轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的運用策略

【摘 要】轉(zhuǎn)化是一種重要的解題思想，是一種有效的思維方式和最基本的思維策略。轉(zhuǎn)化思想就是指在研究和解決問題時，采用某種方法和手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，讓問題最終得以解決的一種思想方法。轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)，就是實現(xiàn)由難到易、由繁到簡、化抽象為具體、從未知到已知等。本文探討了在數(shù)學(xué)解題過程中常用的幾種轉(zhuǎn)化策略。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)解題;運用策略

【中圖分類號】G712? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0024-03

數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中說過，數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換[1]。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡啞在闡述解題意味著什么時說：“解題——就是意味著把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題?！睆倪@個意義上說，解題就是轉(zhuǎn)化，解題的過程就是運用相應(yīng)的方法和技巧把待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決問題的過程。由此可見，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。

1? ?結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化

有很多數(shù)學(xué)問題，在對題目的數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行認(rèn)真分析和研究后發(fā)現(xiàn)，可運用相應(yīng)的數(shù)式變換方法，把所求問題的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為已知或熟知的結(jié)構(gòu)，以達(dá)到化未知為已知，化陌生為熟悉。這一轉(zhuǎn)化策略在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用

廣泛。

例1.求函數(shù)的最值。

分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，可利用公式對題目中函數(shù)的解析式進(jìn)行結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)的最值

問題。

解：函數(shù)，可化為。因為，所以當(dāng)時，有;當(dāng)時，有。

例2.在代數(shù)式的展開式中，常數(shù)項為____。

解析：分析后發(fā)現(xiàn)，可將題目中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為

，前面一部分的展開式中不含常數(shù)項，后一部分的展開式中的常數(shù)項為-5，所以答案為-5。

2? ?數(shù)形轉(zhuǎn)化

在解決問題時，根據(jù)題目中的數(shù)式特征，把相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。

例3.已知，求函數(shù)的值域。

分析：由函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點很容易聯(lián)想到直線的斜率公式。因此，原問題可轉(zhuǎn)化為求直線斜率的取值范圍。

解：可看作是點與單位圓上的點連線的斜率，如圖1，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程消去得，令，解得，結(jié)合圖形得直線斜率的取值范圍是，即所求函數(shù)的值域為。

3? ?正反轉(zhuǎn)化

當(dāng)正面解決問題遇到困難或解決方案相對繁瑣時，可試著考慮問題的反面，以探求解決方案，這就是“正難則反”的轉(zhuǎn)化策略。若題目中出現(xiàn)“至多”“至少”等存在量詞，通常可考慮采用這一轉(zhuǎn)化策略。

例4.已知非空集合中至少有一個元素小于零，求實數(shù)的取值范圍。

分析：集合中的元素即為關(guān)于方程的實數(shù)根。因此，題意為方程有實數(shù)根且至少有一個負(fù)的實數(shù)根。若是從正面入手，則要對所有可能情況進(jìn)行分類討論，較為繁瑣.而若考慮其反面（即沒有負(fù)根），則要簡單得多。

解：由解得或

，這是集合非空（即方程有實數(shù)解）情況下實數(shù)的取值范圍。

當(dāng)方程有兩個非負(fù)實根時，有

解得，

所以非空集合中至少有一個元素小于零時實數(shù)

的取值范圍是。

例5.從5名男生、3名女生中選派4人參加某項社會實踐活動，若要求至少有1名女生，則不同的選派方案種數(shù)為（? ?）。

A.28? ? ?B.65? ? ?C.56? ? ?D.60

解析：由總的選派方案種數(shù)，減去女生都不參加（只有男生參加）的選派方案種數(shù)得，選B。

4? ?動與靜轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)中的動態(tài)問題反映的是運動變化中的數(shù)量和位置關(guān)系，是解決問題的一個難點，學(xué)生常常感到無從下手。面對此類問題，首先應(yīng)明確動與靜是相對的，可以相互轉(zhuǎn)化。接下來關(guān)鍵是抓住圖形運動的規(guī)律，或者是動點的運動軌跡，也就是找到運動中的不變性，以靜制動，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決[2]。

