基于復(fù)合型進(jìn)化算法的地下水污染反演模型

黃林顯　劉治政　邢立立　楊麗芝　朱恒華　紀(jì)紋龍　張永勇

摘要：污染源位置和污染物排放濃度的快速確定直接決定著地下水污染的有效治理及修復(fù)，這屬于地下水反演問(wèn)題。通過(guò)充分分析地下水污染反演問(wèn)題，耦合地下水流模擬程序MODFLOW、溶質(zhì)運(yùn)移模擬程序MT3DMS和優(yōu)化算法SCE-UA，設(shè)計(jì)了一種模擬一優(yōu)化（ S/O）反演模型。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，反演結(jié)果表明：提出的網(wǎng)格遍歷CT算法可以自動(dòng)驗(yàn)證潛在污染區(qū)內(nèi)所有可能的污染源位置組合方式：與傳統(tǒng)地下水污染反演模型相比，S/O模型不但能夠適用于穩(wěn)定流條件，而且適用于非穩(wěn)定流條件;所開(kāi)發(fā)的S/O模型對(duì)于多污染源分別在穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流下的反演均有非常高的精度，能夠準(zhǔn)確反演污染源位置及污染物排放濃度。

關(guān)鍵詞：地下水污染;污染源位置：SCE-UA優(yōu)化算法;S/O模型

中圖分類號(hào)：P641.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn. 1000- 1379.2019.04.013

地下水一旦遭受污染，其治理不但投入巨大，而且耗時(shí)長(zhǎng)[1-3]。地下水污染防治的關(guān)鍵是及時(shí)確定污染源的位置，從而采取措施切斷污染途徑，并進(jìn)行針對(duì)性修復(fù)，避免更大范圍的污染發(fā)生。如何快速、準(zhǔn)確定位污染源位置和污染物排放濃度，已成為地下水科研領(lǐng)域一個(gè)非常重要的研究方向，這屬于地下水反演問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)地下水污染反演問(wèn)題進(jìn)行了大量研究：Prakash等[4]通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)布局，利用污染物濃度的變化進(jìn)行地下水污染源識(shí)別：Gorelick等[5]分別將最小二乘法、線性規(guī)劃法等與溶質(zhì)運(yùn)移模型結(jié)合，對(duì)比了兩種方法運(yùn)用于地下水污染物運(yùn)移特征識(shí)別的優(yōu)缺點(diǎn)：Foddis等[6]設(shè)計(jì)了一種借助人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ ANNs）的優(yōu)化反演模型，并將其應(yīng)用于均質(zhì)各向同性二維含水層反演中：江思珉等[7]采用Hooke -Jeeves吸引擴(kuò)散粒子群混合算法、和聲搜索算法等對(duì)地下水污染物釋放強(qiáng)度進(jìn)行了反演：顧文龍等[8]將污染源反演過(guò)程轉(zhuǎn)化為貝葉斯推理過(guò)程，并與克里格替代模型結(jié)合，提出了一種反演地下水污染源釋放濃度的新思路。此外，自適應(yīng)模擬退火算法（ASA）[9]、自適應(yīng)多尺度方法10]、正態(tài)轉(zhuǎn)換一集合卡爾曼濾波法（ NS-EnKF）[11]和蒙特卡洛[12]等方法也被應(yīng)用于地下水污染反演問(wèn)題的求解中。

