數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及基本實(shí)踐問(wèn)題

摘要：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)有高投入、高認(rèn)知、基于任務(wù)情境、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等內(nèi)涵。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)實(shí)踐中有一些經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題需要辨析：深度學(xué)習(xí)不等于簡(jiǎn)單地增加學(xué)習(xí)難度，而是要增強(qiáng)處理問(wèn)題過(guò)程的思維復(fù)雜性，從而探尋數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心與本質(zhì);深度學(xué)習(xí)不等于不需要內(nèi)容的廣度，而是要“以深度帶廣度”，從而“為遷移而教”;數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)也需要深度學(xué)習(xí)，要以“不簡(jiǎn)單”的任務(wù)反襯“基礎(chǔ)”的重要性;學(xué)業(yè)水平落后的學(xué)生也需要深度學(xué)習(xí)，要為他們循序漸進(jìn)地設(shè)置思維進(jìn)階的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)難度廣度基礎(chǔ)知識(shí)落后學(xué)生

近年來(lái)，數(shù)學(xué)課堂中的“深度學(xué)習(xí)”研究與實(shí)踐漸成趨勢(shì)，其中也出現(xiàn)了一些認(rèn)識(shí)誤區(qū)。如不及時(shí)厘清數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及認(rèn)識(shí)誤區(qū)，將使數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐僵化、泛化甚至異化。本文試對(duì)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題做一些解讀和辨析。

一、數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵解讀

德國(guó)教育家赫爾巴特認(rèn)為：真正的學(xué)習(xí)與課程，意味著登山式的挑戰(zhàn)與沖刺。同樣地，數(shù)學(xué)教學(xué)不能總是讓學(xué)生在舒適的山谷中游蕩，而要讓學(xué)生練習(xí)攀登山峰、掠過(guò)草地與沼澤，獲得廣闊的視野。任何沒(méi)有深度、沒(méi)有思維含量的學(xué)習(xí)內(nèi)容都不能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

實(shí)踐探索中，我們這樣理解數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)：在教師創(chuàng)設(shè)的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境中，學(xué)生全身心地投入、高階認(rèn)知參與的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境意味著經(jīng)過(guò)加工整合后的素材復(fù)雜性的增強(qiáng);學(xué)生學(xué)習(xí)不能僅僅記知識(shí)、仿技巧、套題型，而需要具身參與、運(yùn)用高階思維，在此過(guò)程中理解數(shù)學(xué)核心知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)和方法，把握數(shù)學(xué)思維方式，并形成積極的內(nèi)在動(dòng)機(jī)和正確的價(jià)值觀念，從而獲得自身素養(yǎng)的全面發(fā)展。

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)有這樣的內(nèi)涵：一是高投入，即全身心地投入。情緒和認(rèn)知是相互關(guān)聯(lián)的，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn)是好奇、期許、興奮、少許的迷惑、些許的遺憾、會(huì)心的歡笑等等。二是高認(rèn)知，即以理解為起點(diǎn)。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是觸及知識(shí)核心和本質(zhì)，探查知識(shí)之間的相互聯(lián)系，基于理解，更多地關(guān)照分析、評(píng)價(jià)與創(chuàng)造層面的高階思維的學(xué)習(xí)。三是基于任務(wù)情境，即通過(guò)真實(shí)情境的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)需要教師在單元整體設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，將教學(xué)內(nèi)容任務(wù)化，任務(wù)問(wèn)題化，問(wèn)題情境化。四是指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，或者說(shuō)指向數(shù)學(xué)的本質(zhì)聯(lián)系及思想方法。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的屬性決定了其習(xí)得必然依賴于深度學(xué)習(xí);而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一旦形成，又會(huì)有力地支撐深度學(xué)習(xí)——兩者是相互加強(qiáng)的互動(dòng)循環(huán)關(guān)系。指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使深度學(xué)習(xí)有了超越解題的目標(biāo)旨?xì)w，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

