一道橢圓離心率問題的解題研究

羅萬萍

摘要：橢圓離心率問題是數(shù)學(xué)高考中的一個重要考點(diǎn)，本文借助波利亞的“怎樣解題表”利用一道典型例題的五種不同解法，引導(dǎo)學(xué)生突破思維，學(xué)會解題，把機(jī)械的做題轉(zhuǎn)變到深刻理解概念的內(nèi)涵及外延，以及對解題進(jìn)行歸納、總結(jié)、拓展、感悟的軌道上來，讓教師和學(xué)生找到真正的“應(yīng)試之道”。

關(guān)鍵詞：橢圓 離心率 怎樣解題 新高考

橢圓的離心率的值或者取值范圍是高考的高頻考點(diǎn)，求離心率的本質(zhì)就是探究a，c之間的數(shù)量關(guān)系。橢圓的離心率體現(xiàn)橢圓的扁平程度，而扁平程度與橢圓的范圍有關(guān)，橢圓離心率問題是學(xué)習(xí)的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)它涉及的知識面廣，題目帶有一定的綜合性和靈活性。對學(xué)生思維能力要求較高。我們以一道經(jīng)典例題的一題多解，嘗試借助波利亞的“怎樣解題表”來引導(dǎo)學(xué)生展開思考，幫助學(xué)生突破思維障礙。

四、解題反思：

方法一本質(zhì)是將存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題，考慮了點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)的特殊情況找到范圍的一個極限值。有同學(xué)會假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P與橢圓上、下頂點(diǎn)重合時計算出一個離心率值等于√3/2，然后估計√3/2可能是離心率e取到一個最值，但是卻不知道為什么。

我們可以繼續(xù)深入研究，看看橢圓上任意一點(diǎn)P與焦點(diǎn)所成的角∠F1， PF2中，上頂點(diǎn)與焦點(diǎn)所成的角∠F1 BF2會不會有什么特殊性。大家可以猜想當(dāng)P為短軸與坐標(biāo)軸交點(diǎn)時，∠F1 PF2最大。

證明：如圖所示，過上頂點(diǎn)B，F(xiàn)1，F(xiàn)2作圓O'，圓心O'與坐標(biāo)原點(diǎn)O不一定重合，劣弧A1B和A2B上的點(diǎn)除B點(diǎn)在圓上其它都在圓外，根據(jù)同弦所對的圓周角大于圓外角，可得∠F1 BF2>∠F1 PF2。

由此，我們可以得到：橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線所構(gòu)成的∠F1 PF2中，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時∠F1PF2最大。

方法二運(yùn)用了橢圓的定義，余弦定理及基本不等式

既然可以用余弦定理解三角形，我們也可以嘗試方法三用正弦定理解三角形，并結(jié)合初中合比定理以及橢圓定義求解，同時運(yùn)用了三角函數(shù)有界性。

方法四PF1和PF2是橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以聯(lián)想到用橢圓焦半徑公式來求解。

方法五用到了焦點(diǎn)三角形面積公式S△PF1F2=b2.tan a/2以及（S△PF1F2）max=bc

這道題還有其他的一些解法，每個解法都有很多知識點(diǎn)的融合和擴(kuò)展，教師應(yīng)該利用核心題型，深入剖析、總結(jié)歸納解題的規(guī)律和方法，力求給學(xué)生以啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生注重縱橫聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)共同的本質(zhì)特征，實(shí)現(xiàn)知識的遷移，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛力。

從高考數(shù)學(xué)最新的命題特點(diǎn)來看，試題明顯從過去單純的強(qiáng)調(diào)簡單的觀察能力和特殊技巧，轉(zhuǎn)變?yōu)樯羁痰匕盐諗?shù)學(xué)問題的本質(zhì)及通性通法。因此，對于廣大教師和學(xué)生來講，適應(yīng)高考復(fù)習(xí)新常態(tài)，必須由原來的題海戰(zhàn)術(shù)為指導(dǎo)原則轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛐室謹(jǐn)?shù)，把機(jī)械的做題轉(zhuǎn)變到深刻理解概念的內(nèi)涵及外延，以及對解題進(jìn)行歸納、總結(jié)、拓展、感悟的軌道上來，讓教師和學(xué)生找到真正的“應(yīng)試之道”。

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