上述方法雖然從不同角度對(duì)地下水污染反演問(wèn)題進(jìn)行了探討，并取得了很多成果，但也存在一定局限性。如監(jiān)測(cè)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化布局法需要大量監(jiān)測(cè)井的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，采樣和測(cè)試過(guò)程耗費(fèi)大量人力和財(cái)力，且只能大致確定污染源的方向，不能快速精確定位：傳統(tǒng)的最小二乘法、線性規(guī)劃法等，當(dāng)研究區(qū)水文地質(zhì)條件比較復(fù)雜時(shí)，反演過(guò)程容易陷入局部搜索，得不到全局最優(yōu)解，影響反演精度：地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的反演精度取決于對(duì)研究區(qū)的了解程度，當(dāng)未知變量較多時(shí)，計(jì)算量大，且容易出現(xiàn)病態(tài)矩陣問(wèn)題：近幾年興起的全局最優(yōu)解啟發(fā)式搜索方法如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等，需要大量數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本訓(xùn)練，如果不能實(shí)現(xiàn)地下水流模型、溶質(zhì)運(yùn)移模型和優(yōu)化算法的有效耦合，那么會(huì)引起計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜化，增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，或者只能模擬穩(wěn)定流，不能模擬非穩(wěn)定流，限制了其使用范圍。此外，對(duì)于一些傳統(tǒng)反演優(yōu)化方法，需要已知污染源位置才能對(duì)排放濃度進(jìn)行反演，而實(shí)際應(yīng)用中污染源的位置是不確定的，或者只能確定在某一個(gè)范圍內(nèi)，這限制了此類方法的應(yīng)用。

基于以上分析，本文提出了一種基于全局搜索SCE-UA算法的模擬一優(yōu)化S/O反演模型，并進(jìn)行不同案例情況下的反演驗(yàn)證。該模型采用SCE-UA優(yōu)化算法，能夠更加有效、快速搜索全局最優(yōu)解，避免了傳統(tǒng)優(yōu)化算法容易早熟收斂、陷入局部最優(yōu)解的弊端，魯棒性好。通過(guò)采用FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)接口程序，實(shí)現(xiàn)了地下水?dāng)?shù)值模擬程序MODFLOW（地下水流模擬程序）和MT3DMS（溶質(zhì)運(yùn)移模擬程序）與優(yōu)化算法SCE-UA的對(duì)接，使得數(shù)據(jù)交換由傳統(tǒng)的文件讀取改進(jìn)為內(nèi)部變量傳遞，有效減小了計(jì)算負(fù)擔(dān)，且能夠適用于多污染源、穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流等各種復(fù)雜情況。同時(shí)，提出了一種網(wǎng)格遍歷GT算法，可以在沒(méi)有或者只有很少關(guān)于污染源位置信息的情況下，通過(guò)驗(yàn)證潛在污染區(qū)所有可能污染源的位置組合方式，對(duì)污染源進(jìn)行精確定位。

1 方法原理

S/O反演模型利用MODFLOW和MT3DMS模擬污染物在地下水中的運(yùn)移過(guò)程：SCE -UA優(yōu)化算法根據(jù)觀測(cè)井處污染物濃度模擬值和觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)化差值NE，通過(guò)反射、變異和進(jìn)化對(duì)污染源的污染物排放濃度進(jìn)行反演：GT算法通過(guò)所設(shè)計(jì)的網(wǎng)格遍歷算法快速、有效地搜索研究區(qū)內(nèi)所有可能的污染源位置組合，最終達(dá)到準(zhǔn)確確定污染源位置、濃度以及污染物排放過(guò)程的目的。3個(gè)模塊通過(guò)FORTRAN程序?qū)崿F(xiàn)相互之間的鏈接，并通過(guò)變量傳遞實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)交換。S/O反演模型的主要結(jié)構(gòu)及不同模塊之間的鏈接見(jiàn)圖1（其中BAS、RIV和LPF等分別為MODFLOW和MT3DMS的子程序包）。

1.1 地下水控制方程

（1）地下水流動(dòng)方程。根據(jù)質(zhì)量守恒、能量守恒以及Darcy定律，不考慮水密度變化條件下，孔隙介質(zhì)中地下水在三維空間流動(dòng)的偏微分方程為[13]

研究中，地下水流模擬程序MODFLOW和溶質(zhì)運(yùn)移模擬程序MT3DMS被聯(lián)合使用，以模擬求解污染物運(yùn)移的時(shí)空分布狀況。