二、數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題辨析

（一）數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就是增加學(xué)習(xí)難度嗎？

深度與難度是兩個(gè)不同的概念：深度是觸及知識(shí)核心與本質(zhì)的程度，而難度則是完成學(xué)習(xí)內(nèi)容的困難程度。有深度的課堂不一定難度大;相反地，難度大的課堂不一定有深度。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不是加大學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度，讓學(xué)生感到沮喪進(jìn)而失去學(xué)習(xí)的主動(dòng)性;相反地，正是通過(guò)提升問(wèn)題的復(fù)雜性，讓學(xué)生增進(jìn)學(xué)習(xí)的興趣并且理解相關(guān)內(nèi)容的本質(zhì)。如果認(rèn)為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就是加大學(xué)習(xí)難度，就有可能出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：教師為了在有限的時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)，盡快地將自己對(duì)知識(shí)和方法的理解，以自認(rèn)為結(jié)構(gòu)化的方式傳輸給學(xué)生，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從以往的“課上記筆記，課下練筆記，考試套筆記，考后全忘記”變成“課上記模型，課下練模型，考試套模型，考后全無(wú)形”。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是在經(jīng)過(guò)精心加工的、具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境中發(fā)生的，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)意向，讓學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)知識(shí)的核心與本質(zhì)。指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題難度會(huì)適當(dāng)增大，它往往表現(xiàn)為處理問(wèn)題過(guò)程中思維復(fù)雜性的增強(qiáng)，這是探尋數(shù)學(xué)內(nèi)容核心與本質(zhì)的必需。

比如，在“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”的教學(xué)中，有這樣的情境：“甲、乙兩商場(chǎng)的某款西裝和領(lǐng)帶定價(jià)都是800元/套和100元/條。促銷活動(dòng)期間，甲商場(chǎng)的優(yōu)惠方案是：買一套西裝送一條領(lǐng)帶;乙商場(chǎng)的優(yōu)惠方案是：西裝和領(lǐng)帶均打9折。某公司欲購(gòu)買20套西裝和多于20條領(lǐng)帶。”

對(duì)此，如果轉(zhuǎn)化為這樣的問(wèn)題：（1）設(shè)購(gòu)買x條領(lǐng)帶，在A商場(chǎng)購(gòu)買一共需付y1元，在B商場(chǎng)購(gòu)買一共需付y2元，請(qǐng)分別寫出y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系式;（2）你能借助函數(shù)圖像，說(shuō)明選擇哪家商場(chǎng)更合適嗎？這兩個(gè)問(wèn)題就是常規(guī)、封閉、操作性的淺層次學(xué)習(xí)問(wèn)題。

而如果分解成這樣的問(wèn)題：（1）購(gòu)買30條領(lǐng)帶，選擇哪家商場(chǎng)更合適？45條呢？（2）該公司到底選擇哪家商場(chǎng)更合適？請(qǐng)給出方案。（3）丙商場(chǎng)同款西裝、領(lǐng)帶定價(jià)和甲、乙商場(chǎng)都相同，它的優(yōu)惠方案是：送10條領(lǐng)帶，其余領(lǐng)帶打8折。此時(shí)選擇哪家商場(chǎng)更省錢？這個(gè)問(wèn)題串就具有非常規(guī)、開(kāi)放性和思辨性的特征：?jiǎn)栴}的復(fù)雜性增加，使得沒(méi)有現(xiàn)成的解決方法可供借鑒，并且解決的方式不唯一。

在方法的比較和評(píng)價(jià)過(guò)程中，學(xué)生能夠體會(huì)到“抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)模型”可以更直觀地解決問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的飛躍。

（二）數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就不需要內(nèi)容廣度嗎？

相比于接受式的淺層學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)式的深度學(xué)習(xí)需要花費(fèi)更多的時(shí)間，因此，常會(huì)出現(xiàn)“課堂容量不足”的現(xiàn)象。但是，這并不意味著數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就不需要內(nèi)容廣度?！独献印酚性疲骸盀閷W(xué)日益，為道日損;損之又損，以至于無(wú)為，無(wú)為而無(wú)不為?！睂?duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，不能僅僅滿足于具體知識(shí)的學(xué)習(xí)和“一題一法”小技巧的獲得，更要追求蘊(yùn)藏在知識(shí)與技能中數(shù)學(xué)思想的提煉和數(shù)學(xué)思維的錘煉，最終升華為通徹。華羅庚先生在指導(dǎo)青少年兒童時(shí)說(shuō)：“‘化’了以后能夠用，能夠活用，能夠適應(yīng)各種各樣具體情況來(lái)活用?！边@里，“化”的標(biāo)志就是知識(shí)和方法的遷移。

少即是多，慢即是快，通徹的東西是具有遷移能力的。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)正是在“以深度帶廣度”的過(guò)程中獲得遷移能力，不斷體現(xiàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)。

比如，有這樣一道題：如圖1所示，正方形ABCD的面積為25，正方形EFGD在它旁邊，且A、E、D和C、D、G分別共線，連接AF、CF、AC，求△ACF的面積。初中生解決這個(gè)問(wèn)題常用的方法是：設(shè)正方形EFGD邊長(zhǎng)為a，則S△ACF=5×（5+a）-12×25-12a（5-a）-12a（5+a）=12.5。教學(xué)若到此為止，則著實(shí)可惜。

