圓錐曲線中的垂直問題

摘 要：圓錐曲線的綜合問題以圓錐曲線知識為載體，綜合函數(shù)、三角、數(shù)列、向量、不等式等知識，綜合性強。要求考生具備較強的運算能力、分析問題和解決問題的能力。也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;垂直;最值

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們時常會看到這樣一個現(xiàn)象：相同的老師，相同的課堂，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)會在測試成績上出現(xiàn)不小的差距。有些同學(xué)上課記得勤、課后練得勤，但成績與一些“聰明”的同學(xué)比總是稍遜一籌，而他們總結(jié)出的原因多半是“同學(xué)比較聰明”。事實上原因是多方面的，其中較為突出的是學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。哪些被動的吸取、模仿、記憶和反復(fù)練習(xí)的同學(xué)總是學(xué)的比較累，進步比較慢。

構(gòu)建主義理論認為學(xué)生的學(xué)習(xí)不是被動接受，而是主動建構(gòu)，因此，在教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，自主探究，養(yǎng)成勤于思考的好習(xí)慣。英國近代著名的教育家主張“正確的思考，比多知道一些更有價值。”如何在教學(xué)過程中促進學(xué)生思考，進而養(yǎng)成思考的好習(xí)慣呢？下面我們以圓錐曲線的綜合題解題教學(xué)為例進行探究。

教材中“圓錐曲線”一章的內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中的地位異常重要，圓錐曲線的綜合問題是各地高考、模擬考的一大熱點，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一大難點。成為難點原因有三：其一、思維量大，解題過程中蘊含的數(shù)學(xué)思想豐富;其二、計算量大，大到懷疑自己的解錯了;其三、綜合性高，圓錐曲線常與向量、三角、函數(shù)、不等式的內(nèi)容相結(jié)合。也正是這些特點使得解析幾何成為提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體。

一、課堂實錄（片段）

例1，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過F1的直線交橢圓于B，D兩點，過F2的直線交橢圓于A，C兩點，且AC⊥BD，垂足為P.

（Ⅰ）設(shè)P點的坐標(biāo)為（x0，y0），證明：

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值.

師：第1小問證明的不等式轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論是什么？

生1：點P不滿足橢圓方程，所以點P不在橢圓上。

生2;點P在橢圓內(nèi)

師;怎么證明？

生3：P在弦BD上，所以P在橢圓內(nèi)。

生4：不對，垂足P不一定在線段BD內(nèi)。

師：條件AC⊥BD怎么用？

生5：由AC⊥BD知點P在以線段F1F2為直徑的圓上，故，

所以，.

師：很好，垂直轉(zhuǎn)化思路1——圓。

師：第2小問求面積怎么表示？

生1：把四邊形拆成兩個三角形，求面積之和=

師：，怎么求？

生2：用弦長公式，設(shè)BD的方程為，代入橢圓方程，并化簡.

設(shè)，，則，

同理，設(shè)AC方程為，得。

師：兩個變量求最值怎么辦？

生3：化成單變量，因為AC⊥BD，所以km=-1，即

.四邊形ABCD的面積

當(dāng)k2=1時，上式取等號.

師：很好，垂直轉(zhuǎn)化思路2---斜率之積為-1。

師：對上述同學(xué)解題過程有沒有疑議？

生4，當(dāng)AC或BD斜率不存在沒考慮，此時四邊形ABCD的面積S=4.四邊形ABCD的面積的最小值為.

二、課后反思

（1）設(shè)問有層次;

問題貫穿課堂始終，因此選取合適的例題，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}至關(guān)重要。使不同層次的學(xué)生思維不同，經(jīng)驗不同，理解力不同，為使不同層次的學(xué)生都積極思考，設(shè)置的問題得有層次。學(xué)生在思考問題時可以從不同方向、不同角度、不同途徑入手，達成不同思路取長補短。

問題設(shè)置遵循由淺入深，循序漸進的原則，它可以使學(xué)生在問題解答過程中不斷獲得成功，樹立自信心，進而培養(yǎng)敢于思考，勇于解決困難的良好品質(zhì)

（2）教師點撥有梯度;

對一般的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗比較缺乏，面對具有一定難度的問題往往一籌莫展，需要教師適時的點撥。根據(jù)學(xué)生解題過程中遇到的不同障礙，給出相應(yīng)的知識點提示，切不可一點不通全盤托出，也不能高估學(xué)生的能力讓學(xué)生自行討論解決。對不同的點，不同的同學(xué)給予不同的提示，使他們在解題上更近一步。

結(jié)語：亞里士多德有句名言：“思維是從疑問和驚奇開始的。常有疑點，常有問題，才能常有思考，常有創(chuàng)新?！睌?shù)學(xué)解題教學(xué)要從學(xué)生解題障礙出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生不斷分析問題，從而解決問題。培養(yǎng)學(xué)生善于思考的好習(xí)慣，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維。這些遠比僅僅獲得知識更為終身受益。

作者簡介：金素英（1979-），女，漢族，籍貫浙江義烏，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)