng)、加載系統(tǒng)和圍壓系統(tǒng)組成，通過(guò)EDC控制器實(shí)時(shí)控制3個(gè)加載方向，實(shí)現(xiàn)靜動(dòng)態(tài)循環(huán)加卸載試驗(yàn)。

試驗(yàn)采用的混凝土試件按C30的設(shè)計(jì)強(qiáng)度進(jìn)行配合比設(shè)計(jì)，水泥采用P·O 42.5普通硅酸鹽水泥，選用中砂，碎石粒徑為5～40 mm,其中小石粒徑5～20 mm,中石粒徑20～40 mm，試件采用300 mm的立方體，待試件澆筑完成，拆模后將試件放入標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)室養(yǎng)護(hù)?；炷粮髋淞嫌昧繛椋核?75.0 kg/m3, 水泥291.0 kg/m3, 砂676.9 kg/m3, 小石502.8 kg/m3, 中石754.3 kg/m3。

力學(xué)試驗(yàn)步驟如下：① 裝樣及對(duì)中：將試件置于夾具內(nèi)，放置于試驗(yàn)機(jī)下并嚴(yán)格對(duì)中；② 變形計(jì)安裝：安裝變形計(jì)至試件周邊并用儀器檢驗(yàn)其傳導(dǎo)正常；③ 預(yù)加載：利用移動(dòng)和移動(dòng)轉(zhuǎn)換指令分別使試件豎向、側(cè)向預(yù)加載至20 kN；④ 側(cè)向加載：采用負(fù)荷控制方式(2 000 N/s)加載側(cè)壓至擬定大小(0，0.12fc，0.24fc，0.36fc，0.48fc)；⑤ 豎向加載：利用移動(dòng)轉(zhuǎn)換命令中的變形控制方式進(jìn)行操作，按預(yù)定加載速率(10-5/s，5×10-5/s，10-4/s，5×10-4/s和10-3/s)加載，直至到試件破壞；⑥ 試驗(yàn)完成，保存采集到的負(fù)荷-變形曲線(xiàn)數(shù)據(jù)。

2 應(yīng)力應(yīng)變?nèi)€(xiàn)分析

圖1 混凝土動(dòng)態(tài)單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.1 Dynamic uniaxial compression stress-strain curves of concrete

將試驗(yàn)采集到的負(fù)荷-變形全曲線(xiàn)數(shù)據(jù)，整理得到應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)繪制出應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)如圖1和2所示。

結(jié)合圖1和圖2可得：① 曲線(xiàn)上升段的走勢(shì)為曲線(xiàn)上升-直線(xiàn)上升-曲線(xiàn)上升至峰值點(diǎn)，并且加載速率越大，壓密階段越短，曲線(xiàn)上升越快，峰值應(yīng)力也越大。② 相同加載速率下，峰值應(yīng)力隨側(cè)壓力增大而增大；③ 加 載速率相同時(shí)，不同側(cè)壓下混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)下降趨勢(shì)基本一致，即混凝土達(dá)到峰值應(yīng)力后承載力下降趨勢(shì)不受側(cè)壓影響。

圖2 不同加載速率下的雙軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.2 Stress-strain curves of biaxial compression under different loading rates

3 基于Najar能量法的損傷演化分析

3.1 基于能量角度的損傷變量定義

(1)

式中：D為損傷變量;WD為耗散能;Wperf為無(wú)損材料的應(yīng)變能;E0為混凝土初始彈性模量；Er為混凝土任意點(diǎn)卸載后再加載的變形模量；ε為任一點(diǎn)的應(yīng)變；εe為任意一點(diǎn)的彈性應(yīng)變。

從式(1)可見(jiàn)，Er/E0反映了加載過(guò)程中混凝土剛度的退化，而εe/ε則反映了混凝土在加載過(guò)程中彈性應(yīng)變與總應(yīng)變比值的變化規(guī)律，因此這種損傷變量定義具有明確的物理意義。

3.2 損傷演化表達(dá)式的定義

3.2.1雙軸受壓狀態(tài)下混凝土剛度的退化 關(guān)于混凝土受載過(guò)程中剛度退化的演變過(guò)程，目前很多是基于應(yīng)力-應(yīng)變空間的經(jīng)驗(yàn)公式[7,15]，丁發(fā)興等[16]從能量法角度推導(dǎo)出了混凝土的剛度退化與應(yīng)變能的關(guān)系，其表達(dá)式具有通用性，適用于雙軸受壓的情況。表達(dá)式為：