1.2 SCE-UA算法

SCE-UA算法是一種全局搜索優(yōu)化算法，最初由美國(guó)亞利桑那大學(xué)的Duan等在1992年提出。該算法可以有效解決地下水污染物運(yùn)移強(qiáng)烈非線性特征所帶來(lái)的早熟收斂、容易陷入局部最優(yōu)解等弊端，能夠快速搜索到全局最優(yōu)解，且穩(wěn)定可靠，較其他算法具有一定優(yōu)越性。SCE-UA算法綜合了單純形法、隨機(jī)搜索和生物競(jìng)爭(zhēng)進(jìn)化等方法的優(yōu)點(diǎn)，引人種群概念，復(fù)合形點(diǎn)在可行域內(nèi)隨機(jī)生成，并根據(jù)生物進(jìn)化規(guī)則不斷優(yōu)化[15-16]。

1.3 遍歷尋優(yōu)（GT）算法

進(jìn)行地下水污染源反演時(shí)污染源的位置往往是未知的。解決此類問(wèn)題通常的做法是通過(guò)實(shí)地調(diào)查和查閱有關(guān)資料預(yù)先劃定一個(gè)潛在子區(qū)域，確保所有可能的污染源組合落在這個(gè)子區(qū)域中，見(jiàn)圖2。

本次研究開(kāi)發(fā)了一種可以自動(dòng)搜索預(yù)定義子區(qū)域中多個(gè)污染源所有可能位置組合的網(wǎng)格遍歷GT算法。在GT算法中，開(kāi)始單元格分別通過(guò)行、列、層號(hào)索引變量Rmin、Cmin、Lmin界定預(yù)定義子區(qū)域的上邊界，結(jié)束單元格分別通過(guò)行、列、層號(hào)索引變量Rmax、Cmax、Lmax界定預(yù)定義子區(qū)域的下邊界，所有可能的污染源組合通過(guò)以上6個(gè)變量遍歷。整個(gè)搜索過(guò)程通過(guò)FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)的計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行，并與S/O優(yōu)化模型鏈接。對(duì)于非穩(wěn)定流問(wèn)題的反演，GT算法將遍歷每一個(gè)應(yīng)力期內(nèi)所有污染源位置的組合，并通過(guò)判斷目標(biāo)函數(shù)RE值來(lái)獲得最優(yōu)解。反演問(wèn)題的復(fù)雜性隨著污染源個(gè)數(shù)的增加而增加，例如預(yù)定義子區(qū)域包含16個(gè)單元格，如果只有1個(gè)污染源，那么可能的污染源位置為16個(gè);如果污染源的個(gè)數(shù)是2個(gè)，那么可能的污染源位置組合為120個(gè)：如果污染源的個(gè)數(shù)是3個(gè)，那么可能的污染源位置組合為560個(gè)。

2 模擬一優(yōu)化模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)化差公式

S/O模型在反演過(guò)程中通過(guò)目標(biāo)函數(shù)RE值調(diào)整SCE-UA算法中種群的進(jìn)化，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化差值NE檢驗(yàn)反演結(jié)果的精確性和魯棒性。

（1）目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)用來(lái)判斷監(jiān)測(cè)井實(shí)測(cè)污染物濃度與S/O模型模擬污染物濃度的吻合程度，目標(biāo)函數(shù)的選擇對(duì)反演結(jié)果的優(yōu)劣至關(guān)重要，它是SCE-UA算法進(jìn)化尋優(yōu)的基礎(chǔ)。目標(biāo)函數(shù)定義為

（2）標(biāo)準(zhǔn)化差公式。為了檢驗(yàn)S/O反演模型的精度和魯棒性，引入了標(biāo)準(zhǔn)化差公式。假設(shè)污染源污染物排放濃度真實(shí)值Cact已知，可以通過(guò)MODFLOW和MT3DMS計(jì)算監(jiān)測(cè)井處的濃度Cobs：假設(shè)Cact未知，可以通過(guò)監(jiān)測(cè)濃度Cobs和S/O模型反演污染源污染物排放濃度Cide。S/O模型的反演精度可以通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)化差公式進(jìn)行衡量：

