淺析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用

王永濤

摘 要：導(dǎo)數(shù)內(nèi)容不僅是高中數(shù)學(xué)的重點，其知識點也較為抽象。因此，教師需系統(tǒng)地探索導(dǎo)數(shù)方面的內(nèi)容，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的基本定義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最大值或極值進行綜合性講述，從而提升學(xué)生對函數(shù)題型的解題效率。基于上述內(nèi)容，本文重點講述了導(dǎo)數(shù)在高中函數(shù)中的運用方法，結(jié)合具體例題，提出對應(yīng)的教學(xué)建議，以此為鑒。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);函數(shù);極值;單調(diào)性

引言：導(dǎo)數(shù)是高等函數(shù)內(nèi)容中的一個基本概念，它能夠有效解決函數(shù)內(nèi)容、不等式內(nèi)容以及數(shù)列方面的內(nèi)容。從宏觀的角度來說，導(dǎo)數(shù)為函數(shù)方面的內(nèi)容提供了新型的解題思路，這對于提高學(xué)生的個人能力和個人素養(yǎng)有積極的作用。同時，教師需幫助學(xué)生構(gòu)建宏觀的思路模型，讓學(xué)生全面認(rèn)知導(dǎo)數(shù)的價值，從而更科學(xué)地將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于實際操作當(dāng)中。

一、基于函數(shù)的單調(diào)性的運用方法

在高中函數(shù)單調(diào)性的求解過程中，可使用圖像法、公式法、導(dǎo)數(shù)法進行求解。而導(dǎo)數(shù)法能夠高效的求解出這方面的問題。這方面題型需要注意以下幾點[1]：首先，需注明f（x）和f'（x）兩者之間的關(guān)系，即f'（x）>0時，f（x）在指定區(qū)間（a，b）單調(diào)遞增;f'（x）<0時，f（x）在指定區(qū)間（a，b）單調(diào)遞減;f'（x）=0時，f（x）在指定區(qū)間（a，b）為常數(shù)函數(shù)?；诖耍處熜杞Y(jié)合人教版《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》的教學(xué)中，首先教師需講述導(dǎo)數(shù)的基本定義，分析導(dǎo)數(shù)的運算法則，幫助學(xué)生快速的掌握導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容。同時，教師需引出以下例題，讓學(xué)生進行系統(tǒng)的分析：

例1：已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：利用一次求導(dǎo)法則判斷函數(shù)圖像與條件或定義的關(guān)系，結(jié)合均值不等式定義a+b≥，從而判斷m的取值。

解析：由可得：，該函數(shù)是一個開口向上的函數(shù)。因為函數(shù)在在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[1，2]恒成立。化簡得：，即在區(qū)間[1，2]恒成立。有均值不等式定義可得：，且當(dāng)x=2式取等號，所以m≤4。

例2：已知函數(shù)（a，b∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，求實數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

分析：該題涉及切線的定義，聯(lián)合導(dǎo)數(shù)的理論可簡化這方面題型的復(fù)雜程度，再利用導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，方可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解析：由已知得：f（x）的定義域為（0，+∞），所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。因為f（x）的圖像在點（1，f（1））的切線方程為y=x-1。所以，解之得：a=1、b=0。

所以原函數(shù)為，故。

令f’（x）=0可得x=e。

所以當(dāng)x在區(qū)間（0，e）時，f'（x）>0，故f（x）在區(qū)間（0，e）內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x>e時，存在f'（x）<0，故f（x）在區(qū)間（e，+∞）單調(diào)遞減。綜上，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）;單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）。

通過上述的例題，需引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)中的代數(shù)方法判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系，運用因式分解法則、配方法對各類函數(shù)問題進行分類討論，從而實現(xiàn)這方面問題的優(yōu)化解決。此外，教師還應(yīng)拓展初等函數(shù)中常見的例題模型，要求學(xué)生對其進行系統(tǒng)的記錄，以提高學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知。

二、基于函數(shù)極（最）值的應(yīng)用方法

在高階函數(shù)中的最大值、最小值或極值的求解中，使用傳統(tǒng)的方法（解方程組或利用二次函數(shù)的單調(diào)性）求解可能會面臨諸多的問題。因此，可將導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容與函數(shù)最值的求解相結(jié)合，進而提高函數(shù)的解題效率。在此過程中，需依據(jù)以下步驟進行優(yōu)化：①需對指定函數(shù)進行求導(dǎo)。②令f'（x）=0，并求解方程的根。③結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義判斷f'（x）在方程左右兩邊的符號。④利用已知或已求解的結(jié)論，寫出函數(shù)對應(yīng)的極值或最值[4]。需要注意的是，所求得到的“極值點”在原函數(shù)f（x）是無意義的（假設(shè)極值點附近兩側(cè)導(dǎo)數(shù)數(shù)值同號，函數(shù)無極值）。因此，需將這個點理解成方程的根。由此，教師需結(jié)合實際函數(shù)的情況進行系統(tǒng)的分析，例如在人教版《導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用》的講述中，首先教師需講述導(dǎo)數(shù)極值的基本含義，結(jié)合對應(yīng)理論講述導(dǎo)數(shù)的基本含義。

三、結(jié)束語

綜上所述，將導(dǎo)數(shù)的理論與函數(shù)相互結(jié)合，可以優(yōu)化函數(shù)取值范圍和函數(shù)最值方面的問題，從而提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。同時，教師還應(yīng)借助導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用方法進行綜合性的拓展，讓學(xué)生系統(tǒng)地了解導(dǎo)數(shù)的運算法則，這對于提高解題的效率有積極的意義。

參考文獻

[1]李丁，李永亮.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2018（4）：124-124.

[2]高慧明.高考數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”備考指導(dǎo)[J].高校招生：高考指南，2018.