探秘帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

朱亞軍

[摘要]文章首先根據(jù)不同的初始條件，探秘三種情形下“帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”規(guī)律，接著應(yīng)用帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析兩道典型的高考試題，最后拓展應(yīng)用規(guī)律，解析一道全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題。

[關(guān)鍵詞]帶電粒子；圓形磁場(chǎng)區(qū)域；圓周運(yùn)動(dòng)

[中圖分類號(hào)]G633.7[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）08004003

“帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”是磁場(chǎng)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，由于帶電粒子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的速度不同，導(dǎo)致帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡、偏轉(zhuǎn)角度和運(yùn)行時(shí)間等發(fā)生變化，成為學(xué)生理解、掌握和解決此類問題的一個(gè)難點(diǎn)，進(jìn)而成為高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。本文擬對(duì)此類問題做一些探討，供大家參考。

一、規(guī)律探究

如圖1所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面（紙面），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。大量電荷量為q（q>0）、質(zhì)量為m的帶電粒子以相同的速率v經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不

同的方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，試確定帶電粒子離開勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的位置和在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍（不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用）。

帶電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，在洛倫茲力f=qvB作用下做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡半徑為r，則有

qvB=mv2rr=mvqB，ω=qBm，T=2πmqB

帶電粒子離開圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的位置和在勻

強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍分三種情形討論如下：

（1）如果粒子射入速率v>qBRm，那么r=mvqB

，即帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑r大于圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R，這時(shí)沿不同方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2

所示。

顯而易見，沿不同方向射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的帶電粒子，可能從圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上的任意一點(diǎn)沿不同的方向飛離勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。帶電粒子射出點(diǎn)和射入點(diǎn)之間的最大距離xmax為磁場(chǎng)圓區(qū)域半徑R的2倍，即xmax=2R。

運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的帶電粒子離開圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，射出點(diǎn)Q和射入點(diǎn)P在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的同一條直徑兩端，此時(shí)帶電粒子在洛倫茲力作用下的偏轉(zhuǎn)情形如圖3所示，帶電粒子的最大偏轉(zhuǎn)角度θ由下式?jīng)Q定

sinθ2=Rr=qBRmv=2arcsinqBRmv

則帶電粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tmax為

tmax=θω=

2mqBarcsinqBRmv

故這種情況下帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t在如下范圍內(nèi)

0

（2）如果粒子入射速率v=qBRm，那么r=mvqB=R，即帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑r等于圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。在這種情況下，沿不同方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

所有帶電粒子的入射點(diǎn)P、磁場(chǎng)區(qū)域圓心O、射出點(diǎn)Qi和軌跡圓心O′i四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為一系列菱形POQiO′i（i=1，2，......，n），且所有菱形有一條共同的邊PO，根據(jù)菱形的幾何特性有

O′1Q1∥O′2Q2′∥O′3Q3∥O′4Q4∥……∥OP

，因此，沿不同方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的粒子射出速度方向相互平行，都垂直于PO連線。

由圖4可知，沿不同方向射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的帶電粒子可能從勻強(qiáng)磁場(chǎng)右下半邊界上的任意一點(diǎn)沿相同的方向飛離勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。帶電粒子射出點(diǎn)和射入點(diǎn)之間的最大距離xmax為帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑r或磁場(chǎng)區(qū)域半徑R的2倍，即xmax=2r=2mv/qB=2R

。

其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的帶電粒子離開圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為半個(gè)周期，即帶電粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tmax為

tmax=T/2=πm/qB

故這種情況下帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t在如下范圍內(nèi)

0

。

（3）如果粒子射入速率v<πmqB，那么r=mvqB

由圖5可知，沿不同方向射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的帶電粒子只能從勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界右下半PQ2弧（其弦長(zhǎng)為2r）上的任意一點(diǎn)沿不同方向飛離勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。

粒子射出點(diǎn)Q和射入點(diǎn)P之間的最大距離xmax為帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑r的2倍，即xmax=2r=2mv/qB<2R

。

其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的帶電粒子離開圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為一個(gè)完整的周期，即粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tmax為：

tmax=T=2πm/qB

故這種情況下帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t在如下范圍內(nèi)：

0

。

二、規(guī)律應(yīng)用

【例1】（2017·全國(guó)Ⅱ卷）如圖6所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2：v1=（）。

A.3∶2B.2∶1C.3∶1D.3∶3

解析：根據(jù)上述規(guī)律，當(dāng)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑r小于圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R時(shí)，射出點(diǎn)和射入點(diǎn)之間的最大距離xmax為帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑r的2倍。

設(shè)圓形區(qū)域磁場(chǎng)的半徑為R，帶電粒子射入的速度為v1時(shí)，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在16圓周上，如圖7所示，由幾何知識(shí)可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1=Rcos60°=12R

；帶電粒子射入的速度為v2時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在13圓周上，由幾何知識(shí)可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r2=

