概率公理化方法及其對高中概率教學的啟示

摘 要：概率公理化方法是研究概率的重要思想方法，如何正確認識它，不僅對概率論這門學科的自身發(fā)展提供堅實的基礎，而且對于高中概率教學也有所幫助.筆者在對概率公理化方法的發(fā)展歷史進行回顧的基礎上，論述了公理化方法的意義，分析現(xiàn)在高中概率教學所出現(xiàn)的相關問題，并據(jù)此探討了概率公理化方法對高中概率教學的啟示.

關鍵詞：概率論;高中概率;問題;啟示

一、概率論公理化的提出

概率論起源于博弈問題[1].15至16世紀意大利數(shù)學家帕喬利、塔塔利亞和卡爾丹的著作中曾討論過“如果兩人賭博提前結束，該如何分配賭金”等概率問題，但是到了19世紀，由于獲得新的研究動機以及分析方法的引入，使得概率論獲得了重要進展.可是在發(fā)展過程中，歷史上出現(xiàn)了對概率的各種認識，既有實體概率——概率局限于實在的物質世界，也有主觀概率——反映了人們對某些事物的一種信任程度，是對事物的不確定性的一種主觀判斷[2].因此概率論沒能演繹成一門邏輯上完美的數(shù)學學科，它的基礎存在著缺陷，具體將有以下幾點：

1、概率論的分析方法本身沒有嚴格化

2、人們對概率這一基本概念的認識不明確

3、頻率和概率的認識模糊

上述這些概率的局限使得那時的人們對當時的概率論中的一些概念和方法產(chǎn)生了疑問，認為概率論不是一門合理的科學.于是，數(shù)學家們逐步探討解決的辦法，而數(shù)學家們總結出的解決辦法就是完善概率論自身的理論基礎.于是，1900年希爾伯特在巴黎國際數(shù)學家大會上所作的著名的報告中的第6問題，就呼吁把概率論公理化[3].由此，概率論公理化正式登上歷史的舞臺，并將概率論逐步變成一門嚴謹?shù)目茖W.

二、概率論公理化的發(fā)展

最早對概率論進行嚴格化嘗試的是俄國數(shù)學家伯恩斯坦（ C.H.Bernstein，1880-1968）和奧地利數(shù)學家米澤斯（R.vonMises，1883-1953 ）.他假定我們在自然科學中的推理是基于以往的經(jīng)驗，只要給定的條件集合α實現(xiàn)，屬于已知類A的一個事件必然發(fā)生，這和其他因素無關.然而，一般而言，一個事件不可能絕對出現(xiàn).人們不能完全確切地預言真實現(xiàn)象的行為.只有當條件集合α不太大，而且易于觀測時，把α和A聯(lián)系起來的規(guī)律才有實際意義.如果這個條件不成立，事件A就叫做隨機事件.然后他試著引進一個簡單點的條件集合β來代替α，它（至少在理論上）可以重復實現(xiàn)無限多次，當β存在時，給定試驗中事件A以一個明確的概率發(fā)生，而且這個概率可以用數(shù)值表示.如果也定義了事件B的概率，那么下面三個關系必有一個成立：

然后，伯恩斯坦引進了三個公理：（1）概率的可比較性公理;（2）不相容事件公理;（3）事件組合公理.前兩個公理考慮了條件集合β固定的情況.第三個公理把條件α下A的概率與不同的條件集合β下同一個事件的概率聯(lián)系起來[4].

在1933年，原蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈洛夫以德文出版了他的經(jīng)典性著作《概率論基礎》.這本書中建立起了集合測度與事件概率的類比，積分與數(shù)學期望的類比，函數(shù)正交性與隨機變量獨立性的類比等等.這種廣泛的類比終于賦予了概率論以演繹數(shù)學的特征[5].

以下是概率論公理化定義：

設隨機實驗E的樣本空間為Ω.若按照某種方法，對E的每一事件A賦于一個實數(shù)P（A），且滿足以下公理：

（1）非負性：P（A）≥0;

（2）規(guī)范性：P（Ω）=1;

（3）可列（完全）可加性：對于兩兩互不相容的可列無窮多個事件A1，A2，……，An，……，有

則稱實數(shù)P（A）為事件A的概率[6].

至此概率論就從半物理性質的科學變成嚴格的數(shù)學分支，和所有其他數(shù)學分支一樣建立在同樣的邏輯基礎之上[7].

