模式觀下數(shù)學(xué)探究的理論與實(shí)踐

摘要：以一道平面幾何題的解答與推廣為例，論述模式觀下數(shù)學(xué)探究的理論與實(shí)踐。數(shù)學(xué)教育的重要方式就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：像數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)一樣，探索個(gè)別問題背后蘊(yùn)含的普遍模式（知識(shí)），并基于模式相似性去分析問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題;特別強(qiáng)調(diào)“做數(shù)學(xué)”的過程以及在過程中努力尋找揭示問題本質(zhì)的模式和進(jìn)一步解決或提出新的問題。

關(guān)鍵詞：模式觀數(shù)學(xué)探究模式相似性一題多變

結(jié)果基于過程。從過程的角度來看，數(shù)學(xué)是一種探索、研究，目的在于揭露隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)則。在新課標(biāo)理念下，數(shù)學(xué)教育的重要方式就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究（重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力）：像數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)一樣，探索個(gè)別問題背后蘊(yùn)含的普遍模式（知識(shí)），并基于模式相似性去分析問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題;特別強(qiáng)調(diào)“做數(shù)學(xué)”的過程以及在過程中努力尋找揭示問題本質(zhì)的模式和進(jìn)一步解決或提出新的問題。

針對(duì)許多教師不知如何開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)，筆者曾（2018）以一道平面幾何題為例，給出數(shù)學(xué)探究的一個(gè)基本模型。下面，筆者再以一道平面幾何題的解答與推廣為例，論述模式觀下數(shù)學(xué)探究的理論與實(shí)踐。

一、數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)

無論是數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問題和方法，都應(yīng)被看成是一種具有普遍意義的模式。數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在對(duì)模式化的個(gè)體做抽象的過程中對(duì)模式進(jìn)行研究。許多數(shù)學(xué)家關(guān)心的就是找到新的模式，分析這些模式，建構(gòu)法則以描述它們并進(jìn)一步研究它們。不管是研究存在于現(xiàn)實(shí)世界和人類經(jīng)驗(yàn)各方面的各種模式，詮釋各種模式的意義，或是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造類似已知模式的新模式，都是在增加數(shù)學(xué)的內(nèi)容。

作為模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)的意義則是通過一個(gè)領(lǐng)域中模式與其他領(lǐng)域中模式的聯(lián)系程度來衡量的。最具解釋力的精巧模式就是最深刻的結(jié)果，它們構(gòu)成了所有數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。找到與詮釋這樣的模式并使它發(fā)生意義，是數(shù)學(xué)家孜孜以求的目標(biāo)。數(shù)學(xué)家總是努力去發(fā)現(xiàn)那些具有廣泛應(yīng)用和深刻反映現(xiàn)實(shí)世界某一方面的結(jié)構(gòu)或模式，總是不斷地將一類模式與另一類模式聯(lián)系起來，產(chǎn)生新的模式。數(shù)學(xué)就是按照自身的邏輯，從科學(xué)的模式開始，通過添加由此派生的所有模式而結(jié)束。

數(shù)學(xué)模式是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物。當(dāng)直覺和未經(jīng)分析的經(jīng)驗(yàn)表明在許多不同的背景下存在著共同的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，數(shù)學(xué)家就有了任務(wù)：以精確和客觀的形式系統(tǒng)地闡明基本的結(jié)構(gòu)特征，將這種結(jié)構(gòu)以模式的形式發(fā)掘出來。數(shù)學(xué)的發(fā)展在很大程度上就是利用經(jīng)驗(yàn)和直覺的洞察力去發(fā)現(xiàn)合適的形式結(jié)構(gòu)。不管在什么樣的數(shù)學(xué)工作中，如果某種模式重復(fù)出現(xiàn)，則其中必有某種意義。而我們應(yīng)該研究它為什么會(huì)發(fā)生，掌握其中心思想。

