高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計(jì)模型研究

嚴(yán)梓奇 趙汝文

【摘 要】文章提出一種工業(yè)高溫作業(yè)服裝設(shè)計(jì)，提高工人高溫作業(yè)的安全性和生產(chǎn)效率。建立一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程，通過將邊界條件代入模型，將模型優(yōu)化，依據(jù)微元和隔離分析思想，建立差分熱傳導(dǎo)方程，得到最優(yōu)解并對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。文章建立目標(biāo)函數(shù)的多變量優(yōu)化方程，溫度函數(shù)升至四維。在采用有限元法基礎(chǔ)上，結(jié)合控制變量思想，建立迭代算法，把問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題，使用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。根據(jù)極值的性質(zhì)，利用迭代法建立檢驗(yàn)算法，對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】微元;隔離分析;優(yōu)化方程;有限元法;拉格朗日乘子法

【中圖分類號】TS941.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-0688（2019）08-0087-03

在高溫環(huán)境下工作時(shí)，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層織物材料構(gòu)成。其中，Ⅰ層與外界環(huán)境接觸，Ⅲ層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為Ⅳ層。文章利用數(shù)學(xué)模型來確定假人皮膚外側(cè)的溫度變化情況，并解決服裝厚度問題（詳見2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題[1]）。

在高溫環(huán)境下，建立一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程[2][3]，在較小的時(shí)間間隔內(nèi)作業(yè)服各層熱傳導(dǎo)達(dá)到穩(wěn)態(tài)[4]。隨后將模型優(yōu)化，建立差分熱傳導(dǎo)方程[5][6]。對于不同的環(huán)境溫度，建立一維熱傳導(dǎo)微分方程，得到最優(yōu)解[7]。對于高溫工作時(shí)間的改變，建立目標(biāo)函數(shù)的多變量優(yōu)化方程，溫度函數(shù)升至四維。文章采用有限元法，結(jié)合控制變量思想，建立迭代算法，把問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題，使用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。

1 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型

該問題是典型的熱傳導(dǎo)問題，將人體看成圓柱體后，衣服即可認(rèn)為是環(huán)狀，形狀如圖1所示。

由此，文章即可實(shí)現(xiàn)對溫度函數(shù)關(guān)系的降維處理，由原來的T（x，y，z，t）降為T（x，t）或者T（y，t），此時(shí)只需要用水平面去截圓柱，求出任意一條與坐標(biāo)軸平行的半徑上各個(gè)點(diǎn)的溫度即可，只需要求出T（x，t），其中x在0到R上進(jìn)行變化。借鑒雙層玻璃窗功效的評價(jià)模型[1]，文章將模型簡化為圖2形式。

對于第一層織物來說，它的能量主要來自于外界空氣的熱傳導(dǎo)，能量消耗主要用于自身溫度的上升及對第二層織物熱傳導(dǎo)。文章認(rèn)為當(dāng)時(shí)間間隔足夠小時(shí)，溫度變化量較小，因此可以忽略自身溫度的變化，即達(dá)到雙層玻璃模型中的穩(wěn)態(tài)，我們把時(shí)間間隔設(shè)為1 s，因此本文研究高溫作業(yè)服每秒的溫度情況，實(shí)現(xiàn)將連續(xù)問題離散化，根據(jù)穩(wěn)態(tài)時(shí)的平衡條件可得公式（1）。

其中，Q為熱量的損失量，ki為第i層織物的熱傳導(dǎo)率，Ti為Xi處的溫度值，Tin為人體皮膚外側(cè)的溫度，Tout為環(huán)境溫度。

2 差分熱傳導(dǎo)模型

為了將溫度函數(shù)繼續(xù)降維，文章只研究各層織物特定點(diǎn)的溫度情況，特定點(diǎn)的選取與原模型相同。由于需要知道每個(gè)點(diǎn)的溫度，因此文章采用隔離法對每個(gè)點(diǎn)的情況進(jìn)行分析。

通過對x1點(diǎn)處能量變化情況分析可知，x1處的能量主要由外界熱傳導(dǎo)提供，而該部分能量最終只有兩部分去處：第一為自身吸收，提高自身溫度;第二為傳導(dǎo)到溫度更低的地方。因此，根據(jù)能量守恒可得到公式（2）。

為了使方程近似于真實(shí)解，依據(jù)微元思想，文章將d和h取得盡量小，此時(shí)文章選擇d和h均為0.1 mm。熱傳導(dǎo)實(shí)際上是一個(gè)動態(tài)過程，即使在1 s內(nèi)，熱量傳輸?shù)乃俣葘?shí)際上是在不斷變化的，而傳輸速度主要取決于溫差，本文將問題離散化，因此1 s內(nèi)熱量傳輸速度應(yīng)為定值，為了使文章的計(jì)算結(jié)果更接近真實(shí)值，本文取1 s內(nèi)的平均時(shí)間。由于1 s內(nèi)溫差是由大到小的，即熱量傳輸速度由快到慢，因此取平均速度較為合理，具體公式如式（5）。

