數(shù)學深度學習不應滑向難度糾纏

唐榮喜 浦敘德

摘要：深度學習是觸及知識本質，伴隨應用、分析、評價和創(chuàng)造等高階思維活動的學習。深度學習不應等同于難度提升，也不能滑向難度糾纏。通過《字母表示數(shù)》《絕對值與相反數(shù)》《去括號》三課的設計中反、正對比的案例，剖析難度糾纏誤區(qū)，給出深度教學建議：盲目提升教學難度，是揠苗助長，不可取;努力挖掘教學深度，能發(fā)展素養(yǎng)，有可為;難度提升與深度挖掘不可混。

關鍵詞：深度學習難度糾纏教學診斷學生實際教學目標

核心素養(yǎng)是當前基礎教育理論與實踐研究的重點。在尋求數(shù)學核心素養(yǎng)落地路徑的過程中，深度學習理論受到廣大數(shù)學教育工作者的關注和青睞。但在具體的教學實踐中，有一種認識和現(xiàn)象值得我們反思和糾正。在追求深度學習的過程中，有些教師不顧學生實際，設置復雜情境或思維障礙，甚至偏離教學目標，超前教學，僅為增加問題解決的困難程度。這是對深度學習極大的誤解。深度學習是觸及知識本質，伴隨應用、分析、評價和創(chuàng)造等高階思維活動的學習。深度學習不應等同于難度提升，也不能滑向難度糾纏。下面，通過三個反、正對比的案例，剖析難度糾纏誤區(qū)，給出深度教學建議。

一、教學案例

【案例1】蘇科版初中數(shù)學七年級上冊《3.1 字母表示數(shù)》一課“拓展與提升”環(huán)節(jié)教學設計

設計1填空：

（1）一件工作，甲獨做需要9小時完成，乙獨做需要6小時完成，甲、乙合做x小時（0<x<3.6）后，剩下的工作由乙單獨完成，乙還需______小時才能完成此項工作。

（2）甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，在A、B兩地間做往返運動，若甲的速度是a km/h，乙的速度是b km/h，A、B兩地間的路程是s km，則經(jīng)過______小時后，兩人第二次相遇。

（3）一件商品按標價打8折，再降價10元后的售價為a元，則這件商品原來的標價為______元。如果按標價出售該商品獲得的利潤為b元，則按降價后的價格出售該商品獲得的利潤為______元。

設計2請你思考下列問題：

（1）一張桌子4條腿，兩張桌子______條腿，3張桌子______條腿，n張桌子呢？這里的n有何意義？

（2）電影院里第一排有12個座位，后一排總比前一排多1個座位，則第二排有______個座位，第三排有______個座位，如何表示每一排座位數(shù)的情況呢？

（3）心中任意想一個數(shù)，將它乘以3，加上6，再除以3，接著減去原來想的數(shù)，最后減去5，把你的答案與小組成員交流一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？試著加以說明。

在數(shù)學發(fā)展史上，從丟番圖用縮寫字母表示數(shù)到韋達用字母表示一般意義上的數(shù)經(jīng)過了1200年，可見，對“字母表示數(shù)”一般性的認識經(jīng)歷了艱難的過程。而學習過程是一種“再創(chuàng)造”的過程，因此，引導學生對“字母表示數(shù)”一般性的感悟才是本節(jié)課真正的教育價值，即應有的教學目標所在。

設計1在題目的難度上進行拓展。第1題屬于工程問題，需要將總工程量看作單位“1”，技巧性強;第2題屬于路程問題，數(shù)量關系隱蔽，需要理解第二次相遇時兩人走的路程之和為3skm，思維要求較高;第3題屬于商品銷售問題，涉及銷售相關的名詞，需要足夠的社會生活經(jīng)驗才能理解。3道習題中的數(shù)量關系均較為復雜，使理順數(shù)量關系成為教學難點，弱化了本節(jié)課的教學主題，不利于本節(jié)課教學目標的達成?？梢哉f，設計者理解的深度學習滑向了難度糾纏。