數(shù)學(xué)家德夫林指出：“對(duì)于大多數(shù)外行人來說，做數(shù)學(xué)意味著學(xué)會(huì)一大堆毫無聯(lián)系的規(guī)則和技巧來解答各類問題。當(dāng)遇到一位數(shù)學(xué)家對(duì)你說：‘噢，這很明顯，你這樣做，再這樣做，然后答案就這樣出來了?！话闳艘欢〞?huì)以為，做數(shù)學(xué)需要一個(gè)特殊的腦袋。事實(shí)上并非如此，使數(shù)學(xué)家在這種情況下知道該怎么做的主要原因是他們看到了針對(duì)問題領(lǐng)域的一種潛在結(jié)構(gòu)。如果你能看出這種結(jié)構(gòu)，你會(huì)很清楚下一步該做什么?！边@種“結(jié)構(gòu)”其實(shí)就是模式，而且這種“結(jié)構(gòu)”常常又可以啟發(fā)新的模式，產(chǎn)生模式的模式。學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)必須具備識(shí)別模式、鑒賞模式、發(fā)現(xiàn)模式、建立模式、拓展模式和應(yīng)用模式的能力，沉浸于模式的魅力、獲得與邏輯分類中。

二、基于模式相似性的數(shù)學(xué)探究

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的、統(tǒng)一的整體，數(shù)學(xué)的理論、方法和問題之間總是有著千絲萬縷的聯(lián)系。從表面上看，數(shù)學(xué)的領(lǐng)域千差萬別，但是，不同的領(lǐng)域常常體現(xiàn)出驚人的模式相似性。數(shù)學(xué)規(guī)律是寓于模式相似性之中的，數(shù)學(xué)的獨(dú)創(chuàng)很大程度上在于發(fā)現(xiàn)不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系或相似之處。

數(shù)學(xué)家要有發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系或相似性的眼光和直覺。正如泛函分析的創(chuàng)始人之一S.巴拿赫指出的：“一個(gè)人是數(shù)學(xué)家，那是因?yàn)樗朴诎l(fā)現(xiàn)判斷之間的類似;如果他能判明論證之間的類似，他就是一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家;要是他竟識(shí)破理論之間的類似，他就成為杰出的數(shù)學(xué)家。可是我認(rèn)為還應(yīng)當(dāng)有這樣的數(shù)學(xué)家，他能夠洞察類似之類似。”

數(shù)學(xué)史上很多令人感到心滿意足的時(shí)刻，都是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)兩個(gè)一直以來認(rèn)為是疏遠(yuǎn)而不相關(guān)的領(lǐng)域，根本上卻是同一樣?xùn)|西的不同面貌。蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家D.莫達(dá)克海波爾托夫指出：“數(shù)學(xué)思維的才能在于有無智慧的敏銳性?！彼^“智慧的敏銳性”，就是指發(fā)現(xiàn)兩個(gè)看似不相聯(lián)系的問題之間的模式相似性的一種能力，把兩個(gè)不相聯(lián)系的思想領(lǐng)域內(nèi)的一些概念“納入統(tǒng)一觀點(diǎn)”的一種能力，從已知事物中發(fā)現(xiàn)有什么相似之處的一種能力，以及在一些關(guān)系疏遠(yuǎn)的領(lǐng)域或十分復(fù)雜的對(duì)象中找出有什么相似之處的一種能力。

數(shù)學(xué)探究要善于基于問題的結(jié)構(gòu)或模式尋求問題和方法之間的聯(lián)系或相似性，尤其要善于基于問題的模式不斷地將類似的問題聯(lián)系起來，進(jìn)行推廣和提出新的問題。正如笛卡兒指出的：“當(dāng)我們已經(jīng)直觀地弄懂了幾個(gè)簡單的定理的時(shí)候……如果能通過連續(xù)的思考活動(dòng)，把這幾個(gè)定理貫穿起來，悟出它們之間的相互關(guān)系，并能同時(shí)盡可能多地、明確地想象出其中的幾個(gè)，那將是很有益的?！狈茽柶潽?jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主丘成桐院士指出：“數(shù)學(xué)家證明了不同而又重要的定理，這些定理可能都有它們的重要性，但真正成為一個(gè)數(shù)學(xué)主流的學(xué)問，必須將這些定理整合起來，成為一個(gè)有完整哲學(xué)思維做背景的理論，這種學(xué)問才會(huì)有價(jià)值，影響深入，能夠流傳后世?！边@里的“把這幾個(gè)定理貫穿起來”和“將這些定理整合起來”，在很大程度上需要基于問題（定理）的模式不斷地將類似的問題（定理）聯(lián)系起來。

