淺談三次函數(shù)的性質(zhì)及簡單應(yīng)用

古芳

摘 要：三次函數(shù)與二次函數(shù)有著非常緊密的聯(lián)系，在高考中同樣占據(jù)著非常重要的位置，在近幾年的高考中三次函數(shù)問題屢次出現(xiàn)，必須引起我們的重視.熟悉三次函數(shù)的模型，掌握其圖象及性質(zhì)，對于解決三次函數(shù)的極值最值問題、對稱性問題和切線問題等都有著非常重要的作用

關(guān)鍵詞：三次函數(shù);圖象與性質(zhì);單調(diào)性;對稱性

三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，是教學(xué)過程中的一個重點和難點，也是高考考查的一個熱點，應(yīng)該引起我們的重視。現(xiàn)將自己在三次函數(shù)教學(xué)過程中的一些做法作簡單的歸納，與大家共勉。

一、定義

形如的函數(shù)，稱為三次函數(shù)（從解析式的結(jié)構(gòu)上命名）。三次函數(shù)是一個特殊函數(shù)，平時我們接觸它是在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，由于其導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，所以三次函數(shù)是高考的一個熱點和亮點。

二、三次函數(shù)單調(diào)性、圖象變化規(guī)律、極值最值以及對稱性。

1.單調(diào)性、圖象變化規(guī)律

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為。我們不妨把方程稱為原函數(shù)的導(dǎo)方程，其判別式。若，設(shè)其兩根為，，若a>0，當(dāng)時，y=f（x）是增函數(shù);當(dāng)時，其單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;若a<0，當(dāng)時，y=f（x）是減函數(shù);當(dāng)時，其單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是。

根據(jù)a和△的不同情況，其圖象特征分別為（如圖1）：

2.最值與極值

函數(shù)若且，則：;。

函數(shù)，當(dāng)時，不存在極大值和極小值;當(dāng)時，有極大值、極小值。

3.對稱性

函數(shù)是中心對稱圖形，其對稱中心是。

證明：設(shè)的圖象關(guān)于點對稱，任取圖象上點，則A關(guān)于的對稱點也在y=f（x）圖象上，

下面選一些平時出現(xiàn)的試題，讓我們來體會一下如何應(yīng)用這些性質(zhì)快速、準(zhǔn)確地解答問題。

三、簡單應(yīng)用

1.三次函數(shù)的切線問題

例1.已知函數(shù)f（x）=x3-3x.

（1）求曲線y=f（x）在點M（2，2）處的切線方程;

（2）若過點A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.

解（1）f′（x）=3x2-3，f′（2）=9，所以y=f（x）在點M（2，2）處的切線方程是y=9x-16;

（2）設(shè)切點為（t，t3-3t），切線方程為y-t3+3t=（3t2-3）（x-t），將A（2，m）代入切線方程得2t3-6t2+6+m=0，令g（t）=2t3-6t2+6+m，g′（t）=6t2-12t=0t1=0，t2=2，題設(shè)中有三條切線等價于g（t）=0有三個不同實根，故-6<m<2.

四、相關(guān)訓(xùn)練題：

變式1 若x3-x2+ax-a=0只有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍

（答案[0，+∞））

縱觀以上事例，只要我們掌握了函數(shù)的性質(zhì)和圖象，在平時解題中都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要。盡管如此，我們還要進(jìn)一步加強(qiáng)對三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、對稱性、圖象變化規(guī)律、切線方程等性質(zhì)的研究，這也有助于提高對知識系統(tǒng)性的理解水平，拓寬解題思路。

參考文獻(xiàn)

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