多元積分的教學(xué)研究

閆成

摘 要：本文詳細(xì)闡述把思維導(dǎo)圖應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，用多元函數(shù)積分公式之間的關(guān)系圖啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，提高認(rèn)知效率，并對如何利用現(xiàn)有資源優(yōu)化教學(xué)模式進(jìn)行了初步探索。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；可視化；思維導(dǎo)圖；積分

1高等數(shù)學(xué)介紹

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科和部分文科專業(yè)必備的一門基礎(chǔ)課程。其課程要求邏輯嚴(yán)格，強(qiáng)推理、重計(jì)算，用微積分的思想貫穿始終。學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，普遍出現(xiàn)了對高等數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)概念認(rèn)知困難的情況。而高等數(shù)學(xué)理解水平直接影響其它學(xué)科理解，要提高國民自然科學(xué)素質(zhì)就必須提高高等數(shù)學(xué)教和學(xué)的水平。單純數(shù)理推導(dǎo)的教學(xué)模式，不能完全適應(yīng)特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的理解方式，對高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新迫在眉睫。結(jié)合教材[1]，[2]，以積分為例，本文給出了如下探究。

2多元函數(shù)積分課程教學(xué)研究

2.1整合優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容給出易懂的例

多元函數(shù)積分是微積分部分的重要組成，是高等數(shù)學(xué)攻堅(jiān)過程中的一座大山。積分類型很重要，不同積分類型定義不同，幾何和物理背景也不同。這要求教師要心中有例子，理論聯(lián)系實(shí)際，使學(xué)生迅速進(jìn)入情景，心理接受并理解相應(yīng)的積分。教學(xué)內(nèi)容越是貼近實(shí)際，越能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)同感和探知欲，同時(shí)獲得解決問題的能力提升感促進(jìn)學(xué)生的積極性。

2.2利用物理幾何背景分類引入思維導(dǎo)圖

“多元函數(shù)積分”涉及的概念多，特別是在區(qū)分第一類型和第二類型的積分的分類時(shí)，學(xué)生往往因內(nèi)容多而感到困惑。因而，給出一種能讓學(xué)生迅速區(qū)分積分類型的分類方式是十分必要的。

首先，作者采用“積分區(qū)域的圖形”來分類的。定積分的被積分的圖形是x軸上的線段；而第一類和第二類曲線積分區(qū)域是空間中的曲線段，因此都是“線上的積分”。因?yàn)?，二重積分的積分區(qū)域是xoy平面上的圖形；而第一類和第二類曲面積分區(qū)域是在空間中的曲面部分，所以都是“面上的積分”?！胺e分區(qū)域的圖形”是“體上的積分”即三重積分。這樣就明確積分的大的分類，給出了積分分類的思維導(dǎo)圖（圖1）。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生反應(yīng)這種分類方式加快和加深他們對積分理解。

其次，在課程中引入幾何和物理背景。密度—質(zhì)量模型有：定積分，第一類曲線積分，二重積分，第一類曲面積分，三重積分都可以統(tǒng)一到這種模型。高度—面積、體積模型有：定積分，第一類曲線積分，二重積分，第一類曲面積分四種積分類型。力—做功模型有：第二類曲線積分的理解模型。流速—流量模型為：第二類曲面積分的理解基礎(chǔ)。結(jié)合各個(gè)積分的轉(zhuǎn)化關(guān)系給出了思維導(dǎo)圖（圖2）。作者對積分教學(xué)過程，就是以這個(gè)思維導(dǎo)圖為指引，不斷推演教學(xué)內(nèi)容，完善證明和例子，從而完善學(xué)生知識框架搭建。學(xué)生對這個(gè)知識框架反應(yīng)良好。

2.3教學(xué)過程恰當(dāng)互動(dòng)提高學(xué)生浸入感

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生大多處于被動(dòng)單純聽的狀態(tài)，師生之間互動(dòng)少，大部分學(xué)生不能進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，教學(xué)效果不理想。因此，在教學(xué)過程中有針對性地，對可操作的知識點(diǎn)進(jìn)行啟發(fā)式提問，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)浸入感。以第二類曲線積分為例，討論積分的性質(zhì)：兩個(gè)可積函數(shù)和的積分等于分別積分再求和。在作者的實(shí)際教學(xué)過程中，有一個(gè)學(xué)生用物理語言描述上述性質(zhì)為：兩個(gè)力的合力做的功等于兩個(gè)分力做功的和。在這個(gè)問題的回答之后，課堂的氣氛為之一變，大部分學(xué)生的思維積極性明顯提高，課后部分同學(xué)反饋，具備物理背景論述比單純的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)更容易理解。因此適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)互動(dòng)，合理的物理幾何背景的結(jié)合，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3總結(jié)概述

結(jié)合作者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索性給出下面兩個(gè)原則。

思維導(dǎo)圖構(gòu)造原則：①構(gòu)建理論依據(jù)貫穿始終，主線明確；②導(dǎo)圖作圖簡潔對稱。

互動(dòng)點(diǎn)設(shè)置原則：①容易結(jié)合物理幾何背景的內(nèi)容；②互動(dòng)時(shí)長不超過10分鐘；③時(shí)間點(diǎn)放到課程的中間部分。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)（第7版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)（第7版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.