2.2 S/O模型結(jié)構(gòu)

S/O模型可以劃分為模擬模型和優(yōu)化模型兩部分。模擬模型包含地下水流模擬程序MODFLOW和溶質(zhì)運(yùn)移模擬程序MT3DMS.主要用來(lái)模擬地下水流和污染物的有關(guān)運(yùn)移特征：優(yōu)化模型主要通過(guò)SCE -UA優(yōu)化算法產(chǎn)生種群樣本點(diǎn)（污染源污染物濃度值），并根據(jù)RE值進(jìn)行變異、反射和進(jìn)化樣本點(diǎn)值，在全局范圍內(nèi)搜索可能的污染源位置和污染物排放濃度，最終達(dá)到快速、準(zhǔn)確鎖定污染源位置和污染物濃度的目的。需要注意的是當(dāng)RE值為0時(shí)，說(shuō)明反演的污染源位置和污染物濃度值與真實(shí)情況完全一致，但由于實(shí)際操作過(guò)程中模擬誤差和觀測(cè)誤差的存在，因此這種情況很難發(fā)生。GT遍歷算法通過(guò)自動(dòng)搜索所有可能的污染源位置.提高了S/O優(yōu)化模型的反演效率和準(zhǔn)確度。地下水模擬模型、優(yōu)化模型和GT算法通過(guò)FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)的接口程序內(nèi)部鏈接，使得數(shù)據(jù)交換由傳統(tǒng)的文件讀取轉(zhuǎn)化為內(nèi)部變量傳遞，極大提高了計(jì)算效率。

地下水模擬模型和優(yōu)化模型的鏈接：①SCE -UA算法和接口程序重設(shè)MODFLOW和MT3DMS的相關(guān)輸入文件，如WEL、SSM和BTN文件等。②MODFLOW和MT3DMS模擬計(jì)算監(jiān)測(cè)井污染物濃度，并與監(jiān)測(cè)濃度相比較，計(jì)算RE值，如果RE值小于收斂指標(biāo)，認(rèn)為反演值與實(shí)際情況一致，則進(jìn)行下一個(gè)應(yīng)力期的反演：如果RE值大于收斂指標(biāo)，SCE -UA算法根據(jù)RE值，通過(guò)變異、反射和進(jìn)化對(duì)污染源污染物濃度值優(yōu)化，繼續(xù)重設(shè)MODFLOW和MT3DMS的相關(guān)輸入文件。在一個(gè)應(yīng)力期內(nèi)當(dāng)所有可能的污染源位置都通過(guò)GT算法被驗(yàn)證后，反演過(guò)程將會(huì)移向下一個(gè)應(yīng)力期。S/O模型鏈接過(guò)程見(jiàn)圖3。

3 案例研究

S/O反演模型的反演效果分別通過(guò)以下兩個(gè)案例進(jìn)行驗(yàn)證：案例1為穩(wěn)定流條件，有兩個(gè)污染源但位置未知，只知道可能存在的范圍，通過(guò)4個(gè)監(jiān)測(cè)井的監(jiān)測(cè)濃度值反演污染源的位置和污染物濃度排放值：案例2更接近于實(shí)際情況，為包含3個(gè)應(yīng)力期的非穩(wěn)定流條件，有兩個(gè)位置未知的污染源，且污染源污染物排放濃度在每個(gè)應(yīng)力期均不相同，通過(guò)6個(gè)監(jiān)測(cè)井的監(jiān)測(cè)濃度值反演不同應(yīng)力期污染源的位置和污染物排放濃度。案例研究參考RAJ等[17]進(jìn)行地下水污染源反演驗(yàn)證時(shí)所設(shè)計(jì)的模擬河間地塊地下水流動(dòng)情況的實(shí)例模型（見(jiàn)圖4）。本次案例研究的主要目的是評(píng)價(jià)S/O模型的反演效果，因此在地下水?dāng)?shù)值建模時(shí)對(duì)研究區(qū)水文地質(zhì)條件進(jìn)行了一定程度的概化。數(shù)值模型在橫向上剖分成規(guī)格為100 mxl00 m的正方形網(wǎng)格，縱向上剖分為1層。模型區(qū)東、西邊界分別為給定水頭邊界（東邊界為88 m，西邊界為100 m），南、北邊界分別為隔水邊界。S/O模型相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

