羅萬(wàn)萍
摘要:橢圓離心率問(wèn)題是數(shù)學(xué)高考中的一個(gè)重要考點(diǎn),本文借助波利亞的“怎樣解題表”利用一道典型例題的五種不同解法,引導(dǎo)學(xué)生突破思維,學(xué)會(huì)解題,把機(jī)械的做題轉(zhuǎn)變到深刻理解概念的內(nèi)涵及外延,以及對(duì)解題進(jìn)行歸納、總結(jié)、拓展、感悟的軌道上來(lái),讓教師和學(xué)生找到真正的“應(yīng)試之道”。
關(guān)鍵詞:橢圓 離心率 怎樣解題 新高考
橢圓的離心率的值或者取值范圍是高考的高頻考點(diǎn),求離心率的本質(zhì)就是探究a,c之間的數(shù)量關(guān)系。橢圓的離心率體現(xiàn)橢圓的扁平程度,而扁平程度與橢圓的范圍有關(guān),橢圓離心率問(wèn)題是學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)它涉及的知識(shí)面廣,題目帶有一定的綜合性和靈活性。對(duì)學(xué)生思維能力要求較高。我們以一道經(jīng)典例題的一題多解,嘗試借助波利亞的“怎樣解題表”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思考,幫助學(xué)生突破思維障礙。
四、解題反思:
方法一本質(zhì)是將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,考慮了點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)的特殊情況找到范圍的一個(gè)極限值。有同學(xué)會(huì)假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P與橢圓上、下頂點(diǎn)重合時(shí)計(jì)算出一個(gè)離心率值等于√3/2,然后估計(jì)√3/2可能是離心率e取到一個(gè)最值,但是卻不知道為什么。
我們可以繼續(xù)深入研究,看看橢圓上任意一點(diǎn)P與焦點(diǎn)所成的角∠F1, PF2中,上頂點(diǎn)與焦點(diǎn)所成的角∠F1 BF2會(huì)不會(huì)有什么特殊性。大家可以猜想當(dāng)P為短軸與坐標(biāo)軸交點(diǎn)時(shí),∠F1 PF2最大。
證明:如圖所示,過(guò)上頂點(diǎn)B,F(xiàn)1,F(xiàn)2作圓O',圓心O'與坐標(biāo)原點(diǎn)O不一定重合,劣弧A1B和A2B上的點(diǎn)除B點(diǎn)在圓上其它都在圓外,根據(jù)同弦所對(duì)的圓周角大于圓外角,可得∠F1 BF2>∠F1 PF2。
由此,我們可以得到:橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線所構(gòu)成的∠F1 PF2中,當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)∠F1PF2最大。
方法二運(yùn)用了橢圓的定義,余弦定理及基本不等式
既然可以用余弦定理解三角形,我們也可以嘗試方法三用正弦定理解三角形,并結(jié)合初中合比定理以及橢圓定義求解,同時(shí)運(yùn)用了三角函數(shù)有界性。
方法四PF1和PF2是橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,所以聯(lián)想到用橢圓焦半徑公式來(lái)求解。
方法五用到了焦點(diǎn)三角形面積公式S△PF1F2=b2.tan a/2以及(S△PF1F2)max=bc
這道題還有其他的一些解法,每個(gè)解法都有很多知識(shí)點(diǎn)的融合和擴(kuò)展,教師應(yīng)該利用核心題型,深入剖析、總結(jié)歸納解題的規(guī)律和方法,力求給學(xué)生以啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生注重縱橫聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)共同的本質(zhì)特征,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移,培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛力。
從高考數(shù)學(xué)最新的命題特點(diǎn)來(lái)看,試題明顯從過(guò)去單純的強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單的觀察能力和特殊技巧,轉(zhuǎn)變?yōu)樯羁痰匕盐諗?shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)及通性通法。因此,對(duì)于廣大教師和學(xué)生來(lái)講,適應(yīng)高考復(fù)習(xí)新常態(tài),必須由原來(lái)的題海戰(zhàn)術(shù)為指導(dǎo)原則轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛐室謹(jǐn)?shù),把機(jī)械的做題轉(zhuǎn)變到深刻理解概念的內(nèi)涵及外延,以及對(duì)解題進(jìn)行歸納、總結(jié)、拓展、感悟的軌道上來(lái),讓教師和學(xué)生找到真正的“應(yīng)試之道”。
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