三、概率論公理化方法的意義

一是概率公理化方法具有分析、總結概率知識的作用.眾所周知當一門科學積累了相當豐富的經(jīng)驗知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認識的時候，公理化方法便是一種有效的手段.如幾何學的歷史發(fā)展，便經(jīng)歷了一個公理化的過程.

二是概率公理化方法不但對建立概率論理論體系，訓練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授概率知識，以及推廣概率理論的應用等方面起到有益的作用，而且對于進一步發(fā)展概率理論也有獨特的作用.例如在描述概率方面，在概率公理化概念提出以后，人們在對于概率的古典定義、幾何定義、頻率定義和主觀定義時，不像以前都只能在一定的場合下才能給出各自的確定概率的方法，現(xiàn)在就能給出準確的概率定義.

三是概率公理化方法在科學方法論上具有示范作用.任何一門科學都不僅僅是搜集資料，也決不是一大堆事實及材料的簡單積累，而都是有其自身的出發(fā)點和符合一定規(guī)則的邏輯體系.概率公理化方法對現(xiàn)代概率論及現(xiàn)實生活中的實際問題都起到了積極的借鑒作用.在日常生活中，概率公理化的應用也深入其中，例如車站的設立、天橋的設立以及評估產(chǎn)品質量等等.

四是概率公理化方法在形式上所顯現(xiàn)出的簡潔性、條理性以及結構的和諧性確實符合美學上的要求，因而為數(shù)學活動中貫徹審美原則提供了范例.學生在參與學習概率公理化方法的活動中，不僅要讓他們接受美的熏陶，從中陶冶性格，豐富精神生活.

四、高中概率教學

4.1高中概率教學的內(nèi)容

以普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書人教A版為例，高中階段學習的概率知識總體概括一下可以分為以下兩個部分：

第一部分為必修部分：概率的定義，頻率與概率的區(qū)別，互斥事件與對立事件的區(qū)別，加法公式與乘法公式，古典概型，幾何概型，隨機數(shù)的產(chǎn)生，隨機模擬方法估計概率.

第二部分選修部分：分步計數(shù)原理，排列與組合，二項式定理概率，超幾何分布，二項分布，離散型隨機變量的期望、方差.

4.2 高中概率教學中存在的問題

在知網(wǎng)當中，通過對“概率教學問題”進行文獻檢索，共檢索出247篇相關文獻，其中碩士論文為27篇，期刊為220篇.對其中提出的概率教學中存在的問題進行總結，大致可以分為：教師問題、學生問題、教材問題三個方面.現(xiàn)總結如下：

4.2.1 教師中存在的問題

一是教師對概率和假設邏輯檢驗觀念不明確

在實際教學中，由于教師對概率論公理化的方法認識不清，無法明確概率論中無異現(xiàn)象與假設邏輯檢驗觀念，并且很多教師對假設邏輯檢驗理解不深刻，缺乏統(tǒng)計概率的觀念，僅是主觀的想法，缺乏對學生客觀想法的認識.

二是過多采用排列組合來計算概率

大部分的教師還利用課程改革以前的授課模式，先講排列組合，再講古典概型，通過求解樣本空間總數(shù)來求概率，這樣使許多學生產(chǎn)生了固定思維方式，即求概率就是用排列組合求樣本空間，而忽略對隨機思想的理解，也缺乏對概率公理化的認識，也就是單純的應試教育思想，沒能真正實現(xiàn)向素質教育思想的轉化.

三是對學生錯誤的概率的認識缺乏深入解釋

由于教師本身對概率的隨機性研究不夠深刻，也不能很好地向學生解釋隨機事件發(fā)生的不確定性與頻率相對穩(wěn)定性的重要性，從而使學生對隨機事件產(chǎn)生錯誤的認識，而這種認識將使得他們在解決問題過程當中無法很好地運用所學過的概率論知識去解答，憑借自己的主動思維去解決問題.

四是對概率知識結構體系不夠明確

由于個別教師對概率論公理化的形成與發(fā)展不夠熟悉，又只是按照課本設計的內(nèi)容進行教學，這就使得學生在學習概率知識時，弄不弄清楚來龍去脈，對概率知識沒有一個系統(tǒng)的了解，概率知識比較零散，這樣也會使得學生在遇到問題時，不知道該怎么求解，從而造成學生的學習障礙.