設計2在學習的深度上進行挖掘。第1題引導學生由特殊到一般，初步感悟字母n的意義，認識字母n表示物體數(shù)量時的普遍性和抽象性;第2題引導學生由特殊到一般，進一步認識字母表示數(shù)的抽象性和簡明性;第3題引導學生自覺用字母表示數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，培養(yǎng)學生用字母表示數(shù)的抽象思維和應用意識。3個問題由淺入深，由特殊到一般，逐步引領學生了解用字母表示數(shù)的發(fā)展，培養(yǎng)了學生的抽象思維，深化了本節(jié)課的教學主題，促進了本節(jié)課教學目標的達成?？梢哉f，這樣的教學設計是深度學習的理想與追求。

【案例2】蘇科版初中數(shù)學七年級上冊《2.4 絕對值與相反數(shù)》第1課時“拓展與提升”環(huán)節(jié)教學設計

設計1填空：

（1）如果|a-2|+|b-3|=0，則a+b=______。

（2）若|2x-1|=3，則x=______。

（3）對于任意數(shù)x，|x-1|+|x-4|的最小值為______。

設計2思考以下問題：

（1）如果a為任意數(shù)，那么a的絕對值表示什么數(shù)？請用符號表示，并借助數(shù)軸說明理由。

（2）觀察圖1中的數(shù)軸，比較大?。簗a|______|b|，并說明理由。

（3）如果|a|>|b|，那么a>b嗎？請借助數(shù)軸加以說明。

（4）如果|x|=2，那么x的值為多少？

根據(jù)蘇科版教材的編寫意圖，本節(jié)課的教學要求是：能借助數(shù)軸，說出絕對值的意義;知道|a|的含義，經(jīng)歷將實際問題數(shù)學化的過程，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系。而剛步入初一年級的學生仍然以直觀形象思維為主，抽象邏輯思維仍有不足，因此，本節(jié)課應該更多地依賴直觀，借助數(shù)軸，讓學生理解絕對值的概念、性質。

設計1第1題需要綜合運用絕對值的非負性分別求出a與b的值，再求出a+b的值;第2題需要根據(jù)絕對值的意義，逆向思考，得出2x+1=±3，分別解方程求出未知數(shù)的值;第3題首先需要弄清|x-1|和|x-4|的幾何意義，然后需要考慮表示x的點在不同位置時|x-1|+|x-4|的值的比較，再求出當1≤x≤4時，|x-1|+|x-4|的值最小，為3。這些題目明顯難度過大，對學生抽象思維、綜合分析及運算能力的要求過高，超出了本節(jié)課的教學目標和要求。特別是，過早地涉及了代數(shù)式、代數(shù)式的值、代數(shù)式的絕對值等知識，超出了學生的“最近發(fā)展區(qū)”。

設計2第1題要求結合絕對值的幾何意義，進一步認識絕對值的非負性，且能培養(yǎng)符號意識;第2題要求運用數(shù)形結合思想，觀察數(shù)軸、綜合分析做出判定;第3題要求借助數(shù)軸的直觀性，分情況說明a與b的大小;第4題要求根據(jù)一個數(shù)的絕對值，合理想象數(shù)軸上點的位置，再求出原數(shù)。這樣的設計緊扣本節(jié)課的教學目標，有意識地引導學生數(shù)形結合，借助數(shù)軸加深對絕對值的認識，著力培養(yǎng)學生的幾何直觀、符號意識、推理能力與創(chuàng)新意識等素養(yǎng)。

【案例3】蘇科版初中數(shù)學七年級上冊《3.5 去括號》一課“反思與提升”環(huán)節(jié)教學設計

設計1完成以下問題：

（1）計算：2x-{3-2[x2-3（4x-1）]}+3x2。

（2）若a2+2b2=3，2a2-3b2=5，求-a2+12b2的值。

設計2對于下列式子中的括號，我們在學習今天的“去括號法則”之前是如何去的？說說你的依據(jù)，并認真體會它與“去括號法則”的一致性。

-（-a），

+（-a）;a-（-b），

a+（-b）;+（2a-b），

-（2a-b）。

設計1第1題人為地設置了煩瑣的計算，思維價值不大。教材都在有意回避這樣的計算。第2題技巧性強，要求學生逆向思考，通過添括號，將-a2+12b2用含a2+2b2和2a2-3b2的代數(shù)式來表示，得-a2+12b2=3（a2+2b2）-2（2a2-3b2），再整體代入求值。這樣的訓練略顯倉促，有囫圇吞棗、急于求成之嫌，可以等到學生學習了整式的加減，對“式結構”有了充分的感知、理解后再進行。