SCE-UA算法進(jìn)化代數(shù)為10時(shí)的反演結(jié)果見(jiàn)表2。需要注意是，由于276個(gè)位置組合需要被搜索，因此在實(shí)際反演過(guò)程中產(chǎn)生了很多結(jié)果，表2僅僅根據(jù)NE值選取了幾組具有代表性的結(jié)果進(jìn)行展示。從表2可以看出，真實(shí)污染源的位置可以從276個(gè)可能的位置組合中被準(zhǔn)確搜索出來(lái)，如結(jié)果排序1-3，且反演結(jié)果最好時(shí)兩個(gè)污染源污染物排放濃度分別為47.950mg/L和35.805 mg/L，與真實(shí)值48 mg/L和36 mg/L較為接近，NE值為0.323%，能夠滿足精度要求。

從表2可以看出，當(dāng)反演位置正確的時(shí)候，反演的濃度值均較接近真實(shí)值，NE值為0.323% -1 .945%.基本滿足精度要求：但當(dāng)反演位置不準(zhǔn)確時(shí)，反演的污染物濃度值與真實(shí)值差別很大，NE值為8.236% -90.765%.不能滿足精度要求，因此可以看出污染源位置的準(zhǔn)確確定是污染物濃度反演成功的前提條件。此外，對(duì)進(jìn)化代數(shù)對(duì)反演結(jié)果的影響進(jìn)行了測(cè)試，從表3可以看出，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)分別為10、20和50時(shí)，反演結(jié)果與真實(shí)值均非常接近，NE值為0.008% - 0.323%，完全能夠滿足精度要求。同時(shí)，隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，NE值逐漸減小，說(shuō)明反演精度提高。但需要注意的是，進(jìn)化代數(shù)的增加會(huì)帶來(lái)很大的計(jì)算負(fù)擔(dān)，反演時(shí)間會(huì)成倍增加。

（2）案例2?，F(xiàn)實(shí)中污染物的運(yùn)移往往是在非穩(wěn)定流條件下進(jìn)行的，并且不同應(yīng)力期的排放濃度是變化的。在案例2中，對(duì)具有3個(gè)應(yīng)力期（應(yīng)力期為la）的非穩(wěn)定流情形進(jìn)行驗(yàn)證。污染源的真實(shí)位置分別位于A1（行=3、列=2）和A2（行=7、列=3），且假設(shè)未知，可能的位置位于圖6陰影區(qū)域。6個(gè)監(jiān)測(cè)井分別位于01（行=2、列=4）、02（行=3、列=4）、O3（行=4、列=5）、O4（行=5、列=5）、05（行=6、列=4）、06（行=7、列=4）。每個(gè)應(yīng)力期的真實(shí)濃度和監(jiān)測(cè)濃度見(jiàn)表4。

由于案例2有3個(gè)應(yīng)力期，因此每個(gè)應(yīng)力期都需要搜索276個(gè)可能的位置組合。S/O反演模型在處理非穩(wěn)定流問(wèn)題時(shí)，當(dāng)前應(yīng)力期反演的進(jìn)行要基于前面應(yīng)力期的反演結(jié)果：反演第一個(gè)應(yīng)力期并獲得污染源位置和污染物排放濃度的最優(yōu)解：第二個(gè)應(yīng)力期的反演，首先運(yùn)行第一個(gè)應(yīng)力期反演的最優(yōu)解，然后再反演第二個(gè)應(yīng)力期并獲得最優(yōu)解;第三個(gè)應(yīng)力期以此類推。所以，本應(yīng)力期的反演結(jié)果取決于前面應(yīng)力期反演結(jié)果的準(zhǔn)確性，NE值也會(huì)因前面應(yīng)力期反演誤差的累積而不斷增大。

