淺談不等式恒成立問題

余知才

不等式恒成立問題在近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題既含參變量又含自變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機結(jié)合起來，具有形式靈活、思維性強、知識交匯點多等特點，考題主要有以下兩種方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數(shù)的值或取值范圍。解決這類問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化到函數(shù)求其最值來處理。而等價轉(zhuǎn)化過程往往滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，其常用方法主要有：更換主元法、零點分布法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、最值法、消元轉(zhuǎn)化策略等，我結(jié)合解題教學(xué)實踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。

在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，同時注意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更加明朗化。

例1、已知對于任意的∈[-1，1]，函數(shù)（）=+（2-4）+3->0 恒成立，求的取值范圍。

點評：對于含有兩個參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。

點評：對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以考慮函數(shù)的零點分布情況，要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在軸的上方或在軸上就行了。

當(dāng)不等式中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其它變量完全分離出來，且分離后不等式另一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值可求時，常用分離參數(shù)法.

不等式恒成立問題，因題目涉及知識面廣，解題方法靈活多樣，技巧性強，難度大等特點，要求有較強的思維靈活性和創(chuàng)造性，較高的解題能力，上述方法是比較常用的，但因為問題形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ拢虼嗽趥淇嫉母鱾€階段都應(yīng)滲透恒成立問題的教與學(xué)，在平時的訓(xùn)練中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，教師也要介入心理輔導(dǎo)和思想方法指導(dǎo)，從而促使學(xué)生在解決此類問題的能力上得到改善和提高。