從STEM教育視角看折紙

常文武

摘要：隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，折紙這項(xiàng)古老的藝術(shù)也迅速現(xiàn)代化，被多學(xué)科的科學(xué)家、技術(shù)員、工程師所關(guān)注，形成了一個(gè)新的STEM門(mén)類(lèi)，在跨學(xué)科教育領(lǐng)域煥發(fā)出新的生命力。通過(guò)鱉臑和爬坡陀螺兩個(gè)案例，管窺折紙之于數(shù)學(xué)教育和科學(xué)教育的可能與價(jià)值，說(shuō)明折紙不但是當(dāng)之無(wú)愧的STEM教育優(yōu)良載體，而且在投入產(chǎn)出比方面還優(yōu)于已有的STEM教育項(xiàng)目。

關(guān)鍵詞：折紙STEM教育鱉臑爬坡陀螺

簡(jiǎn)便易行的折紙活動(dòng)通常僅被視為傳統(tǒng)的手工游戲。但是，隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，折紙這項(xiàng)古老的藝術(shù)也迅速現(xiàn)代化，被多學(xué)科的科學(xué)家、技術(shù)員、工程師所關(guān)注，形成了一個(gè)新的STEM門(mén)類(lèi)，在跨學(xué)科教育領(lǐng)域煥發(fā)出新的生命力。

審視中國(guó)，STEM教育正在如火如荼地展開(kāi)，各地創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室四處開(kāi)花。但是，里面通常只能找到一些電子設(shè)備，如機(jī)器人編程和3D打印等——雖然上海市中福會(huì)主辦的上海市青少年STEMx實(shí)踐展示交流活動(dòng)在5年前就將創(chuàng)意疊紙納入為賽事項(xiàng)目之一。

環(huán)顧世界，折紙正在把它藝術(shù)的根系延伸到科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域。芬蘭的動(dòng)手課上充滿(mǎn)了用平凡的紙張制作的模型。以色列的小學(xué)生長(zhǎng)期以來(lái)在用折紙學(xué)習(xí)幾何學(xué)。美國(guó)MIT的工程師在給大學(xué)生開(kāi)折紙算法課。折紙技術(shù)被用在太空望遠(yuǎn)鏡鏡片的折疊設(shè)計(jì)和人造血管支架的設(shè)計(jì)上。玩具設(shè)計(jì)師和時(shí)裝設(shè)計(jì)師都在折紙中尋找創(chuàng)作的靈感……

下面，從數(shù)學(xué)和科學(xué)的角度提供兩個(gè)案例，說(shuō)明折紙不但是當(dāng)之無(wú)愧的STEM教育優(yōu)良載體，而且在投入產(chǎn)出比方面還優(yōu)于已有的STEM教育項(xiàng)目。

一、折紙讓數(shù)學(xué)更加親和

傳統(tǒng)觀(guān)點(diǎn)認(rèn)為（甚至統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也表明），數(shù)學(xué)是女生不太擅長(zhǎng)的。但折紙往往是女生較為喜歡參與的活動(dòng)。上海市第三女子中學(xué)的顏雯婕老師引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)折紙學(xué)習(xí)立體幾何。她們的實(shí)踐表明，女生在折紙活動(dòng)中找到了立體感，比以前更愿意嘗試解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

下面，以筆者設(shè)計(jì)的一款折紙教具——鱉臑（這款教具于2016年獲得教育部裝備中心頒發(fā)的“優(yōu)秀教具獎(jiǎng)”，于2018年被納入臺(tái)灣高中數(shù)學(xué)課外讀物《折紙學(xué)數(shù)學(xué)》中）為例，談?wù)劺谜奂埥虒W(xué)立體幾何的可能性與價(jià)值。

這款教具取名為鱉臑，是因?yàn)檫@個(gè)結(jié)構(gòu)在《九章算術(shù)》里被稱(chēng)為鱉臑?！毒耪滤阈g(shù)》“商功”章給出了塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的概念及體積計(jì)算公式。塹堵是底面為直角三角形的直棱柱，陽(yáng)馬是底面為長(zhǎng)方形、一條棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐。若斜剖正方體，就得兩塹堵;若斜剖塹堵，就得一陽(yáng)馬和一鱉臑。塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑都可看作線(xiàn)面垂直的模型。2015年湖北高考數(shù)學(xué)卷就曾以此為背景命題。

不過(guò)，即使是專(zhuān)門(mén)研究數(shù)學(xué)史的華東師范大學(xué)汪曉勤教授，也認(rèn)為鱉臑實(shí)物模型并不尋常。那么，怎么用折紙來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)稀罕物呢？以下便是具體的取材、折疊過(guò)程：