(2)

式中：E0取應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)中峰值應(yīng)力40%～50%時(shí)的割線(xiàn)斜率；WP+E為混凝土的彈塑性應(yīng)變能，采用微分近似算法，其示意圖如圖3所示。

(3)

圖3 Najar能量損傷示意Fig.3 Najar energy damage diagram

式中：σξ-1和σξ分別為某一微分段前后的應(yīng)力；εξ-1和εξ分別為微分段前后的應(yīng)變。所有工況下，計(jì)算WP+E的微分段數(shù)均在2 000段以上。

由整理得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)包絡(luò)線(xiàn)以及其應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)，經(jīng)式(2)與(3)可以得到混凝土在不同側(cè)壓大小下和不同應(yīng)變速率下的剛度退化過(guò)程。以應(yīng)變速率10-4/s時(shí)的單軸受壓數(shù)據(jù)為例，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)與剛度退化過(guò)程的對(duì)比見(jiàn)圖4，其中應(yīng)力為歸一化后的數(shù)據(jù)。

圖6是1000組重建數(shù)據(jù)的誤差盒圖,共分成五組,每組包含200個(gè)樣本數(shù)據(jù),其所描述的重建誤差由式(9)定義。

圖4 單軸受壓剛度退化Fig.4 Uniaxial compression stiffness degradation curves of concrete

分析圖4可以看出混凝土剛度退化曲線(xiàn)是先增后減，因?yàn)樵囼?yàn)所用試件的材料內(nèi)部難以避免地存在一些天然的微裂紋和微孔隙，這些微裂紋和微孔隙在加載初期會(huì)先變小，使得混凝土材料“由松變緊”，剛度逐漸增大。宏觀(guān)表現(xiàn)就是混凝土加載初期有一個(gè)壓密階段。這一點(diǎn)反映在應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)上就是加載初期有一個(gè)略凹的階段。因此，試驗(yàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出來(lái)的結(jié)果為加載初期，混凝土的剛度增大，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)由凹變凸。壓密階段結(jié)束后繼續(xù)加載，混凝土產(chǎn)生新的裂紋和孔隙并逐漸擴(kuò)展至相互貫穿，混凝土“由緊變裂”，剛度逐漸減小，并且開(kāi)始減小時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變大致與應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)直線(xiàn)上升段結(jié)束時(shí)的應(yīng)變相同。

為能更好地符合損傷力學(xué)的基本觀(guān)點(diǎn)，忽略試件加載初期剛度增大過(guò)程，近似地認(rèn)為該過(guò)程中混凝土的剛度不發(fā)生改變，即假設(shè)混凝土在加載初期處于線(xiàn)彈性階段。對(duì)圖4中的混凝土剛度退化過(guò)程進(jìn)行修正，將圖4中剛度退化曲線(xiàn)的上升段改為平直段。后面關(guān)于剛度退化的分析均以這種方法修正。

圖5 不同加載速率下單軸受壓的剛度退化曲線(xiàn)Fig.5 Stiffness degradation curves of concrete under different loading rates

3.2.2加載速率對(duì)剛度退化的影響 混凝土在加載速率為10-5/s，5×10-5/s，10-4/s，5×10-4/s和10-3/s時(shí)單軸加載過(guò)程中的剛度退化曲線(xiàn)如圖5所示，其曲線(xiàn)也是按照前文所述方法將曲線(xiàn)上升段改為平直段。

由圖5可見(jiàn)：改進(jìn)后的剛度退化過(guò)程可以分為3個(gè)階段，① 剛度不變階段，即材料的線(xiàn)彈性階段；② 剛度加速退化階段。在此階段中，剛度退化的速度不斷加大，對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)呈下凹狀；③ 剛度平穩(wěn)變化階段。該階段剛度變化的速度逐漸變小，最終趨于穩(wěn)定。加載速率越大，材料的線(xiàn)彈性階段越短，剛度加速退化階段對(duì)應(yīng)的應(yīng)變范圍越小。剛度退化隨著加載速率的減小出現(xiàn)一定滯后現(xiàn)象，這種規(guī)律并不嚴(yán)格滿(mǎn)足，總體上表現(xiàn)出加載速率越大，剛度退化越明顯的規(guī)律。

3.2.3側(cè)壓對(duì)剛度退化的影響 混凝土在不同加載速率(10-5/s，10-4/s，10-3/s)和不同側(cè)壓下的剛度退化曲線(xiàn)如圖6所示。其曲線(xiàn)也是按照前文所述方法將曲線(xiàn)上升段改為平直段。