4.2.2 學生中存在的問題

一是對隨機概念的理解存在問題

由于學生對不清楚概率的由來，所以往往在處理隨機問題時以主觀代替客觀，常常以公平、可能性等詞語來表達隨機的意思，不能正確理解隨機事件的不確定性與頻率發(fā)生的穩(wěn)定性，從而在解決問題中產(chǎn)生錯誤的想法.

二是對概率當中為0和1的事件理解不夠準確

“概率為零的事件一定為不可能事件，概率為一的事件一定是必然事件”，這是在實際調查當中所遇到的最多的錯誤認識，不可能事件概率一定為零，必然事件的概率一定為一，反之并不一定成立，我們不妨通過這樣去理解：比如一顆豆子掉在操場的某處A，由于坐標是某一個點A，而全集是一個面積，所以概率就為零，但并非不可能事件.還有比如一個點隨機落在一個圓中，這個點落不到圓心的概率為：出去圓心外圓的面積比上整個圓的面積等于1，但是這個點有可能剛好落在圓心，并且概率為零.

三是在隨機事件中，對基本事件的取法唯一

在學習過程中，學生對基本事件當中“基本”的含義理解不深刻，基本二字是針對具體的實驗要求與目標而言的，而不是具體不變的，任何一個事件按不同的要求都可以劃分為不同的基本事件，這也是概率論公理化所解釋的問題之一，然而學生在剛學習基本事件這一概念的時候，由于對概率論公理化不夠了解，解題的思路又有所局限，加之教師沒有講解公理化的由來，就會使得學生認為選取基本事件是唯一不變的.

四是混用概率當中的加法與乘法公式

相互獨立事件與互斥事件是是學生最容易搞混的知識點之一，由于對公理化的描述不夠重視，理解不夠深入，學生極易將兩者混淆，因此學生在解決問題時一味的套用公式計算去判斷或者憑借自己的主觀想法去判斷.

五是忽略條件概率

在計算概率時，學生最容易忽略的一個問題就是審題不清，在題目中往往設置陷阱——條件概率.條件概率是指事件A在另外一個事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率.條件概率表示為：，讀作 “在B條件下A的概率”.（條件概率就是概率公理化的形成公式之一）例如：一對夫妻有兩個小孩，已知其中一個是女孩，則另一個是女孩子的概率是多少？解：，夫妻有兩個小孩，那么它的樣本空間為女女，男女，女男，男男，則為1/4，=1-=3/4，所以最后等于1/3.

4.2.3 課程本身的缺陷

雖然在新課程改革后對課程標準對概率的要求進行了修改和完善，但是具體的要求還是比較抽象，缺乏具體的教學指導，例如在新課程中要求教師對概率教學要重視概率的實際應用，要求學生在實踐中明白概率的思想及教育價值，但是首先在課程中并沒有安排具體的課時，其次在課本中也沒有有關概率思想這一內(nèi)容作為補充，所以就會導致許多老師不重視概率論的形成與發(fā)展，依然保持著講概念再練題的模式.

通過對上述三個方面存在的問題進行總結概括可以發(fā)現(xiàn)，絕大部分的問題都是出現(xiàn)在對于概率相關概念認識不清所造成的，又由于概率公理化的意義就在于理清概率的相關概念，所以在此基礎上筆者認為利用概率公理化的方法對概率相關概念進行解釋，可以有效解決有關概念不清所導致的問題，讓教師和學生能夠更好地進行概率的教與學.

五、概率論公理化對高中概率教學的啟示

5.1 對教師的啟示

隨著課程的不斷改革，教師也需要改變傳統(tǒng)的概率教學觀念，明確概率教學的目標與要求，著重培養(yǎng)學生公理化思想.在此針對高中概率教學中存在的誤區(qū)，給出了以下建議：

一是加強概念的教學，并在其中引公理化的思想

高中概率的學習其本身就存在抽象性，除此之外概率的概念也不容易理解，所以這一點上讓很多學生和老師頭疼，所以教師更應該加強概率論中有關概念的學習，對概念進行新的詮釋，讓學生能夠更好地理解以及應用.概念的充分理解是學生處理概率問題的基礎，同時也對養(yǎng)成好的學習習慣起了鋪墊作用，所以教師應該在上課過程中詳細的向學生解釋概率論中相關概念的意義.比如：必然事件、不可能事件、互斥事件、對立事件等等，但是如何更好地解釋相關概念呢？在此，教師可以利用概率公理化的思想，利用學生已熟知的公理，去理解相關概念.例如：理解必然事件的概率為1.就可以利用公理化的思想進行轉換，設隨機實驗E的樣本空間為Ω，則P（Ω）=1;通過公理化的方法也能夠讓學生對概念有更深的理解，也能夠利用代數(shù)的方法解釋相關概念，而不是一味的死記硬背.

