一類特殊數列通項模型的探究與應用

摘 要：函數可以作為了解事物變化規(guī)律的數學模型，而數列作為離散函數模型，《普通高中數學課程標準》指出，一方面，要培養(yǎng)學生從實際問題抽象出數列模型的能力，另一方面，特別指出“要體現數列是一種特殊的函數，通過列表、圖像、通項公式表示數列，將數列融入函數中去”.學習數列可以培養(yǎng)學生的數學建模能力，另外其獨特的遞推關系又可以培養(yǎng)學生的數學抽象、直觀想象與邏輯推理能力.人民教育出版社A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）對等差數列、等比數列通項模型做了很好的研究.教材中還有一些更復雜的遞推數列，如二階線性遞推數列，其通項也有模型.下面文章先給出二階線性遞推數列的定義，然后由淺入深地探究二階線性遞推數列的通項模型，并進一步探究該模型的應用，最后指出二階線性遞推數列通項模型是一個通用模型，運用該模型可以將等差數列、等比數列前n項和，等差乘等比數列（以下簡稱等比差數列）前n項和，“an=pan-1+q”型數列、斐波那契數列通項一一表示出來.

關鍵詞：遞推數列;通項模型;應用

五、二階線性遞推數列通項模型探究的教學建議與思考

1.教學建議

數列通項問題是近年高考中的基本問題，具有較高的選拔與甄別功能，要求學生具有較強的運算求解能力和觀察分析、抽象與概括、歸納與演繹等數學能力.通過前面討論，等差數列、“an=pan-1+q（p，q≠0，n≥2）”型數列、斐波那契數列、等比差數列都是二階線性遞推數列;等比差數列前n項和是三階線性遞推數列.學生掌握該模型后，教師要引領學生用該模型對上述數列進行深入探究，要立足教材，探尋活水源頭，充分挖掘教材中的素材.

另外，教師不能脫離學生的內心感受，讓學生在追求知識的過程中獲得豐富的情感體驗.因此，在教學中，要創(chuàng)設一些教學情境，以教材中的斐波那契數列為例，先激發(fā)學生對二階線性遞推數列通項的學習興趣，進而再創(chuàng)設一些由易到難的問題串，通過這些問題引導學生主動去發(fā)現、去探究一個具體的二階線性遞推數列通項的求法，最后將其推廣到一般的二階線性遞推數列中去.在這個過程中，學生的地位得到了充分的發(fā)揮，極大提高了學習遞推數列的興趣，也提高了他們知識遷移能力和分析探究能力.

2.教學思考

教學中，教師不要把“二階線性遞推數列通項模型”作為一個解題武器直接拋給學生，而是通過一系列有梯度的問題串，由特殊到一般來引導學生探究該類數列通項的求法.這就使得雖然二階線性遞推數列模型比較巧妙和獨特，但是這一方法并不是直接從天上掉下來的，而是通過合情推理和歸納得到的.

教師在教學中不僅要總結方法，更要總結通法.教師教會學生一些簡單的數學問題以后，為解決更加復雜的問題，需要把一些問題高度抽象，建立一個通用的數學模型，使問題變得更加簡單.而二階線性遞推數列通項模型就是一個通用模型，它是上述數列通項模型的紐帶，它能夠將等差數列、等比數列、等比差數列的通項表示出來，這也是探究二階線性遞推數列通項模型的重要原因之一.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]高成龍.等比差數列前n項和的探究與應用[J].中國數學教育，2018（10）：55-58.

[3]晁豐成.由斐波那契數列的通項公式說起[J].中國數學教育，2018（12）：46-48.

[4]高成龍.線性遞推數列通項的探究[D].首都師范大學，2015.