圖6 不同側(cè)壓下雙軸受壓剛度退化曲線(xiàn)

由圖6可得:① 相同加載速率下，側(cè)應(yīng)力越大，剛度不變階段越長(zhǎng)，即混凝土線(xiàn)彈性階段越長(zhǎng)；② 加載速率較低時(shí)，側(cè)壓對(duì)剛度快速減小階段的影響不明顯；③ 加載速率較高時(shí)，側(cè)壓稍大的剛度退化相對(duì)較緩。④ 加載速率相同時(shí)，剛度退化隨著側(cè)應(yīng)力的增加而出現(xiàn)明顯的滯后。

依據(jù)上述結(jié)論進(jìn)而分析得到，側(cè)應(yīng)力對(duì)混凝土的壓實(shí)作用使其提前進(jìn)入彈性變形階段，同時(shí)又約束了混凝土的橫向變形。初期使混凝土線(xiàn)彈性階段的應(yīng)變范圍變大，側(cè)應(yīng)力越大，約束程度越高，對(duì)混凝土剛度退化的減緩程度也就越高。

3.3 基于能量角度的損傷演化分析

3.3.1損傷演化分析 結(jié)合本文工況，在已知加載過(guò)程中每一點(diǎn)的剛度后，即可通過(guò)式(4)求得該點(diǎn)理論上的彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。

(4)

式中：σ為任意點(diǎn)的軸向應(yīng)力；εe，εp和ε分別為任意點(diǎn)的彈性應(yīng)變、塑性應(yīng)變和總應(yīng)變；Er為任意點(diǎn)的變形模量。

將式(4)代入式(1)可得到基于理論推導(dǎo)的混凝土損傷演化表達(dá)式：

(5)

由式(5)可以計(jì)算出任意點(diǎn)損傷變量。以應(yīng)變速率10-4/s時(shí)的單軸受壓數(shù)據(jù)為例，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)與損傷演化曲線(xiàn)的對(duì)比如圖7所示，其中應(yīng)力為歸一化后的數(shù)據(jù)。

從圖7可見(jiàn)，明顯損傷演化曲線(xiàn)是先減后增的變化規(guī)律而并非從0開(kāi)始增大，這一點(diǎn)明顯與損傷力學(xué)基本觀(guān)點(diǎn)不相符。而在上一節(jié)中對(duì)基于理論推導(dǎo)的混凝土剛度退化曲線(xiàn)進(jìn)行了修正，確定了混凝土加載過(guò)程中的線(xiàn)彈性階段。因此只對(duì)剛度退化進(jìn)行了修正，而沒(méi)有對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的壓密段進(jìn)行適當(dāng)修正，導(dǎo)致計(jì)算的損傷演化曲線(xiàn)如圖7所示，加載初期出現(xiàn)了明顯的下降段。整個(gè)曲線(xiàn)呈明顯的先減后增趨勢(shì)，與損傷理論建議的損傷演化趨勢(shì)有所不同?；炷翐p傷演化曲線(xiàn)的下降段對(duì)應(yīng)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的混凝土壓密段。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因與上一節(jié)剛度退化出現(xiàn)上升段的原因相同。

因此，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?，即認(rèn)為壓密階段由加載帶來(lái)的損傷幾乎為零，即曲線(xiàn)下降段改為平直段，計(jì)算壓密段過(guò)后的損傷時(shí)采用的總應(yīng)變應(yīng)當(dāng)減去壓密階段的塑性應(yīng)變。圖8為修正后的損傷演化曲線(xiàn)與應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的對(duì)比圖。后面關(guān)于損傷演化曲線(xiàn)的分析均以這種方法修正。

圖7 單軸受壓損傷演化Fig.7 Uniaxial compression damage evolution of concrete

圖8 修正后的單軸受壓損傷演化Fig.8 Corrected uniaxial compression damage evolution of concrete

從圖8的損傷演化曲線(xiàn)形狀可以看出，損傷變量大體上呈“S”型發(fā)展，這與Weibull損傷模型有相似之處[7]，損傷演化可以分為3個(gè)階段：

(1) 線(xiàn)彈性階段。該階段混凝土材料為線(xiàn)彈性，外界輸入的能量全部轉(zhuǎn)化為彈性能，無(wú)損傷耗散能的產(chǎn)生，損傷變量為0。

