數(shù)學(xué)“慢化教學(xué)”的策略研究

摘要：教學(xué)過程中可能布滿了溝溝坎坎，因此，它應(yīng)該是潤(rùn)澤的、蹣跚的。這透射出的就是悠然之“慢”?！奥虒W(xué)”是關(guān)注知識(shí)深度理解、關(guān)注學(xué)生發(fā)展性的教學(xué)，追求的是“慢之有道，學(xué)之有效”。在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，慢化的策略有：激發(fā)認(rèn)知需要，慢于自然;降低認(rèn)知起點(diǎn)，慢中求真;拉長(zhǎng)認(rèn)知過程，慢中求實(shí);拓寬認(rèn)知渠道，慢中求透;挑起認(rèn)知交鋒，慢中求活。在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，慢化的策略有：一題作基演變，慢中明道;開放問題思路，慢中優(yōu)術(shù)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)慢化教學(xué)知識(shí)教學(xué)習(xí)題教學(xué)

杜威說過：“教學(xué)絕不僅僅是簡(jiǎn)單的告訴，而應(yīng)該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟?！苯虒W(xué)過程中可能布滿了溝溝坎坎，因此，它應(yīng)該是潤(rùn)澤的、蹣跚的。這透射出的就是悠然之“慢”。

筆者提出的全息觀下的教學(xué)，有一種快慢相諧的基調(diào)。其中，“快”主要指整體統(tǒng)攝下的整體建構(gòu)。但是，“快”必須有“慢”來助陣?！奥笔且环N外在狀態(tài)，它不是為慢而慢，更不是消極怠工，而是為了生成“快”的效果而采取“緩存”策略，是為了快步推進(jìn)而蓄能蓄勢(shì)，是基于學(xué)生學(xué)會(huì)、提升學(xué)力的“慢”。

布魯納說過：“學(xué)習(xí)不但應(yīng)該把我們帶往某處，而且應(yīng)該讓我們?nèi)蘸笤诶^續(xù)前進(jìn)時(shí)更為容易?！薄奥虒W(xué)”就是基于此的教學(xué)，就是關(guān)注知識(shí)深度理解、關(guān)注學(xué)生發(fā)展性的教學(xué)，追求的是“慢之有道，學(xué)之有效”。筆者通過研究，在“慢節(jié)奏、慢引領(lǐng)、慢呈現(xiàn)、慢操作、慢思維、慢生成”的基礎(chǔ)上，初步形成了“慢化教學(xué)”的一些策略。

一、知識(shí)教學(xué)

在知識(shí)教學(xué)中，理解是應(yīng)用的基礎(chǔ)，沒有深入的理解，就不能靈活地應(yīng)用。因此，知識(shí)的教學(xué)尤其要放慢節(jié)奏，促進(jìn)理解，不能蜻蜓點(diǎn)水地滑過。

（一）激發(fā)認(rèn)知需要，慢于自然

概念是命題的基礎(chǔ)，理解命題首先要理解好概念。在概念教學(xué)中，放緩認(rèn)知節(jié)奏首先要讓概念的出現(xiàn)源于需要，揭示概念引入的必要性。這樣，才真正有利于明晰概念的來龍去脈、前世今生，把握概念的內(nèi)涵、外延，建構(gòu)概念的結(jié)構(gòu)體系，達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的深度理解。

例如，方差概念的教學(xué)，可以讓學(xué)生通過案例計(jì)算，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這“三個(gè)代表”都不足以解決問題，由此使方差的出現(xiàn)成為學(xué)習(xí)的需要，合情入理。具體如下：

問題1供選項(xiàng)：A.平均數(shù);B.中位數(shù);C.眾數(shù)。

（1）為了反映初二學(xué)生的平均年齡，應(yīng)關(guān)注學(xué)生年齡的。

（2）表1是某公司的月工資報(bào)表。

為了了解這家公司人員工資的一般水平，應(yīng)關(guān)注。

（3）為了考察某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中數(shù)學(xué)成績(jī)是上游還是下游水平，應(yīng)關(guān)注這次數(shù)學(xué)成績(jī)的。

教學(xué)說明：以上是數(shù)據(jù)的“三個(gè)代表”，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。

問題2小明和小亮是校射箭隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員，兩人參加射箭測(cè)試，近期的6次成績(jī)?nèi)绫?所示（單位：環(huán)）。

（1）根據(jù)表2填寫表3。

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能選出參賽的隊(duì)員嗎？為什么？若不能，怎么辦？

教學(xué)說明：通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)4組數(shù)據(jù)均相等，此時(shí)遭遇困境，怎么辦？波折起伏，激蕩起學(xué)生的探索欲望，接下來的新知學(xué)習(xí)就會(huì)成為學(xué)生的內(nèi)需，其必要性、合理性得以彰顯，新概念的現(xiàn)身就順勢(shì)而為了。