當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)問題隱藏的結(jié)構(gòu)與模式，發(fā)現(xiàn)不同問題之間的內(nèi)在聯(lián)系或相似性，常常是很不容易的。實(shí)踐中，研究的對(duì)象如果彼此過分相似，它們的推廣就稍欠情趣;但是，如果彼此面貌迥異，則只要可以辨認(rèn)出它們共同的性質(zhì)，推廣就非常有價(jià)值，常常能得到更深刻的數(shù)學(xué)命題。

三、基于模式相似性的數(shù)學(xué)探究案例

問題已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，在∠BAC所對(duì)的弧BC上任取一點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD、CD。如圖1，若∠BAC=120°，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

解：由題意可得∠ADB=∠ADC=30°。如圖2，過點(diǎn)A分別向∠BDC兩邊作垂線，垂足分別為E、F，則AE=AF，DE=DF。在Rt△AEB和Rt△AFC中，AB=AC，

AE=AF，則△AEB≌△AFC（HL），則EB=FC，則BD+CD=2DE=3AD。

這道題本質(zhì)上是一道“四點(diǎn)共圓背景下角平分線上線段和角兩邊上線段的關(guān)系”的問題。普通學(xué)生不難想到上述“過角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線段，找三角形全等，進(jìn)而找線段相等，最終利用直角三角形中的邊角關(guān)系”的解法。但是，許多學(xué)生常常只是解完題目就結(jié)束了，不會(huì)去深入挖掘問題中隱藏的深層次的東西，從而難以發(fā)現(xiàn)本題與其他題目的聯(lián)系。顯然，這樣的過程只是簡單地就題解題，而不是深入的數(shù)學(xué)探究，不能充分地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將該問題一般化，并尋求另外的“基于旋轉(zhuǎn)變換將相關(guān)線段集中到一個(gè)三角形中”的解法（幾何變換的工具價(jià)值還未得到師生足夠的重視）：

一般化問題如圖1，若∠BAC=α，那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

解：如圖3，作∠EAD=∠BAC=α，AE交DB的延長線于點(diǎn)E，則∠EAB=∠DAC。由四點(diǎn)共圓定理，知∠EBA=∠DCA。在△EAB和△DAC中，∠EAB=∠DAC，

AB=AC，

∠EBA=∠DCA，則△EAB≌△DAC（ASA），則BE=CD，AE=AD。過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，則∠FAD=α2，則BD+CD=BD+BE=DE=2DF=2ADsinα2。

仔細(xì)分析上述兩個(gè)問題，可以發(fā)現(xiàn)它們具有相似的模式，即解決它們用到的關(guān)鍵條件是：（1）A、B、C、D 四點(diǎn)共圓（即∠BAC+∠BDC=180°）;（2）AD是∠BDC的平分線。于是，教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：

如果去掉原問題中圓這個(gè)條件，保留與之等價(jià)的對(duì)角互補(bǔ)條件，經(jīng)過改編就可以得到如下拓展問題1。

拓展問題1如圖4，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，那么OD+OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

運(yùn)用模式相似性，可以類比原問題得到如下兩種解法。

解法1：如圖5，過點(diǎn)C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N，則CM=CN，OM=ON。又∠AOB=90°，則四邊形OMCN為正方形。由∠AOB=∠DCE=90°，可知O、D、C、E四點(diǎn)共圓。又OC平分∠AOB，則CD=CE。在Rt△MCD和Rt△NCE中，CM=CN，

CD=CE，則△MCD≌△NCE（HL），則MD=NE，則OD+OE=2OM=2OC。

解法2：如圖6，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于點(diǎn)F，則∠ECF=∠DCO，∠EFC=∠DOC=45°，CF=CO，則△ECF≌△DCO（ASA），則EF=OD，則OD+OE=EF+OE=OF=2OC。