例6.在坐標(biāo)平面上有一運動著的梯形ABCD，AD∥BC，∠C=45°，∠A=90°，AB=AD=，梯形在OA+OB=4的條件下運動，求原點O到直線CD的最短距離。

分析：題設(shè)中的條件概括起來有兩個：一個是運動的梯形ABCD，另一個是其運動的條件OA+OB=4。該梯形的結(jié)構(gòu)已經(jīng)清楚，解題的關(guān)鍵是緊扣第二個條件。數(shù)學(xué)公式OA+OB=4的含義讓我們想到橢圓的定義，但問題是，這里A，B是動點，O是定點。怎么辦？其實只需認(rèn)識到“動”和“靜”是相對的，可以相互轉(zhuǎn)化，問題便可以迎刃而解。

解：這里視梯形靜止而原點O是運動的，則由OA+OB=4，AB=可知，動點O的軌跡是以A，B為焦點的橢圓。如圖2，建立以AB中點O′為“原點”，AB中垂線為軸的新坐標(biāo)系，則CD的直線方程為

。動點O的軌跡方程是，設(shè)O在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，則O到直線CD的距離為≥，當(dāng)且僅當(dāng)時，原點O到直線CD的距離最短，為。

5? ?整體與部分的轉(zhuǎn)化

5.1? 整體化為部分

整體由部分組成。在解決問題時，如果研究對象包含多種情形，則需要把研究對象化整為零，通過各個擊破，來實現(xiàn)整體問題的解決。

例7.解關(guān)于的不等式≥。

分析：這是一個含參數(shù)的無理不等式，因此要考慮參數(shù)取值的不同情形下不等式解的情況。

解：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖像，即一個半圓≥和一條直線（如圖3），為直線在軸上的截距，直線和半圓相切時，算得，根據(jù)直線與半圓的交點情況，結(jié)合的范圍，得：

（1）當(dāng)≤時，有≤≤3;

（2）當(dāng)≤3時，解方程得直線與半圓交點的橫坐標(biāo)，從而得不等式的解為≤≤3;

（3）當(dāng)≤時，≤≤;

（4）當(dāng)時，不等式無解。

5.2? 部分化為整體

當(dāng)孤立地考慮一個數(shù)學(xué)問題而難以解決時，不妨對研究對象展開關(guān)系聯(lián)想，嘗試將研究對象視作某一更為熟悉的“整體”的部分，從整體上把握與處理問題，往往能化陌生為熟悉，化難為易。

圖4

例8.若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為2，求其外接球的表面積。

分析：本題的關(guān)鍵是怎樣得到三棱錐的外接球，進(jìn)而求得外接球的半徑長。單獨考慮三棱錐的外接球是很難想象出的，而若根據(jù)題中三棱錐的特征，將該三棱錐放在一個相應(yīng)的正方體中來考慮，則可將三棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為熟悉的正方體外接球問題。

解：把滿足題設(shè)條件的三棱錐“補”成如圖4所示的正方體，則三棱錐的外接球即為圖中正方體的外接球。求得正方體外接球的半徑為，故所求三棱錐外接球的表面積為。

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中一種重要且有效的思維方式和思維策略。鑒于其在數(shù)學(xué)解題中的重要作用，教師在解題教學(xué)過程中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運用轉(zhuǎn)化思想解決問題，掌握常用的轉(zhuǎn)化策略，提高解題能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].科學(xué)出版社，1982.

[2]朱其超.借助數(shù)形結(jié)合簡化和避免分類討論問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（10）.

【作者簡介】

朱其超（1973～），男，安徽宿州人，講師，學(xué)歷：碩士，研究方向：數(shù)學(xué)課程論、數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論。