數(shù)形結(jié)合 建立模型

周建毅

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想，掌握數(shù)形結(jié)合思想方法是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的引路人，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的重要方法之一，是將解答數(shù)學(xué)實(shí)際問題由難變易的重要方法。數(shù)形結(jié)合思想讓我們?cè)诮虒W(xué)中將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，將抽象的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化、形象化，從而達(dá)到事半功倍的效果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)模型；滲透思想

數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”（數(shù)量關(guān)系）與“形”（空間形式）的科學(xué)，數(shù)和形之間是既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想正是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的時(shí)候，往往要借助于“形”，在探討“形”的時(shí)候，又往往離不開“數(shù)”，使得抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)潔化。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的方法是培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑之一。

小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的啟蒙階段，在這一階段，學(xué)生的思維發(fā)展水平還不夠成熟，理解抽象的內(nèi)容難度較大。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題和理解問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生真正地解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。所以，小學(xué)階段教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型顯得尤為重要。

下面就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)形結(jié)合思想，談?wù)勎业膸c(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)：

一、利用形象直觀的“形”幫助學(xué)生理解抽象的“數(shù)”，在數(shù)學(xué)課堂中建立“形→數(shù)”的數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段是學(xué)生邏輯思維起步的階段，他們的思維主要以具體形象思維為主，這時(shí)，建立“形→數(shù)”的數(shù)學(xué)模型非常適合中低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)。我們可以借助于圖形的直觀性，讓學(xué)生用多種感覺器官充分感知，將抽象模糊的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化、形象化，形成符合學(xué)生生活實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)想，讓缺乏數(shù)學(xué)概念的孩子逐步建立數(shù)感。

例1，在教學(xué)“20以內(nèi)的進(jìn)位加法” （新人教版一年級(jí)上冊(cè)）中的“9+2=？”時(shí)，教師可以通過擺小棒的方法去演示，如下圖：

通過分解動(dòng)作，一步一步地演示出9根小棒添上1根就是10根，再捆成1捆，然后加上1根，最后得到1捆和1根，這樣就是11根了。這樣的過程使學(xué)生清楚地感受到11是在圈外的2根中拿出1根給9，讓9補(bǔ)足一個(gè)10，再加上余下的1根，從而得到9+2=11的答案。這樣圖形演示讓學(xué)生對(duì)“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的認(rèn)識(shí)有很強(qiáng)的提示作用，最后還要讓學(xué)生也親自動(dòng)手去試一試擺小棒，多種感覺器官充分感知，對(duì)學(xué)生理解抽象的“數(shù)”，有事半功倍的效果。

例2，在教學(xué) “一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”（新人教版三年級(jí)上冊(cè)）這一問題時(shí)，設(shè)計(jì)了以下一個(gè)直觀圖形：

乙是甲的（ ）倍。

以上這個(gè)線段圖充分利用直觀形象的“形”去滲透抽象的倍數(shù)關(guān)系，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，從抽象到具體，整個(gè)教學(xué)過程運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，一目了然，非常清晰。

在小學(xué)階段，建立“形→數(shù)”的數(shù)學(xué)模型是最普遍的，每?jī)?cè)教材中都有體現(xiàn)。低年段教材上，都配有相應(yīng)的直觀圖形，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)學(xué)概念和數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系；高年段教材，利用線段圖表示復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，以借助直觀的“形”幫助學(xué)生理解抽象的“數(shù)”，讓我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂中注重滲透數(shù)形結(jié)合思想的方法，建立“形→數(shù)”的數(shù)學(xué)模型。

二、滲透用定量的“數(shù)”去描述具體的“形”的數(shù)形思想，在數(shù)學(xué)課堂中建立“數(shù)→形”的數(shù)學(xué)模型

中高年級(jí)階段的學(xué)生邏輯思維已逐漸上升到一定的水平，我們教學(xué)時(shí)應(yīng)注意把具體的“形”放在主體的地位，逐步建立“數(shù)→形”的數(shù)學(xué)模型。通過這種課堂教學(xué)應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力才能上升到更高的層次。

例3，在教學(xué)“人心臟跳動(dòng)的次數(shù)隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多 。嬰兒每分鐘心跳多少次？”（新人教版六年級(jí)上冊(cè)）這一例題時(shí)，我們首先讓學(xué)生在認(rèn)真讀題和初步思考后匯報(bào)算式，并說明列式的理由。

學(xué)生的匯報(bào)與交流是邏輯思維水平發(fā)展的重要體現(xiàn)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能讓學(xué)生的直覺思維與初步計(jì)算出現(xiàn)矛盾，迫使學(xué)生去驗(yàn)證答案，解決問題，這時(shí)教師就要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖來分析：

