遷移經(jīng)驗(yàn)，提高“四能”

摘要：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動(dòng)過(guò)程而獲得的經(jīng)驗(yàn)，需要在“做”的過(guò)程中體驗(yàn)，在“思考”的過(guò)程中沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中逐步積累的。形成和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是提高“四能”的有效手段，也是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（“三會(huì)”）的基本方法。在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生遷移已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，并在新問(wèn)題的分析、解決過(guò)程中不斷積累新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。以《正弦定理》第一課時(shí)為例加以說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)遷移四能正弦定理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”）。基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動(dòng)過(guò)程而獲得的經(jīng)驗(yàn)，需要在“做”的過(guò)程中體驗(yàn)，在“思考”的過(guò)程中沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中逐步積累的。形成和積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是提高“四能”的有效手段，也是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（“三會(huì)”）的基本方法。在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生遷移已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，并在新問(wèn)題的分析、解決過(guò)程中不斷積累新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5《正弦定理》第一課時(shí)為例，談一些體會(huì)。

一、整體建構(gòu)

用正弦定理解三角形，是初中解直角三角形的推廣，故遷移解直角三角形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用“化直”（包括借“高”化直和借“圓”化直）

的想法去研究，是一種自然的想法。另外，正弦定理的課程安排在“三角”“向量”知識(shí)之后，因此，借助向量的工具作用引入角，并研究幾何問(wèn)題，也是一種合適的選擇。同時(shí)，用正弦定理解三角形，是典型的用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題，故解析法研究順理成章。基于這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，正弦定理的學(xué)習(xí)內(nèi)容整體建構(gòu)如圖1所示。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

導(dǎo)語(yǔ)法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉有過(guò)這樣的名言：對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最自然的來(lái)源。從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建，從天文觀測(cè)到精密儀器的制造……人們都離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的測(cè)量、設(shè)計(jì)和計(jì)算。

情境1小李騎車(chē)在長(zhǎng)江邊A處游玩，發(fā)現(xiàn)在他所在位置北偏東60°的B處，有一艘采沙船在江中作業(yè)。當(dāng)他向正東方向騎行5千米到達(dá)C處后，發(fā)現(xiàn)該采沙船在他的正北方向（如圖2）。

問(wèn)題1你能就此情境提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

情境2小李騎車(chē)在長(zhǎng)江邊A處游玩，發(fā)現(xiàn)在他所在位置北偏東60°的B處，有一艘采沙船在江中作業(yè)。當(dāng)他向正東方向騎行5千米到達(dá)C處后，發(fā)現(xiàn)該采沙船在他的北偏西45°方向（如圖3）。

問(wèn)題2你能結(jié)合情境1的研究經(jīng)驗(yàn)，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并研究一般結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，依托一些生活實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、用數(shù)學(xué)的思維去分析、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。結(jié)合情境1，讓學(xué)生主動(dòng)思考、研究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力。遷移情境1及問(wèn)題1的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步研究情境2和問(wèn)題2，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并探索、得出一般結(jié)論。這兩個(gè)情境、問(wèn)題是后續(xù)學(xué)生活動(dòng)、數(shù)學(xué)建構(gòu)的基礎(chǔ)。

（二）學(xué)生活動(dòng)，分析問(wèn)題

活動(dòng)1結(jié)合情境1和問(wèn)題1，研究直角三角形的邊角關(guān)系。

預(yù)設(shè)問(wèn)題：在△ABC中，已知∠B=30°，∠C=90°，BC=5，求AB、AC的長(zhǎng)。

本質(zhì)揭示：本題實(shí)際是研究直角三角形的邊角關(guān)系。

當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，假如∠C為直角，那么有sinA=ac，sinB=bc，sinC=1=cc。所以asinA=bsinB=csinC=c。

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1與情境1、問(wèn)題1相呼應(yīng)，研究直角三角形的邊角關(guān)系，為推廣研究一般三角形的邊角關(guān)系做好準(zhǔn)備。

活動(dòng)2結(jié)合情境2和問(wèn)題2，探索一般三角形的邊角關(guān)系。

提出猜想：三角形的各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等，即asinA=bsinB=csinC。

畫(huà)板驗(yàn)證：如圖4。

推理論證：對(duì)于以上猜想，你能結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)合適的研究方案嘗試證明這一猜想嗎？

1.方案探索。（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系（借“高”化直）;（2）建立直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)的定義（借“系”解形）;（3）通過(guò)外接圓，將任意三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題（借“圓”化直）;（4）利用向量的投影或者向量的數(shù)量積產(chǎn)生三角函數(shù)（借“箭”得角）。