Rcos30°=32R

；根據(jù)r=mvqB∝v

，得v2∶v1=r2∶r1=3∶1，故正確選項(xiàng)為C。

點(diǎn)評(píng)：本題以帶電粒子在有界（圓形）勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)為背景，主要考查應(yīng)用平面幾何知識(shí)解決物理問題的能力，解題的關(guān)鍵是知道打到磁場(chǎng)邊緣最遠(yuǎn)處粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是半個(gè)圓周，最遠(yuǎn)射出點(diǎn)是以射入點(diǎn)P點(diǎn)為圓心、以2r為半徑作出的圓弧與圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最遠(yuǎn)交點(diǎn)。

【例2】（2016·全國(guó)Ⅱ卷）一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖9所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與MN成30°角。當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時(shí)，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒。不計(jì)重力。若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為（）。

A.ω3B

B.ω2B

C.ωB

D.2ωB

解析：根據(jù)題意作出帶電粒子在圓形區(qū)域磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖10所示，由平面幾何知識(shí)可得，帶電粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)的圓心角θ=π4-π6×2=π6

，而帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω=qBm，則帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

t粒子=θω=π6×mqB

，圓筒勻速轉(zhuǎn)過90°的時(shí)間

t圓筒=14T=π2ω

，由t粒子=t圓筒解得，帶電粒子的比荷

qm=ω3B

，選項(xiàng)A正確。

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，解題時(shí)必須畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的過程示意圖，結(jié)合幾何關(guān)系找到帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)和圓筒運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性求解未知量。

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力不僅是學(xué)生必備的能力，更是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在備考復(fù)習(xí)中要有意識(shí)地養(yǎng)成根據(jù)題意畫受力圖、狀態(tài)圖、幾何關(guān)系圖和過程示意圖的習(xí)慣，尤其要培養(yǎng)識(shí)圖、讀圖、分析圖、理解圖、描繪圖和應(yīng)用圖的能力，在規(guī)范解答問題的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像等進(jìn)行分析、表達(dá)。

三、拓展應(yīng)用

如圖11所示，坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）處有一帶電粒子源，向y≥0一側(cè)沿xOy平面內(nèi)的各個(gè)不同方向發(fā)射帶正電的速率為v的粒子，質(zhì)量均為m，電量均為q。有人設(shè)計(jì)了一方向垂直于xOy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場(chǎng)區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該磁場(chǎng)區(qū)域的邊界射出時(shí)，均能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求此邊界線的方程，并畫出此邊界線的示意圖。

解析：因題中沒有明確說(shuō)明磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，先假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直xOy平面向里，且無(wú)邊界。

研究從粒子源O發(fā)出的速率為v、方向與x軸夾角為θ的粒子，在洛倫茲力的作用下沿逆時(shí)針方向做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與速度方向相切，圓軌道半徑R=mvqB。圓軌道的圓心O1在過坐標(biāo)原點(diǎn)O與速度方向垂直的直線上，至原點(diǎn)的距離為R，如圖12所示。通過O1作平行于y軸的直線與圓軌道交于P點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)其速度方向恰好沿x軸正方向，故P點(diǎn)就在磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上。

對(duì)于不同入射方向的粒子，對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的位置不同，所有這些P點(diǎn)的連線就是所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線。P點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=-Rsinθ，y=-R+Rcosθ。

這是粒子射出點(diǎn)磁場(chǎng)區(qū)域邊界的參數(shù)方程，消去參數(shù)θ，得x2+（y+R）2=R2。這是半徑為R、圓心O2坐標(biāo)為（0，-R）的圓，故磁場(chǎng)區(qū)域粒子射出的邊界線方程為

x2+y+mvqB2

=

m2v2q2B2

本情形所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線如圖13所示，由三部分組成：第一部分是第一象限的小半圓弧OA（r1=R），它是發(fā)射角θ=0的粒子圓軌道的右半部分；第二部分是第二、三象限的大半圓弧ABC（r2=2R），由發(fā)射角在0<θ<π范圍內(nèi)的所有粒子圓軌道的包絡(luò)線構(gòu)成；第三部分是第三象限的小半圓弧OC（r3=R），由所有粒子的射出點(diǎn)構(gòu)成。

如果磁場(chǎng)方向垂直于xOy面向外，類似于上述的分析過程，可得磁場(chǎng)區(qū)域粒子射出的邊界線方程為

x2+

y-mvqB

2=m2v2q2B2

，x≥0y≥0

本情形所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線如圖14所示，看似一個(gè)完整的圓，實(shí)則由二部分組成：第一部分是第一象限的半圓弧OA（r1=R），由所有粒子的射出點(diǎn)構(gòu)成。第二部分是第二象限的半圓弧ABO（r2=R），它是發(fā)射角θ=π的粒子運(yùn)動(dòng)的半圓軌道。

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題是高中物理教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。這類問題綜合性強(qiáng)，分析這類問題既要用到物理中的洛倫茲力、圓周運(yùn)動(dòng)等知識(shí)，又要用到數(shù)學(xué)中平面幾何、三角函數(shù)等知識(shí)。其本質(zhì)關(guān)乎兩個(gè)圓：磁場(chǎng)區(qū)域圓和粒子運(yùn)動(dòng)圓，厘清這兩個(gè)圓的半徑大小、圓心位置及其幾何關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵。

（責(zé)任編輯易志毅）