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多角度思考：△ACF的面積是正方形ABCD的一半，是偶然還是必然？從而得到這樣幾種方法：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為b，列式后得到S△ACF=12b2=12S正方形ABCD;（2）如圖2，延長(zhǎng)FE，分別交AC、BC于點(diǎn)I、J，S△ACF=12FI·AE+12FI·CJ=12FI（AE+DE）=12FI·AD，因?yàn)镕I=CD，所以S△ACF=12CD·AD=12S正方形ABCD;（3）如圖3，連接FD，F(xiàn)D∥AC，所以S△ACF=S△ACD=12S正方形ABCD。

上述學(xué)習(xí)過(guò)程花費(fèi)時(shí)間較多，但是學(xué)生經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—猜想結(jié)論—多角度論證”的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的眼光得到鍛煉，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單（從抽象到直觀）理解結(jié)論的方法得到激活。以上三種方法是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基本方法。方法1顯示了字母代替數(shù)的一般性價(jià)值;方法2不同于方法1的“補(bǔ)”，而是“割”，它們都是求解圖形面積的基本方法;方法3能更直觀地發(fā)現(xiàn)結(jié)論。一個(gè)問(wèn)題“想”明白了才是真的“懂”了，深刻體驗(yàn)、深層理解這些方法才能產(chǎn)生遷移以解決更復(fù)雜問(wèn)題的能力。

（三）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不需要深度學(xué)習(xí)嗎？

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)因?yàn)槠渚C合性較弱，往往被等同于簡(jiǎn)單知識(shí)。事實(shí)上，“基礎(chǔ)”不等于“簡(jiǎn)單”，不能膚淺理解和機(jī)械訓(xùn)練;它是一種必需和奠基：復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決不了的原因很多時(shí)候是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解不夠深刻、運(yùn)用不夠靈活。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，基礎(chǔ)知識(shí)更需要經(jīng)過(guò)深度學(xué)習(xí)的過(guò)程，以此深刻理解其從何而來(lái)、去往何方以及在問(wèn)題解決過(guò)程中的價(jià)值。

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)之于基礎(chǔ)知識(shí)，需要從單元整體的角度加以整合，以“不簡(jiǎn)單”的問(wèn)題反襯“基礎(chǔ)”的重要性。

比如，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《代數(shù)式》一章最后一節(jié)《整式的加減》中，有整式加減法則“有括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)”這一基礎(chǔ)知識(shí)。因?yàn)榇饲皩W(xué)生已經(jīng)用兩個(gè)課時(shí)分別學(xué)習(xí)了“合并同類項(xiàng)”和“去括號(hào)”，有教師就上成了練習(xí)課。一節(jié)課練下來(lái)，50個(gè)學(xué)生的班級(jí)里有40多個(gè)學(xué)生能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行整式加減運(yùn)算，但是一段時(shí)間后，可能只有30個(gè)左右的學(xué)生還能準(zhǔn)確地進(jìn)行整式加減運(yùn)算，而基本上極少有學(xué)生能利用整式的加減解決問(wèn)題。

因此，應(yīng)該換一種教學(xué)方式。首先，提出問(wèn)題：一個(gè)兩位數(shù)，交換它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)新的兩位數(shù)。研究這兩個(gè)兩位數(shù)的和，你有什么發(fā)現(xiàn)？能解釋一下你的發(fā)現(xiàn)嗎？嘗試幾個(gè)數(shù)字后，有學(xué)生意識(shí)到和是11的整數(shù)倍。但是，怎么解釋呢？有學(xué)生用生活語(yǔ)言進(jìn)行了說(shuō)明：“顛倒十位與個(gè)位再相加，和的個(gè)位與十位是一樣的，所以是11的整數(shù)倍?！钡?，39+93的個(gè)位與十位數(shù)字之和都大于10，好像解釋不通了。有學(xué)生試圖盡可能多地舉例，發(fā)現(xiàn)和都是11的整數(shù)倍，但是難以窮盡……自然語(yǔ)言難明其理，小學(xué)算術(shù)難以窮盡，就得有新的方法出現(xiàn)。有學(xué)生設(shè)原來(lái)十位和個(gè)位分別是x和y，得到（10x+y）+（10y+x）=11x+11y，結(jié)論不言而喻。那這兩個(gè)數(shù)的差呢？這次，學(xué)生迅速得到（10x+y）-（10y+x）=9x-9y，結(jié)論一目了然。然后，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)新方法的產(chǎn)生過(guò)程：用字母表示數(shù)，列代數(shù)式，將代數(shù)式化簡(jiǎn)。指出：“這里化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是整式加減?？磥?lái)整式加減是問(wèn)題解決過(guò)程中很重要的一步，有必要進(jìn)行研究?！苯又?，讓學(xué)生再舉幾個(gè)整式加減的例子，經(jīng)歷多個(gè)整式加減的運(yùn)算過(guò)程，總結(jié)化簡(jiǎn)整式的方法：有括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。最后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)自己本節(jié)課的發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)：假設(shè)—否定—再假設(shè)—再否定—再假設(shè)……