1.從一張A4紙出發(fā)，沿著長(zhǎng)邊剪去一條寬度為7 cm（短邊長(zhǎng)的13）的紙條，用剩余的23張紙完成折疊。

2.將剩余的紙條沿著長(zhǎng)邊三等分折疊（如圖1）。

3.將左上及右上兩個(gè)直角折向三等分線(xiàn)，得到一個(gè)“帳篷”（如圖2）。

4.將左下角和右下角折向相應(yīng)的三等分線(xiàn)，得到一個(gè)“紡錘”（如圖3）。

5.將左邊頂層紙過(guò)頂點(diǎn)向下對(duì)折，使折痕恰為該直角的平分線(xiàn)（如圖4）。

6.折出中心區(qū)域長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線(xiàn)（如圖5）。

7.沿著第6步折出的對(duì)角線(xiàn)將左側(cè)的紙折起，同時(shí)，拉出第5步折起的直角梯形，將其藏入右邊大三角形的銳角處（如圖6）。

8.將第7步中散開(kāi)部分上方的四邊形前端伸入三角形洞口，整理平整作品（如圖7）。

作品完成了，但真正的探索才剛剛開(kāi)始?！毒耪滤阈g(shù)》里還有兩個(gè)不易理解的結(jié)論：“合兩鱉臑成一陽(yáng)馬，合三陽(yáng)馬成一立方。”為了理解“合兩鱉臑成一陽(yáng)馬”（這一句最難理解，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)立體圖形的“面對(duì)稱(chēng)”認(rèn)識(shí)不深;后一句稍好理解，因?yàn)閷W(xué)生知道等底、等高的情況下柱體體積是錐體的3倍），我們要做一個(gè)鏡像對(duì)稱(chēng)的另一種鱉臑：將上面第5步改為折出右邊頂層直角的平分線(xiàn)，第6步改為折出中心區(qū)域長(zhǎng)方形的另一條對(duì)角線(xiàn);第7、8步相應(yīng)做鏡像對(duì)稱(chēng)。為了正確“拼合”兩個(gè)鱉臑組成一個(gè)陽(yáng)馬，我們需要嘗試將哪兩個(gè)面做拼合面：可以發(fā)現(xiàn)，只有將兩個(gè)非等腰的直角三角形面拼合，才能得到一個(gè)陽(yáng)馬。

通過(guò)以上實(shí)際制作和拼合的實(shí)踐可見(jiàn)，對(duì)于這個(gè)數(shù)學(xué)史典籍中的立體模型的認(rèn)識(shí)，動(dòng)手是理解相關(guān)概念、內(nèi)化相關(guān)知識(shí)的必由之路。汪曉勤教授HPM工作室的高振嚴(yán)老師和何偉淋老師曾經(jīng)在他們合作開(kāi)發(fā)的“線(xiàn)面垂直判定定理”課例中引入過(guò)鱉臑?zāi)Ｐ?，而臺(tái)灣鳳山高中的連崇馨老師曾經(jīng)借助于這個(gè)鱉臑教具開(kāi)發(fā)出“三垂線(xiàn)定理”（線(xiàn)面垂直判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用）的一個(gè)授課教程。

其實(shí)，從折紙活動(dòng)本身中，學(xué)生也可以得到自我教育。經(jīng)過(guò)多次失敗，學(xué)生能夠充分體會(huì)到“折疊精準(zhǔn)方能拼合緊密”的道理，進(jìn)而在不知不覺(jué)中形成做事要精益求精的價(jià)值觀(guān)。

二、折紙讓科學(xué)不再神秘

爬坡陀螺是一款有趣的體現(xiàn)物理原理的科普教具。將一個(gè)雙頭尖的錐體放在一個(gè)“V”形軌道低處的尖端上，它就會(huì)向著高處的開(kāi)口端滾去。這個(gè)現(xiàn)象看似有悖于常識(shí)，但是恰恰符合了水往低處流的重心下降原理。

馬來(lái)西亞資深科普教育家張寶幼女士曾編撰過(guò)一本科普書(shū)，收錄了這款紙質(zhì)魔術(shù)道具的制作方法。

然而，如果按照這本科普書(shū)的制作方法，就需要在錐面上用膠粘貼眾多細(xì)小的腳。在曲面上用膠以及粘貼的部分太過(guò)細(xì)小，會(huì)導(dǎo)致不易粘牢，頗費(fèi)周章。如果能夠借鑒其他的紙模成型技術(shù)，用卡榫的方式連接，就可以變得更牢靠、更便捷和更有趣了。筆者實(shí)際操作后發(fā)現(xiàn)效果確實(shí)不錯(cuò)，在此簡(jiǎn)要敘述一下制作過(guò)程：