(2) 損傷加速發(fā)展階段。該階段損傷耗散能占理論輸入總能量的比例越來(lái)越大，即混凝土轉(zhuǎn)化彈性能的能力越來(lái)越弱，最終混凝土發(fā)生破壞。表現(xiàn)為損傷變量迅速增大，并在混凝土達(dá)到極限抗壓強(qiáng)度后，損傷變量增長(zhǎng)至0.8左右。

(3) 損傷收斂階段。該階段混凝土應(yīng)力-應(yīng)變趨于平穩(wěn)，損傷變量平穩(wěn)趨近于1。從損傷發(fā)展的程度來(lái)說(shuō)，由于損傷變量是定義在[0,1]之間的變量，其最終必定是收斂于1的，而在損傷變量開(kāi)始無(wú)限趨近于1時(shí)，也近似為應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)開(kāi)始平穩(wěn)變化的收斂點(diǎn)。

圖9 不同應(yīng)變速率下單軸受壓的損傷演化曲線(xiàn)Fig.9 Damage evolution curves of uniaxial compression under different loading rates

3.3.2應(yīng)變速率對(duì)損傷演化的影響 按照上述損傷演化的修正方式，混凝土在加載速率10-5/s，5×10-5/s，10-4/s，5×10-4和10-3/s時(shí)單軸加載過(guò)程中的損傷演化曲線(xiàn)見(jiàn)圖9。

從圖9可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變速率越大，材料的線(xiàn)彈性階段越短，損傷加速發(fā)展階段的損傷變量的增長(zhǎng)越迅速且該階段對(duì)應(yīng)的應(yīng)變范圍越小。進(jìn)而分析得出，加載速率影響混凝土的能量釋放形式?；炷猎陟o態(tài)加載時(shí)，其損傷發(fā)展遵循“最小吸能原理”，整個(gè)過(guò)程能量釋放相對(duì)比較平穩(wěn)。而混凝土在動(dòng)態(tài)加載時(shí)，隨著應(yīng)變速率越高，混凝土越易于發(fā)生脆性破壞，并且能量釋放集中且快速。

3.3.3側(cè)壓大小對(duì)損傷演化的影響 圖10為應(yīng)變速率10-5/s，10-4/s，10-3/s時(shí)，在不同側(cè)壓下的混凝土雙軸受壓損傷演化曲線(xiàn)。

圖10 不同側(cè)壓下雙軸受壓損傷演化曲線(xiàn)

由圖10可知，加載速率相同時(shí)，混凝土損傷的發(fā)展隨著側(cè)應(yīng)力的增大而出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，側(cè)應(yīng)力越小，同一應(yīng)變速率下混凝土的損傷發(fā)展速度越快。說(shuō)明側(cè)應(yīng)力的存在阻礙了損傷的發(fā)展，且側(cè)應(yīng)力越大，對(duì)混凝土損傷發(fā)展的阻礙作用也越大。

混凝土在雙軸受壓應(yīng)力狀態(tài)下，側(cè)應(yīng)力作用的方向正好抑制了豎向壓應(yīng)力作用產(chǎn)生的豎向裂紋的發(fā)展，從而使混凝土較沒(méi)有側(cè)應(yīng)力的情況更密實(shí)，混凝土積聚彈性應(yīng)變能的能力越強(qiáng)，也就在一定程度上阻止了混凝土的損傷發(fā)展。而側(cè)應(yīng)力越大，對(duì)裂縫發(fā)展的阻礙作用越強(qiáng)，混凝土損傷發(fā)展的滯后性越明顯。

4 結(jié) 語(yǔ)

試驗(yàn)中得到的負(fù)荷-變形曲線(xiàn)包括上升段以及下降段，研究更符合實(shí)際。另外比較了混凝土在不同加載速率和不同側(cè)壓大小下的動(dòng)態(tài)壓縮特性。基于原Najar能量法提出了一種新的損傷變量計(jì)算方法，選取合適的剛度退化計(jì)算式，探究了加載速率及側(cè)壓對(duì)其影響。根據(jù)損傷演化的具體過(guò)程，可將混凝土的損傷演化分為線(xiàn)彈性、損傷加速變化和損傷收斂3個(gè)階段。側(cè)應(yīng)力對(duì)混凝土的損傷演化影響明顯。隨著側(cè)應(yīng)力的增大，混凝土剛度退化明顯變慢，最終表現(xiàn)為側(cè)應(yīng)力的增大延緩了混凝土的損傷發(fā)展速度。加載速率對(duì)混凝土損傷演化的影響也具有一定規(guī)律性，加載速率越快，混凝土損傷演化越快。