概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

張艷婷　姜永

摘? ?要：闡述了概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用原理和方法，運(yùn)用實(shí)例介紹數(shù)學(xué)期望在求最大利潤(rùn)中的應(yīng)用和De Movire-Laplace定理在抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量中的應(yīng)用。希望能夠讓人們更深入地認(rèn)識(shí)概率統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，解決日常生活中的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)期望;De Movire-Laplace定理;經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

概率統(tǒng)計(jì)作為研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，在經(jīng)濟(jì)銷(xiāo)售[1]、投資風(fēng)險(xiǎn)和管理決策[2]等方面都有所應(yīng)用。如何把概率統(tǒng)計(jì)的理論知識(shí)應(yīng)用到我們的實(shí)際生活中，是近幾年的研究熱點(diǎn)。

1? ? 預(yù)備知識(shí)

1.1? 概率的基本知識(shí)

1.1.1? 概率的定義

實(shí)驗(yàn)中樣本空間Ω只有有限個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性都相同[3]。若事件A出現(xiàn)的頻率fn（A）隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加穩(wěn)定在某一常數(shù)P（0≤p≤1），則P為事件A發(fā)生的概率，記作P（A）=p。

它必須滿(mǎn)足以下條件：

（1）規(guī)范性：P（Ω）=1;（2）非負(fù)性：對(duì)任意事件A都有P（A）≥0;（3）可列可加性：設(shè)Ak，k=1，2，…cos-1θ為互不相容事件，則

1.1.2? 概率的意義

實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生隨機(jī)事件是隨機(jī)的，但隨機(jī)性包含規(guī)律性：即隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率將越來(lái)越接近事件發(fā)生的概率。概率是定量反映隨機(jī)事件發(fā)生概率的數(shù)學(xué)概念，是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。對(duì)于單個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，不管是否發(fā)生隨機(jī)事件，仍然是隨機(jī)的。

1.2? 數(shù)學(xué)期望的基本知識(shí)

1.2.1? 數(shù)學(xué)期望的定義

定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)之為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作：。

定義2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x），若積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)之為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為。

1.2.2? 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

（1）若隨機(jī)變量， Y=g（X），則。

（2）若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX（x），Y=g（X），則。

（3）若隨機(jī)變量（X，Y）～pij，Z=g（X，Y），則：

。

（4）若隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為f（x，y），Z=g（X，Y），則

。

1.2.3? 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

（1）線(xiàn)性：對(duì)任意a，b，c∈R及隨機(jī)變量X，Y，若EX，EY存在，則：

E（aX+bY+c）=aEX+bEY+c

（2）若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且EX，EY存在，則EX（EY）=EX·EY。

1.2.4? 數(shù)學(xué)期望的意義

研究隨機(jī)變量總值的平均水平是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要數(shù)字特征，在實(shí)踐中對(duì)抽象的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，從而達(dá)到理解客觀(guān)世界規(guī)律的目的，為進(jìn)一步的決策分析提供準(zhǔn)確的理論依據(jù)。

1.3? De Movire-Laplace定理及其意義

1.3.1? De Movire-Laplace定理

定理1：設(shè)隨機(jī)變量ηn（n=1，2，…）服從參數(shù)為n，p（0

1.3.2? De Movire-Laplace定理的意義

De Movire-Laplace定理是中心極限定理的一種特殊形式。定理表明：當(dāng)n→∞且p（0

2? ? 概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

2.1? 數(shù)學(xué)期望在求最大利潤(rùn)中的應(yīng)用

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，如果我們知道它的概率分布，就可以對(duì)它進(jìn)行全面分析。事實(shí)上，對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題，對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行全面的描述是非常困難的。所以，有時(shí)候不需要知道隨機(jī)變量的概率分布，只需通過(guò)一些數(shù)字特征就可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行考慮和分析。我們可以把研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成計(jì)算數(shù)學(xué)期望值的簡(jiǎn)化問(wèn)題，得到最優(yōu)解。運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的思想和方法，巧妙地反映隨機(jī)變量的一些重要數(shù)字特征，可以幫助我們從側(cè)面分析計(jì)劃，做出最佳策略。我們認(rèn)為數(shù)學(xué)期望最大的策略為最佳策略，它可以幫助人們?cè)趶?fù)雜情況下從可能的解決問(wèn)題的策略中做出選擇和決策。因此，數(shù)學(xué)期望可以直接或間接地解決生活中的許多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，成為人們作出經(jīng)濟(jì)策略時(shí)的重要依據(jù)。

在利用數(shù)學(xué)期望求解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，首先，要建立起問(wèn)題要求的量與某一已知分布的隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系，這樣就可以利用已知分布的量來(lái)求未知分布的量的數(shù)學(xué)期望，從而最終確定所求問(wèn)題的解。接下來(lái)我們舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)期望在求最大利潤(rùn)中的應(yīng)用。

例1 ：假設(shè)某工廠(chǎng)生產(chǎn)正方體彩燈盒，該種正方體彩燈盒的邊長(zhǎng)X（mm）～N（μ，1），若邊長(zhǎng)X的范圍為（150≤X≤152）是優(yōu)質(zhì)的彩燈盒，其余都為劣質(zhì)的彩燈盒。已知銷(xiāo)售利潤(rùn)Y（單位：元）與銷(xiāo)售正方體彩燈盒的邊長(zhǎng)X有關(guān)，銷(xiāo)售每個(gè)優(yōu)質(zhì)的彩燈盒獲利30元，銷(xiāo)售每個(gè)劣質(zhì)的彩燈盒的虧損情況如下：

