淺談三角函數(shù)的解題方法

楊進(jìn)花

摘要：在高中數(shù)學(xué)研究中，對(duì)三角函數(shù)的掌握可以幫助學(xué)生分析問(wèn)題，很好的深入掌握一些函數(shù)的性質(zhì)和圖像，不同類型的三角函數(shù)用不同的方法進(jìn)行求解，對(duì)這個(gè)主題進(jìn)行研究和總結(jié)是非常有必要的，在高考數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)的求解是占了很大的比例，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)好三角函數(shù)對(duì)我們是非常重要的。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);單調(diào)性;周期性;奇偶性;最值;對(duì)稱性

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)涉及廣泛，需要學(xué)生用大量時(shí)間學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中會(huì)感覺(jué)到有一定的難度，教師在教學(xué)過(guò)程中要啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)類比，推廣，特殊化，整體代換等的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，不斷提高數(shù)學(xué)思維能力。從解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們感受到代數(shù)方法（數(shù)及其運(yùn)算）在研究幾何問(wèn)題中的作用和有效性，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，“只變其形其質(zhì)”的代數(shù)變換，這種變換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，三角變換也是“只變其形其質(zhì)”的，這種變換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵;所以在教學(xué)中我們要”觀察”，“思考”，“探究”相結(jié)合，教學(xué)是教師的教與學(xué)生的學(xué)的統(tǒng)一的過(guò)程，是師生交流，積極互動(dòng)，共同發(fā)展的過(guò)程，一種全新的，主體性的教學(xué)模式應(yīng)運(yùn)而生，引起教師與學(xué)生之間知識(shí)上有意義上的討論，學(xué)生掌握知識(shí)，形成能力，溝通現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與抽象定義之間的橋梁，誘發(fā)學(xué)生思維的積極性，引起學(xué)習(xí)更多的聯(lián)想，能容易調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，感受和興趣，學(xué)生不會(huì)感到枯燥，使學(xué)生自主參與知識(shí)獲得過(guò)程，問(wèn)題的解決過(guò)程，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大大的提高，同時(shí)也極大的促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

一 三角函數(shù)的定義：

我們知道，實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)的唯一的正弦（余弦）值，由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定的函數(shù)叫正弦（余弦）函數(shù)，用y=sinx（y=cosx），他們的定義域都是實(shí)數(shù)集R。

二 三角函數(shù)的圖像

[1]三角函數(shù)的圖像可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到：

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)的圖像是塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏抖，再掛在架子上，做成一個(gè)簡(jiǎn)單的單擺，在正弦余弦的下方放一塊紙板，板的中間畫(huà)一條直線作為坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)，把漏抖灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可以得到一個(gè)正余弦曲線。

[2]數(shù)學(xué)方法得到正弦余弦曲線

將單位圓均分成12等分，過(guò)圓上各分點(diǎn)作X軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于 ... 。角的正弦線，相應(yīng)地，再把x軸上從0到 的這一段分成12等分，把X軸的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與X軸重合，再把這些正弦線向右平行，使它的起點(diǎn)與X軸的點(diǎn)重合，再把這些正弦線的終點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，就可以得到正弦函數(shù)的圖像了。

[3]學(xué)生作正弦函數(shù)的圖像時(shí)常采用的五點(diǎn)作圖法。解題時(shí)常采用整體代換的思想。

三 三角函數(shù)的性質(zhì)：

【周期性】由三角函數(shù)的圖像可知三角函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，并且最小的正周期為2 ，計(jì)算公式為：

【定義域】正弦函數(shù)的定義域?yàn)镽。

【單調(diào)性】正（余）弦函數(shù)的圖像在R上是一個(gè)連續(xù)的無(wú)限延展波浪形狀的數(shù)學(xué)圖像，y=sinx單調(diào)遞增區(qū)間為[ ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ;y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 。在求解正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要保證表達(dá)式中 的系數(shù)為正，但系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)要先提出一個(gè)系數(shù)來(lái)，變成y=-sinx，單調(diào)性與原來(lái)函數(shù)相反，余弦函數(shù)的單調(diào)性與原來(lái)函數(shù)相同。

【奇偶性】正弦函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，余弦函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于Y軸對(duì)稱。

【最值】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像都夾在Y=1和Y=-1之間，對(duì)于y=sinx，在 時(shí)取得最大值為1，在 時(shí)取得最小值為-1;對(duì)于y=cosx，在 時(shí)取得最大值為1，在 時(shí)取得最小值為-1.

四 三角函數(shù) 的解析式

求解三角函數(shù)的解析式在高考中有重要的意義，主要有以下幾個(gè)方面：A等于函數(shù)的最大值減最小值的二分之一;求W前必須先求周期T，而一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中四段為一個(gè)周期，依據(jù)函數(shù)的圖像可以求解出T，即又因?yàn)?，可以求出W的值， 要用五點(diǎn)法來(lái)進(jìn)行求解，主要是設(shè)第一點(diǎn)： 第二點(diǎn)設(shè) ，第三點(diǎn)設(shè) ，第四點(diǎn)設(shè) ;B等于函數(shù)的最大值加最小值的二分之一。

五：三角函數(shù) 中求解問(wèn)題。

中求解周期，單調(diào)性，最值，對(duì)稱性，主要的方法就用整體代換，即將 看成一個(gè)整體，將 換成 型的形式，利用標(biāo)準(zhǔn)的 的圖像和性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解，但問(wèn)題就來(lái)了，在具體求解的三角函數(shù)中，往往不會(huì)給你 的形式，是需要求轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式，一般情況下利用以下幾種方法將轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式，（1）利用和差角公式，（2）利用二倍角正弦公式，（3）利用正余弦函數(shù)的升角降冪公式，（4）利用三角恒等變換公式： ，利用以上四種方法將三角式子換成標(biāo)準(zhǔn)形式 ，就可以求解了。

總之：三角函數(shù)這章的知識(shí)面比較廣，問(wèn)題具有一定的復(fù)雜性，需要記憶和理解知識(shí)多，而且還要靈活的運(yùn)用涉及的公式，需要通過(guò)總結(jié)復(fù)習(xí)，對(duì)所學(xué)的理論進(jìn)一步強(qiáng)化，應(yīng)做好錯(cuò)題記錄本和練習(xí)本，了解自身的不足，并對(duì)自身的不足進(jìn)行反思，完善，找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，做到舉一反三，養(yǎng)成反思的好習(xí)慣，最終實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。教師在教學(xué)過(guò)程中要幫助學(xué)生掌握正確而科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，能讓他們終身受益，古人云：“授人以魚(yú)，不如授人以漁?！蔽乙髮W(xué)生根據(jù)相關(guān)的問(wèn)題要主動(dòng)的去查詢資料，然后去整理利用這些信息來(lái)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，有助于學(xué)生掌握知識(shí)和能力要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭雨韻，《關(guān)于高中學(xué)習(xí)的心得體會(huì)》

[2]章建躍，普通高中課程實(shí)驗(yàn)教材人教版。

[3]《中學(xué)生報(bào).教研周刊》知網(wǎng)查詢方法http：//cnki.net。