設計2第1組式子可以根據(jù)相反數(shù)的意義，得-（-a）=a，根據(jù)“一個數(shù)前的‘+’可以省略”，得+（-a）=-a;第2組式子可以根據(jù)有理數(shù)減法法則“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，得a-（-b）=a+b，同樣，根據(jù)減法法則，得a-b=a+（-b），即a+（-b）=a-b;第3組式子可以根據(jù)乘法分配律，得+（2a-b）=2a·（+1）-b·（+1）=2a-b，-（2a-b）=2a·（-1）-b·（-1）=-2a+b。這樣的設計旨在引導學生分別運用相反數(shù)與“+”的意義、有理數(shù)減法法則、乘法分配律去括號，感受不同方法下計算結果的一致性，理解去括號法則實質是以上各種方法的概括，建構前后貫通、相互聯(lián)系、渾然一體的知識結構。

二、反思與感悟

（一）盲目提升教學難度——揠苗助長，不可取

課堂教學應該依據(jù)學生實際和教學目標，合理把控內(nèi)容難度。為了滿足學生個體的學習需求，讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，適時、適當?shù)靥嵘虒W難度是應該的。但是，難度的提升不能脫離學生的“最近發(fā)展區(qū)”，要緊扣學生思維的生長點，創(chuàng)造合適的思維場，讓學生的思維自然生長;難度的提升要有利于落實既定的教學目標，不能鉆牛角尖，迷失方向;難度的提升還要遵循循序漸進的原則，把握時機、巧設階梯、分散難點、有效突破，不能超前灌輸和訓練。

（二）努力挖掘教學深度——發(fā)展素養(yǎng)，有可為

數(shù)學深度學習不是對知識的簡單記憶和模仿訓練，而是基于知識內(nèi)在結構、整體特性、教育價值，從知識學習走向意義系統(tǒng)和思維方式的理解和領悟。為了促進學生的數(shù)學深度學習，教師要善于將知識的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)，挖掘知識背后內(nèi)隱的結構關系、思想觀念、教育價值等，觸及知識的核心與本質、過程與方法，積極引導學生開展應用、分析、評價和創(chuàng)造等高階思維活動，優(yōu)化學生的思維品質，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

教材在呈現(xiàn)數(shù)學知識的時候，由于文本及表達的局限性，往往會將相關知識的深層內(nèi)涵“隱藏”起來。如案例1《字母表示數(shù)》這節(jié)課的教學目標就是一種隱形的目標（對學生內(nèi)在觀念與認識層面的要求），主要體現(xiàn)在對“字母表示數(shù)”一般性的感悟和理解上。對于本節(jié)課，教師在培養(yǎng)學生思維的抽象性和引導學生深度學習上大有可為。

（三）難度提升與深度挖掘——不可混

深度與難度是兩個不同的概念：深度是觸及知識核心與本質的程度，而難度則是完成學習內(nèi)容的困難程度。優(yōu)秀的課堂一定是有深度的，但不一定是難度大的。深度學習不是在枝節(jié)內(nèi)容上加大難度，而是對主干內(nèi)容的內(nèi)涵與價值深度挖掘、加工，促成真實的經(jīng)歷、感受與探究，讓知識、方法與觀念自然生長。深度學習不是把簡單問題復雜化，而是通過意義系統(tǒng)和思維方式的理解與領悟，實現(xiàn)知識內(nèi)化和自我建構。其實，很多簡單的問題背后也有深度思考的價值。在處理簡單題時，教師如果能夠引領學生深度思考，讓學生經(jīng)歷思維的生長過程，理解內(nèi)容結構，感悟思維方法，長此以往，學生深度學習的能力會得到極大的提高。為此，教師應深入研讀教材，研究問題，獲得深度的理解與領悟，才能做好學生深度學習的引路人。

參考文獻：

[1] 浦敘德.數(shù)學課堂：基于教材解讀，成于教學設計——以“平方根”為例[J].教育研究與評論（中學教育教學），2017（1）.

[2] 孫學東.深入淺出：深度學習的應有之義[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2017（1-2）.

[3] 孫學東，周建勛.數(shù)學“深度學習”是什么？常態(tài)課堂如何可為？[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2017（5）.

[4] 劉孝宗，徐鐸厚.初中數(shù)學深度學習的基本策略[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2017（5）.

[5] 楊峰.不教也“會”，為何而教？——由“字母表示數(shù)”教學引發(fā)的思考[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2017（6）.