3 一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程

此外，如果想要求解出最優(yōu)厚度，就需要知道空間中各點(diǎn)溫度在確定時(shí)刻的溫度，而該溫度的因變量應(yīng)包含d2（即第二層的厚度）。為了簡化模型，便于計(jì)算熱傳導(dǎo)方程，文章將三維立體空間降為一維，由于該方程為偏微分方程，文章可以用數(shù)值解代替解析解，然后通過迭代思想求解優(yōu)化方程。

建立優(yōu)化方程，需要知道溫度的表達(dá)式，通過模型一的分析可以發(fā)現(xiàn)，在假設(shè)成立的條件下，可以將三維熱傳導(dǎo)模型降為一維，具體情況如圖4所示。

其中，假人皮膚外側(cè)處為坐標(biāo)零點(diǎn)。

通過查閱資料[7]，建立一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程，Q1為t1到t2自V流出的熱量，具體公式即推導(dǎo)過程如下：

上面模型的誤差主要來源于兩部分：第一部分是求解熱傳導(dǎo)方程時(shí)造成的誤差，由于高溫作業(yè)服各個(gè)時(shí)刻及各個(gè)位置的真實(shí)溫度值未知，因此無法具體求出其誤差值。第二部分誤差主要來源于曲線擬合時(shí)造成的誤差，這部分的誤差可以計(jì)算得出，因此文章主要研究該部分的誤差，通過這部分誤差來衡量模型的優(yōu)劣程度。

描述曲線擬合程度的常用量是R2，因此文章使用R2作為評價(jià)指標(biāo)。具體公式如下。

R2分布區(qū)間為（0，1），R2越小說明擬合得越差，R2越大說明擬合得越好，實(shí)際測的值是yi，擬合曲線計(jì)算出的值是Yi。

4 單變量優(yōu)化模型

考慮到使用者的使用體驗(yàn)，本文認(rèn)為高溫作業(yè)服的體積應(yīng)該越小越好，就像穿一件T恤會比穿羽絨服運(yùn)動起來更舒服一樣。由于使用者不是靜止的，因此除去隔熱效果外，體積的大小是評價(jià)高溫作業(yè)服的一個(gè)重要指標(biāo)，由此建立如下優(yōu)化方程：

其中，T（x，t，d2，d4）表示在第二層和第四層厚度分別為d2，d4時(shí)，x處在t秒的溫度Ra為假人中心到作業(yè)服最外層的距離，具體含義如圖5所示。

其中，紅色表示第一層，藍(lán)色表示假人皮膚外層。通過合理的構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)后，由原來的雙變量優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單變量優(yōu)化問題;由于約束式中同樣存在偏微分方程，且相對模型二的維度又多了一維，因此很難解出解析解，故求解思想仍與模型二的求解思想類似，采用有限元法，在此基礎(chǔ)上結(jié)合控制變量思想，求解優(yōu)化方程。通過該算法即可得到一組t0和d2，d4的離散數(shù)據(jù)及一組T0和d2，d4的離散數(shù)據(jù)，其中d2，d4為自變量，而t0和T0為因變量;兩個(gè)因變量關(guān)于自變量的函數(shù)均為多元函數(shù)，可以使用多元回歸對函數(shù)進(jìn)行擬合，通過擬合文章可以得到F（d2，d4）=t0，G（d2，d4）=T0，優(yōu)化函數(shù)的優(yōu)化解會在邊界處取得，因此F（d2，d4）=25 min，G（d2，d4）=47 ℃，該問題轉(zhuǎn)化為求解多元函數(shù)的極值問題，可使用拉格朗日乘子法進(jìn)行計(jì)算，具體公式如下：

通過上述方程組可以得到一組極值解，記為d1（d2，d4），f1（d2，d4），同理可解出當(dāng)邊界條件為G（d2，d4）=47 ℃時(shí)的極值解，記為d2（d2，d4）。

此時(shí)可以通過兩個(gè)方面對模型進(jìn)行檢驗(yàn)：一方面，由于該模型同樣用到曲線擬合，故可以使用R2來刻畫模型的優(yōu)劣程度，計(jì)算公式同模型二中的一樣;另一方面，可以通過試值法確定其是否為最優(yōu)解。根據(jù)極小值的定義可知，在該點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，其目標(biāo)函數(shù)值應(yīng)是最小的，因此可以按確定步長進(jìn)行迭代，即驗(yàn)證最優(yōu)解附近的目標(biāo)函數(shù)值是否為最小。

5 結(jié)語

本文不僅可以使用建立的差分模型來解熱傳導(dǎo)方程，還可以解其他類似的偏微分方程。對于其他防高溫設(shè)備，可以采用相同的方法和思路，求解其他保溫設(shè)備的設(shè)計(jì)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會.2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/

html_cn/node/7cec7725b9a0ea07b4dfd175e8042c33.html，2018-09-13.

[2]陳大偉，斯小琴.一維熱傳導(dǎo)過程的計(jì)算模擬[J].沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018（4）：338-341.

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[7]曹鋼，王桂珍，任曉榮.一維熱傳導(dǎo)方程的基本解[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005（4）：77-80.

[責(zé)任編輯：鐘聲賢]