基于發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)的項目學(xué)習(xí)課例

馬勝利

摘 要：項目學(xué)習(xí)課例“解密圓錐曲線”是在培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)理念指導(dǎo)下，在圖形計算器支持下的高中數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)實踐，是山西省教育規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生‘直觀想象’核心素養(yǎng)的實踐研究”的成果。在本項目學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生以小組合作的學(xué)習(xí)方式，經(jīng)歷調(diào)查研究，分析綜合，推理論證，交流展示等學(xué)習(xí)活動，通過“尋找圓錐曲線—研究圓錐曲線—運用圓錐曲線”三個學(xué)習(xí)階段，對圓錐曲線的認識達到由感性到理性再到應(yīng)用的三個層次，使數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)得到發(fā)展。

關(guān)鍵詞：項目學(xué)習(xí) 圓錐曲線 圖形計算器 直觀想象核心素養(yǎng)

基金項目 山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度規(guī)劃課題階段性成果——高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)的實踐研究（GH-16262）

一、設(shè)計項目的緣起

1.學(xué)生實際與課標要求

本項目主要是探尋圓錐曲線背后的秘密，高一或者高二學(xué)生均可參與，對高一學(xué)生來說這是一次利用圖形計算器學(xué)習(xí)解析幾何的嘗試。

課標要求：

（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)。

（3）了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)。通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。

（4）收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文、論述平面解析幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果、關(guān)鍵事件、主要人物及其對人類文明的貢獻。

2.設(shè)計“解密圓錐曲線”項目的緣起

（1）圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的核心概念，對圓錐曲線的研究既可以利用幾何方法又可以利用坐標法，坐標法是解析幾何的精髓，其本質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想。圓錐曲線的模型在現(xiàn)實世界中大量存在，在生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛，學(xué)生們比較熟悉又充滿好奇，以研究圓錐曲線為項目學(xué)習(xí)課題驅(qū)動力強，能夠激發(fā)學(xué)生的探究熱情.

（2）本項目是山西省教育科學(xué)規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生‘直觀想象’核心素養(yǎng)的實踐研究”的成果，是基于培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)理念的高中數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)。課題組的研究內(nèi)容之一是如何利用技術(shù)助力培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，有30臺卡西歐fx-CG20圖形計算器可供利用，為本項目學(xué)習(xí)的研究提供了技術(shù)支持，基于充分利用圖形計算器進行技術(shù)支持下的高中數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)研究的考慮，決定以“解密圓錐曲線”為項目課題。

（3）一般的項目學(xué)習(xí)課題是將解決一個生活中的實際問題作為項目任務(wù)展開的，本項目學(xué)習(xí)是以探索一個抽象的數(shù)學(xué)對象——圓錐曲線作為項目學(xué)習(xí)任務(wù)，這是由數(shù)學(xué)的高度抽象的特點決定的。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，它的研究內(nèi)容除了現(xiàn)實生活中實際存在的問題之外，更多的是對由這些實際問題提煉出的抽象的數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系，圓錐曲線在現(xiàn)實世界中應(yīng)用廣泛，而其自身的很多有趣性質(zhì)又可以通過邏輯推理得到，因此“解密圓錐曲線”是一個具有數(shù)學(xué)特色的項目學(xué)習(xí)課題。

3.落實核心素養(yǎng)的需要

（1）圓錐曲線的模型在現(xiàn)實中廣泛存在，并大量應(yīng)用于人們的生產(chǎn)生活中，如航天科技，光學(xué)儀器，建筑設(shè)計，日常裝飾，等等，這為學(xué)生解密圓錐曲線提供了很好的資源。本項目學(xué)習(xí)的過程主要有三個階段：一是尋找圓錐曲線，二是研究圓錐曲線，三是運用圓錐曲線。通過這三個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對圓錐曲線的認識經(jīng)歷由感性到理性再到應(yīng)用三個層次。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生將以小組合作的學(xué)習(xí)方式，經(jīng)歷調(diào)查研究，分析綜合，推理論證，交流展示等學(xué)習(xí)活動，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