2.嚴(yán)格論證。引導(dǎo)學(xué)生具體實(shí)施上述預(yù)設(shè)思路。

設(shè)計(jì)意圖：在開(kāi)放的活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想—畫(huà)板驗(yàn)證—推理論證（方案探索—嚴(yán)格論證）”等環(huán)節(jié)，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美，并通過(guò)一題多證的方式，感受數(shù)學(xué)的開(kāi)放之美;同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。其中，方案探索的過(guò)程是喚醒并遷移已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的較高層次能力的表現(xiàn)。

（三）意義建構(gòu)，感知數(shù)學(xué)

在學(xué)生活動(dòng)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生規(guī)范表述正弦定理，理解正弦定理的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言及常見(jiàn)變式（見(jiàn)上文圖1）。

（四）數(shù)學(xué)運(yùn)用，解決問(wèn)題

例1小李騎車(chē)在長(zhǎng)江邊A處游玩，發(fā)現(xiàn)在他所在位置北偏東60°的B處，有一艘采沙船在江中作業(yè)。當(dāng)他向正東方向騎行5千米到達(dá)C處后，發(fā)現(xiàn)該采沙船在他的北偏西45°方向。求 AB、AC的長(zhǎng)。

說(shuō)明一般地，我們把三角形的三個(gè)角和它的對(duì)邊分別叫作三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作解三角形。

例2根據(jù)下列條件解三角形。

（1）a=1，A=30°，B=45°;

（2）a=1，b=2，B=45°。

結(jié)論利用正弦定理可以解決的問(wèn)題：（1）已知兩邊及其一條邊的對(duì)角，求其他元素;（2）已知兩角和一邊，求其他元素。

練習(xí)請(qǐng)?jiān)跈M線上添加適當(dāng)條件，并讓同桌解答。

根據(jù)下列條件，解三角形。

設(shè)計(jì)意圖：例1與情境2相呼應(yīng)，即學(xué)即用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例2一方面幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，另一方面讓學(xué)生及時(shí)總結(jié)，加深對(duì)正弦定理的認(rèn)識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

（五）回顧反思，理解數(shù)學(xué)

通過(guò)梳理重構(gòu)，幫助學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)（見(jiàn)上文圖1）;通過(guò)對(duì)化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的感悟，讓學(xué)生回歸本真、理解數(shù)學(xué);通過(guò)“你還能找到正弦定理的其他證明方法嗎？”的拓展反思，將課堂延伸至課外，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)和平臺(tái)。

（六）課外作業(yè)，鞏固數(shù)學(xué)

必做題教材第9頁(yè)練習(xí)1、2、3。

選做題在△ABC中，a=1，b=2，A=30°， 求B。

探究題嘗試?yán)枚喾N方法證明正弦定理。

三、教學(xué)反思

（一）活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在學(xué)習(xí)過(guò)程中積累的

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)主要目的是讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過(guò)程、思考的過(guò)程、抽象的過(guò)程、預(yù)測(cè)的過(guò)程、推理的過(guò)程及反思的過(guò)程等，獲取豐富的過(guò)程性知識(shí)，最終形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。對(duì)于本節(jié)課，正弦定理的結(jié)論固然重要，但發(fā)現(xiàn)并證明定理的過(guò)程更加重要。學(xué)生在參與正弦定理發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用的過(guò)程中所形成的感性知識(shí)、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等，即為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。強(qiáng)調(diào)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)即強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。

（二）問(wèn)題的提出與解決依托于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移

“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”是一個(gè)整體。問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、提出以后需要分析、解決，而在分析、解決的過(guò)程中又會(huì)不斷地發(fā)現(xiàn)、提出新的問(wèn)題。這種螺旋上升促進(jìn)了研究的不斷深入。作為教師，我們要在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生的“問(wèn)題意識(shí)”。而這種意識(shí)則離不開(kāi)已有經(jīng)驗(yàn)的遷移作用。在正弦定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，問(wèn)題的提出始終伴隨著經(jīng)驗(yàn)的遷移：在合適的情境中，遷移解直角三角形的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題;在得出猜想的基礎(chǔ)上，依托以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提出研究方案，并嘗試證明正弦定理。而在新問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)又不斷得以豐富、完善。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目“基于大數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究”（編號(hào)：Ba/2016/02/6）的階段性研究成果。

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