（二）降低認(rèn)知起點(diǎn)，慢中求真

“低起高落”是數(shù)學(xué)的應(yīng)有之態(tài)。低下去的目的是高起來。放低教學(xué)入口，降低認(rèn)知起點(diǎn)，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增進(jìn)學(xué)生的參與熱情，能讓學(xué)生循階而上，步步登高，厚積而薄發(fā)。

例如，配方法是數(shù)學(xué)中的重要方法。對(duì)于解一元二次方程而言，其重要性更是不可小覷，因?yàn)樗锹?lián)結(jié)直接開平方法與求根公式法的紐帶?；诖?，在配方法的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)遞進(jìn)問題，引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，緩?fù)坡?，品悟真味，求得真果?/p>

問題1解方程x2=4。

問題2解方程x2+4x=0。

問題3解方程3x2+12x=0。

問題4解方程3x2+12x-4=0。

問題5解方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）。

從最簡(jiǎn)單的直接開平方的方程“低起”，到最一般的字母系數(shù)方程“高落”，其間可以體驗(yàn)配方法的形成過程，并獲得求根公式的“副產(chǎn)品”，一舉兩得。

（三）拉長(zhǎng)認(rèn)知過程，慢中求實(shí)

一些重點(diǎn)知識(shí)需要實(shí)實(shí)在在地沉淀于學(xué)生頭腦中，否則，容易淡忘，難以成為后續(xù)學(xué)習(xí)的“基地”，難以產(chǎn)生正遷移。對(duì)這樣的重點(diǎn)知識(shí)，一開始學(xué)習(xí)時(shí)，就需要通過增設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，拉長(zhǎng)認(rèn)知過程，在慢節(jié)奏中，將其做實(shí)。

例如，直線是幾何學(xué)中的原始概念，是不定義的、超經(jīng)驗(yàn)的，可謂幾何教學(xué)的“第一粒紐扣”。由于直線概念看起來很簡(jiǎn)單，而且學(xué)生已有了一定的認(rèn)知，很多教師往往高估了學(xué)生的原有認(rèn)知，淡化直線概念的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知模糊、理解不到位。對(duì)此，筆者精心設(shè)計(jì)了直線概念的教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：說印象——突出直、線性、兩端延伸的外形。

環(huán)節(jié)2：找實(shí)例——從生活中尋找實(shí)例，與現(xiàn)實(shí)生活對(duì)接，具象化直線。

環(huán)節(jié)3：畫——一點(diǎn)畫、兩點(diǎn)畫，感知存在性。

環(huán)節(jié)4：說感悟——立足“畫”找感覺，賦予直線生命的靈性。

環(huán)節(jié)5：說應(yīng)用——栽樹、釘木條等，體會(huì)、感知“兩點(diǎn)確定一條直線”。

環(huán)節(jié)6：表示直線——兩種方法，立足現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，用兩點(diǎn)（兩點(diǎn)表示法自然生成兩個(gè)大寫字母），用小寫字母。

環(huán)節(jié)7：意境化——用陳子昂的“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下”，以時(shí)間的無始無終刻畫直線，讓直線這一圖形充滿詩(shī)情畫意。

通過增設(shè)這些教學(xué)環(huán)節(jié)，從意象、物象、形象、抽象全方位地刻畫直線概念，讓這個(gè)不定義的原始概念在學(xué)生的頭腦中扎下根來。

（四）拓寬認(rèn)知渠道，慢中求透

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?！睆亩鄠€(gè)角度觀察、認(rèn)識(shí)事物，往往看得真切、全面。數(shù)學(xué)教學(xué)也是同樣的道理：多渠道、廣視角地理解，看似緩慢，實(shí)則通透了核心知識(shí)，深化了理性認(rèn)識(shí)，沉淀于腦，銘記于心。

例如，二次根式的反身性“（a）2=a（a≥0）”的教學(xué)，可從以下角度立體展開：

渠道1：利用互逆關(guān)系還原，可類比學(xué)生熟知的加減、乘除等互逆運(yùn)算。

渠道2：借力完全平方數(shù)的計(jì)算，使抽象變具象，通過驗(yàn)證加強(qiáng)直感性，如（9）2=（32）2=32=9。

渠道3：數(shù)形結(jié)合，借助圖形，利用正方形邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系具象說明。

渠道4：回歸算術(shù)平方根的概念，提升理性認(rèn)識(shí)。

每一位學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)不同、思維方式不一，對(duì)同一個(gè)事物的理解也會(huì)不盡相同。多渠道的印證，既滿足了不同學(xué)生的不同需求（合其勢(shì)），又契合了學(xué)生的求異心理（循其道）;除了增強(qiáng)認(rèn)同感，便于理解記憶外，還歷練了學(xué)生的多向思維。

