速度分解問題的典例分析

李軼

[摘 要：涉及到繩子的連接體速度的合成與分解問題在中學里經常遇到，這類問題的分解與合成往往比較困難，學生難以理解和掌握，為了幫助學生理解該類問題的處理方法，筆者采用“求導法”、“微元法”，“按實際運動效果分解”來全面剖析這類問題的處理方法，并通過經典例題對其加以說明。

關鍵詞：求導法；微元法；速度的分解]

在連接物體速度的合成與分解問題中，筆者們經常會遇到兩個物體通過一根繩子跨過定滑輪連接在一起時，已知一個物體的速度，求解某一條件下另一物體的速度的模型。對于這樣的問題，筆者通常使用“微元法”和“速度分解法”進行求解。如下題是繩端速度分解的一個十分常見的例題。筆者將用多種方法來全面解析這種模型，力圖使學生能更好、更全面的理解這類模型的處理方法。

實例，如圖1所示，在天花板上用一根輕質的不可伸長的輕繩，懸掛一只橡皮擦，用一根鉛筆靠近繩上的某點，沿水平方向以速度[v0]勻速運動，則運動過程中橡皮擦做什么運動？

解析：要求橡皮擦的運動，可以先分解后合成，橡皮擦的和運動可以分解為水平方向和豎直方向的分運動，而橡皮擦在水平方向由于始終在鉛筆的正下方，故其在水平方向的分運動易知為以速度[v0]做勻速運動，即[vx=v0]，豎直方向的分運動是筆者解決問題的關鍵。求解方法有：

方法一：“求導法”。

設當鉛筆運動時間t后，其由A位置運動到B位置（如圖2所示），鉛筆運動的位移為：[v0t]，則橡皮擦在豎直方向的分位移為：[Sy=v0tcosθ-h]（其中：[cosθ=v0th2+v02t2]），

對時間求導其在豎直方向上的分速度：[vy=dSydt=v0cosθ]。

在鉛筆的運動過程中，[θ]在逐漸減小，所以[vy]在逐漸變大，故橡皮擦在豎直方向上做加速運動，而水平方向上又是做勻速運動，故其合運動為曲線運動。

方法二：“微元法”。

令鉛筆在很短的時間Δt內，由位置A向前運動到位置B，故AB=[v0Δt]，在OB上取OA的等長OC，連AC，BC即為這段時間內橡皮擦在豎直方向上上升的距離，由于Δt很小，故可認為AC邊垂直于OB邊，所以BC=AB[cosθ]，即BC=[v0Δtcosθ]，因此，此時橡皮檫在豎直方向上的分速度[vy=v0cosθ]，故得出和方法一樣的結論。

方法三：“按實際運動效果分解”。

由題可知，在鉛筆的運動過程中，使和動滑輪相接觸的繩端（及B點）有這樣的兩個運動效果，一個是沿著OB方向繩子變長，另一個是繞懸點O轉動的效果，故可以將繩端的運動分解成一個沿繩方向使繩子有伸長效果的分運動和一個垂直于繩子產生轉動效果的分運動運動。而沿繩方向使繩子有伸長效果的分運動的速度即為橡皮擦在豎直方向的分速度。如圖4所示，由三角函數關系，可得：[vy=v0cosθ]。

可見，三種方法從不同的角度幫助學生理解該類模型，可以讓學生在學習過程中能更好的體會到該類問題的處理方法。

參考文獻

[1]張志峰.巧用速度投影定理解決繩桿連接體速度問題[J].中學物理教學參考，2008（4）：27.

[2]方銀良.為何繩端速度如此分解[J].物理教師，2010，31（2）：14-14.