沒(méi)有解題的套路，只有不斷地分析、評(píng)估、理清自己看問(wèn)題的一般思路;將自己學(xué)過(guò)的知識(shí)遷移來(lái)解決一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生而言就是創(chuàng)造“新方法”的過(guò)程。因此，學(xué)生獲得的不僅是知識(shí)，還有知識(shí)以外的深刻經(jīng)歷：感悟具體知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，探究問(wèn)題解決的核心策略，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維方式。

（四）學(xué)業(yè)水平落后的學(xué)生不需要深度學(xué)習(xí)嗎？

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平落后的學(xué)生常被認(rèn)為不需要數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，理由是他們掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，并在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中加以回憶和使用，就已經(jīng)很不錯(cuò)了。事實(shí)上，這樣的學(xué)生更需要通過(guò)深度學(xué)習(xí)獲得數(shù)學(xué)思想方法、思維方式和理性精神，以此適應(yīng)未來(lái)的生活和工作。部分學(xué)生正是因?yàn)橥ㄟ^(guò)機(jī)械模仿式的“低投入”學(xué)習(xí)獲得“高產(chǎn)出”的分?jǐn)?shù)，導(dǎo)致學(xué)業(yè)水平落后：當(dāng)學(xué)業(yè)難度較低時(shí)，通過(guò)簡(jiǎn)單記憶和操練就能獲得分?jǐn)?shù)，由此養(yǎng)成了不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣;當(dāng)學(xué)業(yè)難度加大時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，難以開(kāi)啟思維。部分學(xué)生只是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)欠缺，但是具有較好的開(kāi)放性和發(fā)散性思維，在問(wèn)題解決過(guò)程中表現(xiàn)出的分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造層面的思維能力有時(shí)并不輸于學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生。還有部分學(xué)生正是因?yàn)樵诘退降膶W(xué)習(xí)任務(wù)上消耗了大量的時(shí)間和精力，同時(shí)也消耗了學(xué)習(xí)的興趣，從而在數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平上顯得落后。

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平落后的學(xué)生，教師不能一味地設(shè)置淺層次的學(xué)習(xí)問(wèn)題，以貌似迎合學(xué)情，而要從學(xué)生的已有知識(shí)儲(chǔ)備和能力基礎(chǔ)出發(fā)，循序漸進(jìn)地設(shè)置思維進(jìn)階的問(wèn)題。

比如，教學(xué)“探究y=6x的圖像及性質(zhì)”時(shí)，教師通常設(shè)計(jì)任務(wù)：請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整，并在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，畫(huà)出反比例函數(shù)y=6x的圖像。面對(duì)這樣的任務(wù)，學(xué)生無(wú)須靈活、批判、創(chuàng)造性地思考，只需將以往現(xiàn)成的知識(shí)搬運(yùn)填寫。

其實(shí)，可以這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題：（1）（由數(shù)猜形）你能由反比例函數(shù)y=6x的表達(dá)式，猜想這個(gè)函數(shù)的圖像可能具有哪些特征嗎？在平面直角坐標(biāo)系中大致（無(wú)須精確）畫(huà)出你認(rèn)為的可能的“樣子”。（2）（為數(shù)配形）類比一次函數(shù)圖像的作法，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線的方式，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出反比例函數(shù)y=6x 的圖像。（3）（數(shù)形結(jié)合）將問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）聯(lián)系起來(lái)看，問(wèn)題（1）中的一些結(jié)論還成立嗎？反比例函數(shù)y=6x 的圖像還有哪些特征？（4）（聯(lián)想遷移）你能快速畫(huà)出y=-6x的圖像嗎？在問(wèn)題（2）的平面直角坐標(biāo)系上畫(huà)出。

上述問(wèn)題設(shè)計(jì)有明顯的不同層級(jí)思維的要求，使得不同層次的學(xué)生都有發(fā)揮自己思維特長(zhǎng)，獲得相應(yīng)結(jié)果的機(jī)會(huì)。觀察、聯(lián)想、描述、驗(yàn)證、概括、推演、應(yīng)用，這一系列的思維過(guò)程能很好地鍛煉學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性和批判性。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)實(shí)踐中需要厘清的問(wèn)題還有很多。比如，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不等于所有的教學(xué)及評(píng)價(jià)都要著眼于深入的理解;對(duì)于特定的課程內(nèi)容和年齡階段，需要選擇合適的深入程度。這些還需要我們?cè)趯?shí)踐中不斷深入思考和辨析。

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