當(dāng)進(jìn)化代數(shù)為10時(shí)，每個(gè)應(yīng)力期的最優(yōu)反演值見(jiàn)表5。從表5可以看出，第一個(gè)應(yīng)力期NE值是2.91%，反演結(jié)果尚在可以接受的精度范圍內(nèi)，但隨著應(yīng)力期的增加，NE值在第三個(gè)應(yīng)力期增大為58.00%（第二個(gè)應(yīng)力期由于A2點(diǎn)污染物排放濃度為0，因此NE值無(wú)法計(jì)算），且反演的位置與真實(shí)位置不一致。為了獲得更準(zhǔn)確的反演結(jié)果，把進(jìn)化代數(shù)分別增加為20和50，反演結(jié)果見(jiàn)表6。

從表6可以看出，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)為20時(shí)，只有前兩個(gè)應(yīng)力期能夠獲得可以接受的結(jié)果，到第三個(gè)應(yīng)力期，反演結(jié)果與真實(shí)值相差較大;當(dāng)進(jìn)化代數(shù)為50時(shí)，全部3個(gè)應(yīng)力期污染源位置和污染物排放濃度反演值都與真實(shí)值較為接近，能夠獲得令人滿意的結(jié)果。由此可以得出：通過(guò)增加進(jìn)化代數(shù).S/O反演模型的反演精度可以得到提高;隨著非穩(wěn)定流應(yīng)力期的增加，需要相應(yīng)增加進(jìn)化代數(shù)以獲得更加準(zhǔn)確的反演結(jié)果。

4 結(jié)語(yǔ)

在已知監(jiān)測(cè)井監(jiān)測(cè)濃度的情況下推求污染源位置和污染物排放濃度是典型的地下水?dāng)?shù)值模擬反演問(wèn)題。反演過(guò)程中可轉(zhuǎn)化成決策變量為污染源位置和污染物排放濃度的最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。將優(yōu)化算法SCE - UA和地下水?dāng)?shù)值模擬程序MODFLOW和MT3DMS結(jié)合起來(lái)，建立了S/O優(yōu)化搜索模型。

（1）通過(guò)接口程序，實(shí)現(xiàn)了SCE -UA優(yōu)化算法和MODFLOW、MT3DMS的鏈接，使得數(shù)據(jù)交換由文件讀取改進(jìn)為內(nèi)部變量傳遞，不但大大提高了S/O反演模型的計(jì)算效率，而且使其同時(shí)具備在穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流條件下反演的能力。

（2）穩(wěn)定流案例研究表明，S/O優(yōu)化模型對(duì)于雙污染源、污染源位置未知情況下的反演，能一致、高效地收斂到全局最優(yōu)解，收斂速度較快、穩(wěn)定性好，在進(jìn)化代數(shù)較少的情況下就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)污染源位置和污染物排放濃度的準(zhǔn)確反演。

（3）對(duì)于非穩(wěn)定流案例研究表明，S/O優(yōu)化模型的反演誤差會(huì)隨著應(yīng)力期的增加不斷累積，但通過(guò)增加進(jìn)化代數(shù)，同樣可以獲得令人滿意的反演結(jié)果，能夠?qū)ξ廴驹次恢煤臀廴疚锱欧艥舛冗M(jìn)行精確反演。

（4）隨著應(yīng)力期和進(jìn)化代數(shù)的增加，計(jì)算負(fù)擔(dān)不斷加大，計(jì)算時(shí)間甚至是以天或月計(jì)，下一步要重點(diǎn)研究并行算法在S/O反演模型中的應(yīng)用，以進(jìn)一步提高計(jì)算效率，并采用更加接近實(shí)際情況的實(shí)例模型進(jìn)行驗(yàn)證，使S/O反演模型更加具有實(shí)用性。

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