問(wèn)：正方體彩燈盒的平均邊長(zhǎng)μ取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)該種正方體彩燈盒的平均利潤(rùn)最大？

解：由于X～N（μ，1），故X-μ～N（0，1），從而由題設(shè)條件知，平均利潤(rùn)為：

即：

化簡(jiǎn)得：

其中，Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，設(shè)φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，則有：

即：

令，得到：

由此得

，此時(shí)。

所以當(dāng)正方體彩燈盒的平均邊長(zhǎng)μ=μ0≈150.0 mm時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)該種正方體彩燈盒的平均利潤(rùn)最大。

2.2? De Movire-Laplace定理在抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量的應(yīng)用

抽樣檢查方式是國(guó)家在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)背景下對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢查的主要方式。國(guó)家質(zhì)檢總局每年在對(duì)整個(gè)社會(huì)的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)做具體分析時(shí)，都采用抽樣檢查的方式對(duì)各行各業(yè)的發(fā)展情況進(jìn)行調(diào)查，與對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行全面檢查相比，抽樣檢查的方式具有準(zhǔn)確度高、成本低、速度快、應(yīng)用廣泛等優(yōu)點(diǎn)。產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢查一般是指根據(jù)隨機(jī)原理，從所有產(chǎn)品中抽取一部分產(chǎn)品，對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)，并用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思路和方法，通過(guò)產(chǎn)品選定部分的量化特征，對(duì)整個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定量外推。

抽樣方法的正確性是指抽樣的代表性和隨機(jī)性。代表性反映了所抽取的樣品與全部產(chǎn)品質(zhì)量的接近程度，而隨機(jī)性則反映了要檢查的所有產(chǎn)品中的某些單位產(chǎn)品被意外地抽取為樣品，這是由隨機(jī)因素決定的，想對(duì)全部產(chǎn)品質(zhì)量狀況有確切的了解。很明顯，主觀(guān)約束方式不能用來(lái)改善樣本的表示，抽樣應(yīng)該是完全隨機(jī)的 ，一般來(lái)說(shuō)，只要不是有意識(shí)地提取出好的或壞的產(chǎn)品，而是嘗試從全部產(chǎn)品的各個(gè)部分抽樣，即可視為隨機(jī)抽樣。

經(jīng)濟(jì)問(wèn)題需要運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)簡(jiǎn)化問(wèn)題并對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行求解。De Movire-Laplace定理表明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n充分大時(shí)，可以利用該定理來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。De Movire-Laplace定理為概率估計(jì)提供了極為有效的依據(jù)。在利用De Movire-Laplace定理求解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的近似解時(shí)，二項(xiàng)分布X～B（n，p）可以看作是一個(gè)獨(dú)立同分布Xi（i=0，1，2，…n）在0～1分布的和，即，其中：P（Xi=1）=p， P（Xi=0）=1-p。

例2：假設(shè)通過(guò)抽樣的方式對(duì)某工廠(chǎng)生產(chǎn)的一批玩具質(zhì)量進(jìn)行檢查，若抽查出來(lái)的不合格玩具數(shù)量超過(guò)5件則拒絕接受這批玩具。設(shè)這批玩具的不合格率為5%，問(wèn)：至少應(yīng)抽多少件玩具才能保證檢查時(shí)拒絕接受這批玩具的概率達(dá)到95%？

解：設(shè)n為至少應(yīng)抽的玩具數(shù)量，X為其中的不合格玩具數(shù)量，對(duì)獨(dú)立同分布的Xi（i=0，1，2，…n），由De Movire-Laplace定理有：

即：

當(dāng)n充分大時(shí)，，由題意知，即：

查表得，即n=50。

由分析可知，至少應(yīng)抽樣50件玩具才能保證檢查時(shí)拒絕接受這批玩具的概率達(dá)到95%。

3? ? 結(jié)語(yǔ)

從數(shù)學(xué)期望和De Movire-Laplace定理出發(fā)，詳細(xì)介紹了概率統(tǒng)計(jì)在求最大利潤(rùn)和抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量中的應(yīng)用。通過(guò)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)實(shí)生活中的重要性和有效性。

[參考文獻(xiàn)]

[1]趙玉梅，梅? ?紅，熊洪斌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào)：綜合版，2018（2）：123-126.

[2]龔友運(yùn).概率與統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].大學(xué)教育，2016（10）：131-132.

[3]周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].南京：高等教育出版社，2009.

Application of probability statistics in economic problems

Zhang Yanting， Jiang Yong

（College of Computer and Information Sciences，? Fujian Agricultural and Forestry University， Fuzhou 350002， China）

Abstract：This paper expounds the principle and method of the application of probability statistics in economic problems， and introduces the application of mathematical expectation in finding the maximum profit and the application of De Movire-Laplace theorem in sampling inspection of product quality by using examples. It is hoped that people can understand the essence of probability statistics more deeply so as to solve the problems in daily life.

Key words：probability statistics; mathematical expectation; De Moire-Laplace theorem; economic problem