（五）挑起認(rèn)知交鋒，慢中求活

學(xué)習(xí)中，有些問題容易受常識(shí)的偏頗影響而滑過，成為“夾生飯”而不自知。實(shí)際上，就是一個(gè)簡(jiǎn)單的概念，也要有個(gè)子午卯酉的說法。通過開放問題的設(shè)計(jì)，激起思維碰撞，挑起認(rèn)知交鋒，可以讓概念、公式、法則等“瓜熟蒂落”，獲得豐富、靈活的表征。

例如，平方差公式的教學(xué)，為了揭示公式的結(jié)構(gòu)特征，筆者拋出如下開放而又有一定挑戰(zhàn)性的填空題：（○）（○）=a2-b2，除了填（a+b）（a-b）以外，還可以填什么？看誰填得多。此題激發(fā)了學(xué)生的探索熱情，學(xué)生踴躍登臺(tái)，寫出如下一些式子：①（b+a）（a-b）;②（a+b）（-b+a）;③（a+b）（-a-b）;④（-a+b）（a-b）;⑤（-a+b）（-a-b）;⑥（-a-b）（-a-b）;⑦（a-b）（a-b）;⑧（-a-b）（a-b）……這些式子有的是對(duì)的，有的是錯(cuò)的。因此，學(xué)生開始討論、肯定、批判。筆者抓住時(shí)機(jī)，發(fā)動(dòng)學(xué)生找出所有正確的結(jié)果，然后提出問題：這些正確的式子有什么共同的特征？由于以上挑選出的式子基本窮盡了所有的變形形式，因此平方差公式的特征得到有效的揭示。

如此的慢化處理，突出了重點(diǎn)，化解了難點(diǎn);充分暴露了學(xué)生的思維軌跡、認(rèn)知弱點(diǎn)，讓平方差公式的知識(shí)表征得以激活，結(jié)構(gòu)特征得以凸顯。

二、習(xí)題教學(xué)

習(xí)題的教學(xué)也要放慢節(jié)奏，提升價(jià)值，不能滿足于就題解題。

（一）一題作基演變，慢中明道

有的題目?jī)?nèi)涵豐富，具有母題的價(jià)值，承載著數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律性。若以此為基，從中挖掘出生長(zhǎng)點(diǎn)，使得題目不斷演變，在變化的“術(shù)”中探尋出不變的“道”，可以幫助學(xué)生把握題目本質(zhì)。例如：

習(xí)題1（人教版初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題14.2“拓廣探索”第7題）已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值。

以此題為基礎(chǔ)，可編擬出題組展開教學(xué)，從變式中揭示規(guī)律，尋法問道：

（1）若a+b=5，ab=3，求a2+b2、a-b的值。

（2）若a2+b2=19，a+b=5，求ab、a-b的值。

（3）若a2+b2=19，ab=3，求a+b、a-b的值。

（4）若a+b=3，a-b=5，求ab、a2+b2的值。

（5）若ab=3，a-b=5，求a+b、a2+b2的值。

（6）若a2+b2=19，a-b=5，求a+b、ab的值。

通過這一組題目，幫助學(xué)生提煉出這一類問題的一般思路（基本量意識(shí)）：兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)的平方和這四個(gè)量，給出任意兩個(gè)量都能求出其他的量。有了這樣“道”的認(rèn)識(shí)，編擬問題就不在話下。

學(xué)生獨(dú)立解答完成。若不順利，就讓學(xué)生通過小組交流化解問題;若順利，則讓學(xué)生嘗試編題，從中加深對(duì)這一規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

習(xí)題2如圖1，把△ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變。請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）

A. ∠A=∠1+∠2

B. 2∠A=∠1+∠2

C. 3∠A=2∠1+∠2

D. 3∠A=2（∠1+∠2）

解答：∠A=180°-（∠B+∠C）=180°-（∠AED+∠ADE），所以∠B+∠C=∠AED+∠ADE=180°-∠A，所以∠1+∠2=360°-（∠B+∠C+∠AED+∠ADE）=360°-2（180°-∠A）=2∠A。選B。

這是一道具有典型意義的題目，有可以深度挖掘的空間，是孕育問題意識(shí)和創(chuàng)新精神的優(yōu)質(zhì)素材。教學(xué)中，筆者讓學(xué)生由此題編擬新問題，但是學(xué)生感到困難，于是筆者進(jìn)行了引導(dǎo)：

師原問題中折疊后點(diǎn)A在四邊形內(nèi)部，同學(xué)們還可以提出怎樣的問題？

生（出示圖2、圖3）折疊后點(diǎn)A在四邊形外部時(shí)，如圖，∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