如果讓∠DCE的一邊與AO或BO的延長線相交，又可以得到如下變式拓展問題1。

變式拓展問題1如圖7，∠AOB=∠DCE=90°，點(diǎn)D在AO的延長線上，點(diǎn)E在BO上，OC平分∠AOB，那么OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

基于模式相似性，不難得到兩種與拓展問題1一樣的解法（如圖8和圖9），可以求得OE-OD=2OC（過程省略）。

如果進(jìn)一步將∠AOB=∠DCE=90°這個(gè)條件換成其他“四點(diǎn)共圓”的條件，又可以得到如下拓展問題2。

拓展問題2如圖10，∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB，那么OD+OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

基于模式相似性，類比拓展問題1，同樣可以得到兩種解法（如圖11和圖12），可以求得OD+OE=OC（過程省略）。

類比變式拓展問題1，如果讓∠DCE的一邊與AO或BO的延長線相交，又可以得到如下變式拓展問題2。

變式拓展問題2如圖13，∠AOB=120°，∠DCE=60°，點(diǎn)D在AO上，點(diǎn)E在BO的延長線上，OC平分∠AOB，那么OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

基于模式相似性，不難得到兩種與拓展問題2一樣的解法（如圖14和圖15），可以求得OD-OE=OC（過程省略）。

如果進(jìn)一步把條件一般化，令∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，又可以得到如下拓展問題3。

拓展問題3如圖16，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，OC平分∠AOB，那么OD+OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

基于模式相似性，類似地，不難得到兩種解法（如圖17和圖18），可以求得OD+OE=2OCcos α（過程省略）。

如果讓∠DCE的一邊與AO或BO的延長線相交，又可以得到如下變式拓展問題3。

變式拓展問題3如圖19，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，點(diǎn)D在AO上，點(diǎn)E在BO的延長線上，OC平分∠AOB，那么OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

基于模式相似性，類似地，不唯得到兩種解法（如圖20和圖21），可以求得OD-OE=2OCcos α（過程省略）。

四、教學(xué)啟示與建議

以上我們運(yùn)用模式相似性，從特殊到一般、從“四點(diǎn)共圓”到“對(duì)角互補(bǔ)”，基于一個(gè)問題及其解答，不斷地提出新的問題及其解答。這正是數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)研究的一種基本策略與方法，關(guān)鍵是要看出反映問題本質(zhì)的那個(gè)內(nèi)在的而且常常是隱藏的“模式”。數(shù)學(xué)試題成千上萬，我們不可能把它們一一做完。但許多數(shù)學(xué)問題，無論是題設(shè)、結(jié)論，還是整體結(jié)構(gòu)、直觀圖像或解題方法，都表現(xiàn)出或隱含著某種數(shù)學(xué)模式。善于觀察、識(shí)別和捕捉這些模式特征，往往可以迅速地獲得問題解決的途徑;而且，常?？梢曰谀Ｊ较嗨菩?，發(fā)現(xiàn)不同問題之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，并由此推廣原有命題和提出新的問題。當(dāng)然，這需要一定的數(shù)學(xué)直覺和天賦，但也是可以教育和培養(yǎng)的。

以模式的觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)探究，使師生有可能更加自覺地關(guān)注并研究數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的模式的各個(gè)側(cè)面，特別是模式的結(jié)構(gòu)特征、模式的發(fā)現(xiàn)和建立過程，這對(duì)發(fā)現(xiàn)問題之間的聯(lián)系、選擇思維的方向具有很大的啟發(fā)性。在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生基于模式相似性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與方法之間的聯(lián)系，尋找特殊問題和一般結(jié)果之間、一個(gè)問題和另一個(gè)問題之間貌似無關(guān)但實(shí)際上相互聯(lián)系的關(guān)系，進(jìn)而推廣原有命題和提出新的問題。只要教師經(jīng)常有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生這樣觀察和分析問題，學(xué)生就能潛移默化地受到熏陶，學(xué)會(huì)這種基于模式相似性的數(shù)學(xué)探究。

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