1.將一張較厚的A4紙（≥180克）兩次對(duì)折，得到一個(gè)十字交叉的中心。繼續(xù)對(duì)折每個(gè)90°角狀區(qū)域，得到8個(gè)45°角狀區(qū)域。如此細(xì)分下去，得到16個(gè)等分角狀區(qū)域。將這些角狀區(qū)域收攏壓平，切出近似的圓形紙片（如圖8，切痕為直線(xiàn)時(shí)實(shí)際為正16邊形）。

2.將得到的近似圓面沿一道折痕切分成兩個(gè)半圓（如圖9）。

3.如果僅靠每個(gè)半圓的8個(gè)等分角狀區(qū)域來(lái)制作圓錐（實(shí)際上是棱錐），那么它的滾動(dòng)性不夠好，所以還需要繼續(xù)細(xì)分。通過(guò)不斷的對(duì)折，將每個(gè)等腰三角形的頂角4等分（如圖10，實(shí)際操作時(shí)可以將重點(diǎn)放在邊緣部分的等分折疊上）。

4.用圓規(guī)（或折疊的方法）在離邊緣約1 cm的地方作一個(gè)同心的半圓。間隔地剪開(kāi)16個(gè)“∧”形缺口（如圖11），使得兩個(gè)相鄰缺口之間形成一個(gè)燕尾狀的紐襻，從而產(chǎn)生隨后兩個(gè)圓錐互相卡扣的榫頭。

5.將每個(gè)半圓兩邊黏合，使重疊部分正

好有一端的首個(gè)榫頭覆蓋另一端的首個(gè)榫頭（π16弧度角）。將錐體的15個(gè)尖角內(nèi)折，15個(gè)燕尾榫頭外折（如圖12）。

6.讓兩個(gè)錐體的接縫盡量處于接口圓的直徑兩端（保持重心位于幾何中心），以尖角內(nèi)折處為卯眼，將燕尾榫頭置入。利用紙的柔韌性，只需將兩個(gè)錐體相對(duì)且毗鄰的榫頭互換前后關(guān)系即可（如圖13）。

在爬坡陀螺的制作過(guò)程中，學(xué)生可以體驗(yàn)到圓錐的展開(kāi)以及卡榫結(jié)構(gòu)類(lèi)似拉鏈的功能和特性。

有了爬坡陀螺這款教具，便可設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)這種結(jié)構(gòu)在“V”形軌道上的怪異行為。從中間打開(kāi)一本雜志，將張開(kāi)的角度調(diào)至約120°;將其立于一個(gè)斜面上，使書(shū)脊位于斜坡的低處，開(kāi)口朝向斜坡的高處;將爬坡陀螺放在書(shū)脊處（如圖14，這里利用了

椅子面的斜坡）。松手后，爬坡陀螺就會(huì)向開(kāi)口處滾去。用一把直尺測(cè)量爬坡陀螺啟動(dòng)時(shí)的尖端高度以及滾落軌道時(shí)的尖端高度，二者之差一定是正值。

三、從STEM教育視角看折紙

STEM教育的精神就是依托跨學(xué)科探究，

實(shí)現(xiàn)多學(xué)科融合，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和問(wèn)題解決能力。在合理的難度設(shè)計(jì)下，各個(gè)年齡段的學(xué)生都可以在動(dòng)手操作中體驗(yàn)到STEM教育的神奇魅力。

以上兩例僅是大量體現(xiàn)STEM教育精神的折紙活動(dòng)的典型代表。第一個(gè)案例主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型與工程結(jié)構(gòu)的融合。該案例后續(xù)還有很多可探究的地方，如更一般的鱉臑如何折制。第二個(gè)案例則體現(xiàn)了科學(xué)原理與工程結(jié)構(gòu)的融合。重心向下移動(dòng)才能釋放勢(shì)能產(chǎn)生動(dòng)能，通過(guò)測(cè)量和比較可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)體實(shí)際上是在向地心方向移動(dòng);拉鏈的結(jié)構(gòu)用在紙模上，是問(wèn)題解決和創(chuàng)新能力的體現(xiàn)。

最后，值得一提的是，STEM教育在美國(guó)很多是由公司運(yùn)作的，他們向?qū)W校提供課程和師資培訓(xùn)。學(xué)校只需采購(gòu)課程和派出教師接受培訓(xùn)。最終由公司派出的師資或?qū)W校的教師完成授課。這種模式充分調(diào)動(dòng)了社會(huì)資源，達(dá)到了資源的合理配置。而中國(guó)目前采用的方式還只是采購(gòu)一個(gè)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室，在課程建設(shè)和師資培訓(xùn)方面沒(méi)能建立起資源共享的機(jī)制。

參考文獻(xiàn)：

[1] 高振嚴(yán)，何偉淋.“線(xiàn)面垂直判定定理”：從歷史看證明、找模型[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（7）.