例析求函數(shù)解析式的方法與技巧

山東省樂陵第一中學(xué) 張 偉

“求函數(shù)解析式” 是《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修一》(人教版)的重要內(nèi)容,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)“基本初等函數(shù)”和“函數(shù)的應(yīng)用”的基礎(chǔ).在高考中,通常不會(huì)直接考查函數(shù)的解析式,但解析式往往是解函數(shù)題的基礎(chǔ),所以學(xué)習(xí)和掌握求函數(shù)解析式的方法與技巧非常重要.在具體解題中,可以嘗試運(yùn)用以下六種方法.

1 配湊法

配湊法是一種結(jié)構(gòu)化的方法,即根據(jù)已知函數(shù)的類型及解析式的特征,配湊出復(fù)合變量的形式,從而求出解析式.具體方法是:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),即可得到f(x)的表達(dá)式.使用配湊法時(shí),要注意定義域的變化.

配湊法的關(guān)鍵在于如何“配”和“湊”,讓題目的條件轉(zhuǎn)化為容易求解的形式,方法靈活多樣,不同的題目,配湊的方法不同.

例1已知f(x+1)=x2-3x+2,求函數(shù)f(x)的解析式.

解：因?yàn)閒(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5(x+1)+6,所以f(x)=x2-5x+6.

方法與技巧：配湊法的技巧大多是配湊公式,例如本題中就是化用了公式(a-b)2=a2-2ab+b2,只需把原復(fù)合函數(shù)解析式配湊成關(guān)于x+1的多項(xiàng)式即可.

2 換元法

換元法即變量替換,其實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化.通過轉(zhuǎn)化達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化陌生為熟悉”的目的.對(duì)于形如y=f[g(x)]的函數(shù)解析式,令t=g(x),從中求出x=φ(t),然后代入表達(dá)式求出f(t),最后將t換成x,得到f(x)的解析式.換元時(shí)要注意新元的取值范圍.

例3已知af(4x-3)+bf(3-4x)=2x,a2≠b2,求函數(shù)f(x)的解析式.

①

將①中的t換成-t,得

②

①×a-②×b,得

由a2≠b2,得a2-b2≠0.

方法與技巧：因?yàn)楸绢}的左邊有多項(xiàng)式4x-3,所以首先將4x-3換為t,然后再將t換成-t,求出f(t)后再將t換成x,最后得到f(x)的解析式.

③

④

⑤

由③式,可得

⑥

3 待定系數(shù)法

如果已知所求函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可先設(shè)出所求函數(shù)的解析式,再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù).具體方法是:先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式,再利用恒等式的性質(zhì),或?qū)⒁阎獥l件代入,建立方程(組),通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù).

例5已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求函數(shù)f(x)的解析式.

解：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=0可知c=0,所以f(x)=ax2+bx.

又f(x+1)=f(x)+x+1,所以

a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.

即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.

方法與技巧：由已知條件可知f(x)是二次函數(shù),所以設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由于推知c=0,于是得出ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,進(jìn)而根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等的關(guān)系,求出a,b的值即可.

例6若二次函數(shù)f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),其與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),試求函數(shù)f(x)的解析式.

解法1：設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則有

所以f(x)=-x2+2x+3.

解法2：設(shè)f(x)=a(x+m)2+k,因?yàn)楫?dāng)m=-1時(shí),k=4,所以f(x)=a(x-1)2+4.

由f(-1)=0 ,得a(-1-1)2+4=0,則a=-1.

故f(x)=-x2+2x+3.

方法與技巧：本題的兩種解法都運(yùn)用了待定系數(shù)法.解法1運(yùn)用二次函數(shù)的一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0),通過解方程組求出a,b,c的值代入獲解;解法2運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式f(x)=a(x+m)2+k來求解.它們有異曲同工之妙.

4 解方程組法

⑦

⑦式中用-x代替x,得

⑧

聯(lián)立⑦⑧,解得

⑨

方法與技巧：本題根據(jù)題設(shè)條件用-x代替x,構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組,通過解方程組即可得到f(x)的解析式.

例8已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.

解：將f(-x)+2f(x)=2x中的-x用x代換,得f(x)+2f(-x)=2-x.

聯(lián)立兩式,解得3f(x)=2x+1-2-x.

5 賦值法

賦值法的解題思路是對(duì)變量取適當(dāng)?shù)奶厥庵?使問題具體化、簡(jiǎn)單化,進(jìn)而依據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)找出一般規(guī)律,求出函數(shù)解析式.

例9已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求函數(shù)f(x)的解析式.

解：令a=0,得

f(-b)=f(0)-b(1-b)=b2-b+1.

令-b=x,得f(x)=x2+x+1.

方法與技巧：從本題可以看出賦值法的解題規(guī)律.①當(dāng)所給函數(shù)方程含有兩個(gè)變量時(shí),可以考慮對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入,或使這兩個(gè)變量相等代入,再運(yùn)用已知條件,即可求出函數(shù)解析式;②根據(jù)題目的具體特征來確定取什么特殊值;③取特殊值代入的目的,是為了使問題具體化、簡(jiǎn)單化,進(jìn)而找出規(guī)律,求出函數(shù)解析式.

解：令x=0,y=t,得

f(t)+f(-t)=2acost.

⑩

f(π+t)+f(t)=0.

f(π+t)+f(-t)=-2bsint.

所以f(x)=acosx+bsinx.

6 代入法

代入法求函數(shù)解析式的特點(diǎn)是,知道已知函數(shù)圖象或者方程曲線的一個(gè)點(diǎn)A,通過題目中的關(guān)系,用所求的函數(shù)圖象或者方程曲線上點(diǎn)B的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A的坐標(biāo),再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入已知的函數(shù)或者方程中,即可求出所需的函數(shù)解析式或曲線方程.

例11已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,并且在[0,2]上的解析式為y=2x-1,求函數(shù)f(x)在[2,4]上的解析式.

解：設(shè)M(x,y)x∈[2,4]在函數(shù)f(x)的圖象上,點(diǎn)M′(x′,y′)與M關(guān)于直線x=2對(duì)稱,則

又y′=2x′-1.

所以y=2(4-x)-1,即y=7-2x.

故函數(shù)f(x)在[2,4]上的解析式為y=7-2x.

方法與技巧：從本題的求解過程可以看出,求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對(duì)稱函數(shù)時(shí),采用代入法比較簡(jiǎn)捷.

例12如圖1,某地有一座形如拋物線的石拱橋,已知其跨度為37.4 m,拱高為7.2 m,求此石拱橋所在拋物線的解析式.

圖1

解：如圖2,以拋物線的對(duì)稱軸為y軸,以寬AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xOy,令拋物線的解析式為y=ax2+7.2.

圖2

將點(diǎn)B(18.7,0)代入,得0=(18.7)2a+7.2.

方法與技巧：本題屬于拋物線的實(shí)際應(yīng)用題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,解題技巧在于把拋物線放在合適的平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)出相應(yīng)的解析式,這樣能夠使解題過程變得簡(jiǎn)潔.

通過對(duì)上述典例的解析,我們可以看到,嫻熟地運(yùn)用“六法”可以應(yīng)對(duì)絕大多數(shù)求函數(shù)解析式類的題型,“六法”各自既有其獨(dú)特性,相互之間又有聯(lián)系,有時(shí)一種題型可以用幾種方法來求解,達(dá)到一題多解的效果.