師你能猜一猜此時(shí)的結(jié)論嗎？

生2∠A=∠2-∠1。

師原問題中折疊了一個(gè)角，我們還可以提出怎樣的問題？

生折疊兩個(gè)角、三個(gè)角。

師這是一個(gè)三角形問題，我們還可以編擬怎樣的問題？

生（出示圖4）四邊形、五邊形等問題，如圖。

……

師梳理一下構(gòu)建問題的策略：折疊在圖形內(nèi)部→折疊在圖形外部（上、下或左、右）→折疊多個(gè)角→折疊其他多邊形。這種策略是復(fù)合的，起初源于位置的不同提出問題，而后從數(shù)量的不同提出問題，最后從維度的不同提出問題。以上編擬問題的方法就是“what if not”法的擴(kuò)展使用：不是這一個(gè)，還會(huì)是哪一個(gè)呢？問題滾滾而來。

這里，通過搭建支架，引導(dǎo)學(xué)生不斷提出問題，讓學(xué)生逐漸感悟問題提出的不同維度;通過梳理總結(jié)，幫助學(xué)生積淀剛剛獲得的提出問題的初步經(jīng)驗(yàn)，使之成為能發(fā)生遷移的比較成熟的經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的問題意識(shí)，擴(kuò)大學(xué)生提出問題的思維視域。

（二）開放問題思路，慢中優(yōu)術(shù)

有的問題內(nèi)涵豐富，可能蘊(yùn)含多種解法。教學(xué)中，開放問題的思路，讓學(xué)生嘗試一題多解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生串聯(lián)知識(shí)的內(nèi)涵和外延，融會(huì)貫通;有利于培養(yǎng)學(xué)生的聚合性思維，讓學(xué)生提煉方法的區(qū)別和聯(lián)系，優(yōu)化思維;還能讓不同層次的學(xué)生找到學(xué)習(xí)的成就感，調(diào)動(dòng)課堂的氛圍。例如：

習(xí)題3在四邊形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°，求證：AB=CD。

對(duì)于此題，在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生秉持“有就找出來，沒有造出來”的模型意識(shí)，發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造輔助線解題，然后執(zhí)果索因，追溯獲得線段相等的基本方法之源頭（三角形全等的性質(zhì)或“等角對(duì)等邊”），捕捉有用的信息，廣泛搜索，形成如下思路：

解法1：如圖5，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD于點(diǎn)E，即可構(gòu)造出與△ABC全等的△CDE，進(jìn)而得證。

解法2：如圖6，以AB為邊作∠BAE=∠DCA=60°，AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，即可構(gòu)造出與△ACD全等的△EAB，進(jìn)而得證。

解法3：如圖7，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連結(jié)AD′、CD′，可證△AED′與△BEC均為等腰直角三角形，即得AB=CD′，進(jìn)而得證。

解法4：如圖8，同解法3，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′、CB′，可證△CEB′與△DEA均為等腰直角三角形，即得AB′=CD，進(jìn)而得證。

解法5：如圖9，作∠ACD′=∠CAD，使CD′=AD，可得△DCA≌△D′AC，即有CD=AD′，然后可證B、C、D′共線，由∠B=∠D′=45°，得AB=AD′，進(jìn)而得證。

解法6：如圖10，作∠CAB′=∠ACB，使AB′=CB，證法同解法5。

解法7：如圖11，分別過點(diǎn)C、A作CD′∥AD、AD′∥CD，使兩線交于點(diǎn)D′，連結(jié)BD′，可知四邊形ADCD′是平行四邊形，即有AD′=CD，然后可證∠ABD′=∠AD′B=75°，得AB= AD′，進(jìn)而得證。

解法8：如圖12，分別過點(diǎn)C、A作CB′∥AB、AB′∥CB，使兩線交于點(diǎn)B′，連結(jié)DB′，證法同解法7。

統(tǒng)而觀之，以上8種解法都落腳于構(gòu)造全等三角形，且借力于“等角對(duì)等邊”。另外，除解法1、解法2外，其他6種解法均是基于對(duì)稱而有的思路，每一類思路的方法都是“成對(duì)”的。這契合了G.波利亞的“蘑菇”理論：當(dāng)你發(fā)現(xiàn)一只蘑菇的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)在邊上再找一找，因?yàn)槟⒐娇偸浅啥焉L(zhǎng)的?！霸僬乙徽摇本褪沁w移，就是由此及彼、舉一反三。

然后，引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)散中凝聚，在多種解法中提煉共性，或通過討論找出簡(jiǎn)潔的方法，進(jìn)而達(dá)到優(yōu)化思維的目的。如此的“慢化”才便于發(fā)揮題目的“內(nèi)能”。

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