運用函數(shù)與方程思想解決實際問題的研究

孫寬程

摘? ?要：函數(shù)的思想是以全局的視角來衡量的，方程的思想則不同，它是通過設(shè)未知數(shù)，再運用題中所給已知條件，構(gòu)造出方程或者方程組，從而求解出未知數(shù)。對于很多問題，要將兩者結(jié)合運用去解決。在未來的學(xué)習(xí)生活中，學(xué)生應(yīng)該有意地培養(yǎng)自己運用函數(shù)與方程思想解題的能力。函數(shù)與方程的思想可以應(yīng)用于解決各種題型。

關(guān)鍵詞：函數(shù);方程;思想;性質(zhì);轉(zhuǎn)化;構(gòu)造

與函數(shù)和方程思想相關(guān)的知識點、題型與應(yīng)用技巧都比較多，主要體現(xiàn)在解決實際問題方面，在很多領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用。函數(shù)的思想可以使事物變化的規(guī)律得以有效地揭示，間接地反映出事物與事物之間的聯(lián)系，而方程的思想則可以使函數(shù)的思想得到更加具體的表達，這是一種辯證統(tǒng)一的關(guān)系。本文將簡單介紹一下方程與函數(shù)，重點舉例證明運用函數(shù)與方程的思想解決學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中涉及的各個領(lǐng)域的實例，并重點介紹如：不等式、三角函數(shù)、解析幾何、二次項定理中的實際問題。希望能夠結(jié)合這些途徑培養(yǎng)自己運用函數(shù)與方程思想解題的能力。

1? ? 方程及其相關(guān)思想

1.1? 概念

含有未知數(shù)的等式叫作方程。

1.2? 類型

方程的類型包括很多，像在小學(xué)和初中接觸的，按照順序來分的話，就是一元一次方程，后來又學(xué)習(xí)二元一次方程和二元一次方程組，然后是一元二次方程。當(dāng)然多元類型的方程本文不研究。

1.3? 相關(guān)思想

筆者認(rèn)為，方程的思想與反證法相似，都是用逆向推理的形式，只不過反證法是把結(jié)論否定，然后驗證與題中已經(jīng)知道的條件矛盾，而方程則是先設(shè)想要求解的結(jié)論為未知數(shù)，反向推進，然后得到一個含有未知數(shù)的等式，這個等式就是方程，而這個過程就叫作構(gòu)造方程，求解的過程無需拓展。從上面的過程來看，筆者認(rèn)為方程的思想就是運用逆向思維去尋找一個等量關(guān)系。

2? ? 函數(shù)及其相關(guān)思想

2.1? 概念

一般的，在一個變化過程中，假設(shè)有兩個變量x、y，如果對于任意一個x，都有唯一確定的一個y和它對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)。x的取值范圍叫作這個函數(shù)的定義域，相應(yīng)y的取值范圍叫作函數(shù)的值域。

2.2? 幾種表示方法

（1）解析式法;（2）列表法;（3）圖像法;（4）語言敘述法。

2.3? 種類

大部分學(xué)生在初中開始接觸函數(shù)，下面是最基本的初等函數(shù)。

（1）三角函數(shù)：y=sin x等;

（2）指數(shù)函數(shù)：y=ax（a為常數(shù)，a>0且a≠1）;

（3）對數(shù)函數(shù)：y=logax（a為常數(shù)，a>0且a≠1）;

（4）冪函數(shù)：y=xa（a為常數(shù)）。

2.4? 相關(guān)思想

在學(xué)習(xí)過程中，無數(shù)次運用函數(shù)的思想去解決一些問題，到底什么是函數(shù)的思想呢？事實上，函數(shù)最大的便利就是可以利用數(shù)形結(jié)合的方式去解決問題，圖像是非常方便的一個方式。所以在分析函數(shù)問題時，會充分利用其自身的性質(zhì)以及圖像來充當(dāng)已知條件，運用數(shù)形結(jié)合，之后就類似于方程的步驟。所以筆者認(rèn)為，函數(shù)的思想就是設(shè)一個新的函數(shù)，把想得到的結(jié)果轉(zhuǎn)換到另外一個函數(shù)上，以此來解決原有問題。在這里，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化以及由一個函數(shù)轉(zhuǎn)化到另一個函數(shù)的過程極為重要。

3? ? 用函數(shù)與方程的思想解決實際問題

3.1? 用函數(shù)與方程的思想解決關(guān)于不等式類型的問題

例1? 當(dāng)x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，a∈R，求a的取值范圍。

分析：在這個題中有兩個未知量a和x，其中x∈R，另一個未知量a的范圍就是我們需要求的解，此時我們需要先把a和x拆開，這個過程我們叫它分離。

解：由分析可知，需要先移向項，a+cos2x<5-4sin x+等價于a+cos 2x<5-4sin x+，所以只需-a+5永遠大于4sinx+cos2x的max值即可。因此，這道題成功地被轉(zhuǎn)化成為求f（x）=4sinx+cos2x的max值問題。

f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，所以-a+5>3，即>a-2，則可以歸納出或，解得。

3.2? 用函數(shù)與方程的思想解決關(guān)于解析幾何類型的問題

解析幾何這類問題接觸的很多，其思路就是將曲線所表達的解析式看作一個函數(shù)的表達式。例如中考的最后一道大題，往往都是動點、動直線的問題，有函數(shù)與方程的思想能很方便地解決這類題。

例2? 設(shè)雙曲線C：與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B。

求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

設(shè)曲線l與x軸的交點為P，且，求a的值。

解：（1）由C與l相交于兩個不同的點，

所以可以建立一個方程組 有兩個不同的實數(shù)解，消去x，整理得：，①

因此得

解得，

所以雙曲線離心率，

因為，

所以，

即離心率e的取值范圍為。

（2）設(shè)（x2，y2）， A（x1，y1）， B（x2，y2）， P（1，0），

因為，

所以

由此得：。

由于y1，y2都是方程①的根，

且1-a2≠0，，，

消去y2，得，

由a>0，所以。

3.3? 用函數(shù)與方程的思想解決關(guān)于二項式定理類型的問題

一般來說，與二項式定理相關(guān)的函數(shù)形式一般為f（x）=（a+bx）n（n∈N）*，中學(xué)階段就接觸過，它與函數(shù)相輔相成，由此找到需要的數(shù)據(jù)和規(guī)律來解決問題。

例3設(shè)f（x）=（1+x）a+（1+x）b，其中（m∈N*，n∈N*），它的展開式中x的系數(shù)和為19，求f（x）中x2項系數(shù)的最小值。

解：由題可知，

a+b=19，整理得a=19-b，

則f（x）中x2項的系數(shù)為

，

因為b∈N*，

故b=9或b=10時，

f（x）中x2項系數(shù)取得最小值，

最小值為81。

注意：充分運用二項展開式的通項公式，把x和x2項的系數(shù)轉(zhuǎn)換為a，b的關(guān)系式，由此可以將x2項的系數(shù)轉(zhuǎn)換為a或者b的二次函數(shù)。

4? ? 結(jié)語

我們應(yīng)該熟練掌握如何運用函數(shù)與方程的思想解決不同的類型題，分別為：不等式、三角函數(shù)、解析幾何、二項式定理，并且每種方法都有詳細(xì)的介紹、舉例、解析和總結(jié)。這樣就可以從題中所給條件以及題目不同種類，選擇不同的解題方式，這些類型題都在不同的方向上運用了函數(shù)與方程的思想。因此，學(xué)習(xí)本文，就可以更好地運用函數(shù)與方程的思想解題。

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