二是重視知識系統(tǒng)化、全面化

要想讓學生對概率知識有深層的理解就必須把知識系統(tǒng)化，而不是零零散散，只有將知識系統(tǒng)化學生才會學著輕松，對整個概率知識結構一目了然.在整理概率的知識系統(tǒng)時，應該講公理化的方法融入其中，因為概率公理化的形成講概率變成了一門科學的學科，也正因為有了公理化，概率才有了研究方法，正確的定義.教師決不能抱有概率的學習很簡單，概率的發(fā)展史考試又不考，只要會做題就可以的心態(tài)，教師必須要改變傳統(tǒng)的教學模式，學習一個知識就要搞清知識的來龍去脈，這樣不能能夠提高學生的學習興趣，而且更能讓學生加深對概率的認識，能夠更好地運用在實際生活當中.

5.2 對學生的啟示

一是整體理解概率，完善認知結構

在概率知識學習的過程中，學生要對自身的知識做出及時的評價和必要的調整.認知結構是學生在認識客觀事物和掌握知識的過程中逐步形成的整體結構，是學生的認識活動順利進行的心理機制，一般來說，它是由教材中的知識結構內(nèi)化而形成的.概率知識結構是概率學習內(nèi)容中的基本概念、基本公式、基本觀念和基本方法的組織形式和相互聯(lián)系.學習任何知識，都不能將知識孤立的隔裂開來，尤其是概率知識十分講究內(nèi)在邏輯性和整體性，要求學生應該從概率論公理化的發(fā)展著手，利用公理化的方法研究概率的相關問題.

二是更多地訓練利用概率論公理化的方法解決概率問題

由于初中教材設計概率的相關知識與運算，而且初中的概率問題所涉及的實驗結果也比較少，導致大部分的學生習慣利用樹狀圖和列表的方法來解決概率的相關問題，但是進入高中以后，概率問題的實驗結果數(shù)目比較多，致使大部分的學生無法列出表格或者畫出樹狀圖，從而造成學習概率知識的困難.由于高中已經(jīng)涉及概率公理化的知識，并且概率論公理化的方法也是解決概率問題的根本方法，所以學生應該更多地利用概率公理化的方法解決概率問題.比如：某袋中有大小相同的紅球2個，白球4個，求甲一次取兩個同色的概率？公式法：一次性取出兩個球，可以看作先拿出一個，不放回再拿一個，所以第一次拿出白球的概率為，第二次拿出白球的概率為，第一次拿出紅球的概率為，第二次拿出紅球的概率為，所以兩次取出同色的概率為

通過對上述兩個方法進行比較，可以看出公理化的簡單明確，列表法雖然可以清楚的看出數(shù)量關系，但是如果數(shù)據(jù)一多就很不容易列表，至此也希望高中學生在解決概率問題時，多利用概率論公理化的方法.

5.3 對教材的啟示

教材是學生學習知識的來源之一，教材也是以課程標準為基礎，鑒于上述的分析，筆者認為在教材的編寫上應該適當增加概率論公理化及其性質推導的部分，可以利用文氏圖展現(xiàn)的方式，讓學生能夠像學習幾何那樣，能夠直觀的理解概率公理化的內(nèi)容與性質，也可以讓學生在學習概率知識時有跡可循，在引言中提及概率公理化思想，淡化學生傳統(tǒng)的計算思想，多增加一些關于發(fā)散思維的趣味知識，增強學生的學習興趣，緩解課堂氛圍，或是多增加一些概率論公理化的史學知識等，讓學生親自去體會概率論公理化的發(fā)生和發(fā)展過程，逐步提升學生學習概率知識的興趣和解決概率問題的能力.

參考文獻

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作者簡介：杜劍南，甘肅蘭州人，西北師范大學教育學院碩士研究生，研究方向為：數(shù)學教學論.