青少年：

嬰兒：

當(dāng)線段圖完成的時(shí)候，學(xué)生的爭(zhēng)論也得到最終的答案了。因?yàn)橛辛司€段圖的合理支撐，學(xué)生可以想到兩種方法去做，方法一，青少年75次有5個(gè)格子，即一個(gè)格子有75÷5=15次，而嬰兒有9個(gè)格子，即15×9=135次；方法二：由圖形可知，75次占“1”，則嬰兒占“1+ ”，所以嬰兒每分鐘心跳次數(shù)為：75×（1+ ）=135次，但學(xué)生覺得方法二的算式更簡(jiǎn)單。

可見，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況采取先主動(dòng)思考，再引導(dǎo)畫圖的策略，能有效地將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地表示出來，降低解題難度，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)學(xué)生的邏輯思維能力也不斷得到鍛煉和提高。通過這種課堂教學(xué)應(yīng)用，滲透數(shù)形結(jié)合思想的方法，建立“數(shù)→形”的數(shù)學(xué)模型。

三、“數(shù)”“形”互相變換，在數(shù)學(xué)課堂中建立“數(shù)→形→數(shù)”或“形→數(shù)→形”的數(shù)學(xué)模型

在某些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題中，不能簡(jiǎn)單地以“形→數(shù)”或“數(shù)→形”去解決，而是需要“數(shù)”和“形”互相轉(zhuǎn)化，也就是在課堂教學(xué)中，教師將根據(jù)問題的具體情況，把直觀圖形與數(shù)量關(guān)系互相轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題形象化，從而提升學(xué)生的邏輯思維能力水平。

例4，在教學(xué)“兩輛貨車4次能運(yùn)完9600千克的貨物，平均每輛車每次運(yùn)多少千克？”（人教版三年級(jí)下冊(cè)）這一道連除應(yīng)用題時(shí)，我們就可以通過建立“數(shù)→形→數(shù)”的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)。

在教學(xué)這個(gè)題目時(shí)，要求學(xué)生用不同的方法寫出算式，然后學(xué)生經(jīng)過思考和交流，呈現(xiàn)如下精彩的答案，教師在旁邊演示對(duì)應(yīng)圖形的變化，并驗(yàn)證答案： ① 9600÷4÷2 ，教師畫出對(duì)應(yīng)圖形：

先平均分成4份，再將獲得的一份平均分成2份；

② 9600÷2÷4 ，教師畫出對(duì)應(yīng)圖形：

先平均分成2份，再將獲得的一份平均分成4份；

③ 9600÷（2×4） ，教師畫出對(duì)應(yīng)圖形：

先平均分成8份，再取出其中的1份。

這道例題通過數(shù)形結(jié)合思想，驗(yàn)證了學(xué)生的算式，讓抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形性質(zhì)很好地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使解題思路和過程具體化，易于理解，這樣可以更好地幫助學(xué)生形成數(shù)的概念和空間觀念，建立“數(shù)→形→數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義。

例5，在教學(xué)“將兩盒長(zhǎng)20cm、寬15cm、高5cm的糖果包成一包，怎樣包裝才能節(jié)約包裝紙（接口處不計(jì)）？”

（新人教版五年級(jí)下冊(cè)）這一道應(yīng)用題時(shí)，筆者讓學(xué)生制作相應(yīng)的紙盒作為學(xué)具，用擺一擺的方法，滲透數(shù)形結(jié)合思想，并完成表格。通過觀察表格的數(shù)據(jù)，我們能悟出結(jié)論：重疊部分面積越大，長(zhǎng)方體表面積越小，所需包裝紙?jiān)焦?jié)省，即長(zhǎng)、寬、高的和越小，所需包裝紙?jiān)焦?jié)省。

這個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生感受“操作→觀察→抽象→想象→結(jié)論”的過程，從眼看到手動(dòng)，從手動(dòng)到思考，一步一步地感知具體事物的模型，建立“形→數(shù)→形”的數(shù)學(xué)模型，讓數(shù)形結(jié)合思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力時(shí)得以滲透和加強(qiáng)。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠滲透數(shù)形結(jié)合思想的地方還有很多，如筆算乘法、小數(shù)的近似數(shù)、百分?jǐn)?shù)的意義等概念的推導(dǎo)，組合圖形的計(jì)算等，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想讓學(xué)生建立“形→數(shù)”“數(shù)→形”“數(shù)→形→數(shù)”或“形→數(shù)→形”的數(shù)學(xué)模型，充分體現(xiàn)到“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，發(fā)揮抽象思維和形象思維的協(xié)同作用，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展更具創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

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