雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及發(fā)現(xiàn)

左向陽(yáng)

摘要：本文介紹了五種推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（移項(xiàng)平方法、直接平方法、分子有理化法、“余弦定理”法、“平方差”法），這些方法的由來(lái)是受教材思考題和例題的啟發(fā)，也為雙曲線方程的靈活運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：雙曲線 方程 推導(dǎo) 啟示 發(fā)現(xiàn)

近期看文[1]，[2]，是關(guān)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及其發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟，于是想到，筆者在上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)也可采用其它的方法來(lái)化簡(jiǎn)。在推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，大多數(shù)教師都會(huì)采用教材中的推導(dǎo)過(guò)程，有時(shí)教師提一下直接平方會(huì)更復(fù)雜一點(diǎn)，并順便否定其他的推導(dǎo)過(guò)程。事實(shí)果真如此嗎？本文筆者采用五種方法來(lái)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并試著沿教材編寫(xiě)者的意圖來(lái)分析這樣處理教材的原因。

二、啟示與發(fā)現(xiàn)

僅從運(yùn)算角度看，教材采用方法1的優(yōu)勢(shì)并不是很明顯，那么教材這樣處理的意義何在？

通過(guò)筆者的教學(xué)，有以下發(fā)現(xiàn)。

1、（教材選修2-1）第55頁(yè)探究：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們斜率之積是-4/9，求點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可以表示成x，y的式子，由于它們斜率之積是-4/9，因此可以建立x，y之間的關(guān)系式，得出M的軌跡方程。

3、方法4在數(shù)學(xué)史上采用得并不多，現(xiàn)在大多數(shù)人根本不熟悉，盡管在推導(dǎo)過(guò)程中還得到了焦半徑公式：⑧式。方法5巧妙的利用了平方，從而避免了出現(xiàn)根式，再利用作差，就很簡(jiǎn)單得出了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也會(huì)覺(jué)得自然，在課堂上可以介紹給學(xué)生。

不同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)式子具有不同的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，代表著不同的幾何意義，但它們表示同一圖形——雙曲線。采用方法1不僅讓學(xué)生得到了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，還理解了雙曲線的不同描述，教學(xué)生完整的了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的含義，對(duì)雙曲線各種表述留下較為深刻的印象，這樣也對(duì)雙曲線的領(lǐng)悟更深刻。反過(guò)來(lái)，這也使得單調(diào)、繁瑣的運(yùn)算過(guò)程變得生動(dòng)而有活力，為雙曲線方程的靈活運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。更重要的是讓學(xué)生明白，變的是形式，不變的是本質(zhì)這一科學(xué)道理。

參考文獻(xiàn)

[1]沈金興，數(shù)學(xué)文化視角下的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)[J]，數(shù)學(xué)通訊，2015.4下半月（教師）：1-3

[2]祝要輝，比較發(fā)現(xiàn)

領(lǐng)悟[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2014年第12期（上旬）：2021