（2）借助圖形計算器研究圓錐曲線是本項目的一大特點，圖形計算器可以方便地實現(xiàn)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，使得圖形成為學(xué)生解決問題的主要工具和交流方式，從而促進學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的提升。

二、項目學(xué)習(xí)的設(shè)計與實施

本項目預(yù)計用六周完成，學(xué)生在每周利用兩節(jié)課的時間進行統(tǒng)一學(xué)習(xí)和交流，其余項目學(xué)習(xí)活動利用課余時間完成。

1.項目的驅(qū)動問題

橢圓，雙曲線，拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，人類對它的研究歷史可以追溯到兩千多年前的古希臘，觀察我們的世界，你會發(fā)現(xiàn)從生活飾品到宇宙星體，圓錐曲線隨處可見，從照明燈具到冷卻水塔，圓錐曲線的應(yīng)用廣泛。圓錐曲線和圓錐有什么關(guān)系？它們有哪些統(tǒng)一的性質(zhì)？是什么讓它們?nèi)绱嗣利愑秩绱擞杏?？打開圖形計算器，點開上面圓錐曲線的菜單，呈現(xiàn)出來的是一些方程，圓錐曲線和這些方程之間有怎樣的關(guān)系？關(guān)于圓錐曲線，你是不是還有很多問題？為了揭開圓錐曲線的“面紗”，探尋它背后的秘密。提煉出本項目的驅(qū)動問題：橢圓，雙曲線，拋物線的模型在我們的生活中大量存在，這些圓錐曲線的背后隱藏著怎樣的秘密？

準備階段：

（1）分配項目小組——五人一組，一共十組，確定組長、副組長、組內(nèi)行動記錄員（攝像）、文字錄入員等。

（2）創(chuàng)設(shè)項目學(xué)習(xí)交流討論平臺，比如QQ交流群，微信交流群等。

第一階段：考察和學(xué)習(xí)

理解驅(qū)動問題，將十個小組分成三個大組，分別承擔“尋找圓錐曲線”“確定圓錐曲線”“應(yīng)用圓錐曲線”的項目任務(wù)。

原計劃是全體學(xué)生經(jīng)歷“尋找圓錐曲線”“確定圓錐曲線”“應(yīng)用圓錐曲線”的學(xué)習(xí)過程，在實際操作過程中發(fā)現(xiàn)每個環(huán)節(jié)由十個小組來做不是太好。一方面任務(wù)比較單一，學(xué)生做的大部分工作會重復(fù)；另一方面，很多學(xué)生在做同一個項目學(xué)習(xí)任務(wù)，項目學(xué)習(xí)任務(wù)的重心就會分散，學(xué)生的學(xué)習(xí)行為就會不集中，不利于項目學(xué)習(xí)的管理。從知識角度來看，“尋找圓錐曲線”“確定圓錐曲線”“應(yīng)用圓錐曲線”三者并不存在嚴格的邏輯關(guān)系，完全可以單獨完成且齊頭并進。于是，從項目學(xué)習(xí)的合作學(xué)習(xí)和小組學(xué)習(xí)特點出發(fā)，決定共同推進。在項目學(xué)習(xí)的第一階段，讓學(xué)生利用自己喜歡和擅長的學(xué)習(xí)方式完成各自的任務(wù)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是一次激勵，同時，組和組之間可以進行有效地比較，激發(fā)學(xué)生完成項目學(xué)習(xí)任務(wù)的斗志。這樣的設(shè)計可以將項目學(xué)習(xí)的時間大大縮短，同時也對學(xué)生后續(xù)合作學(xué)習(xí)提出了更高的要求。

三個大組的具體學(xué)習(xí)任務(wù)安排：

① “尋找圓錐曲線”組：盡量多地找出生活中的圓錐曲線模型?？梢越ㄗh項目學(xué)習(xí)小組在商標、建筑、裝飾或者是網(wǎng)絡(luò)上尋找。

② “確定圓錐曲線”組：主要任務(wù)是搞清楚圓錐曲線的定義。這個組由兩個技術(shù)小組構(gòu)成，一個是手持技術(shù)組，所用的工具是圖形計算器，主要研究解析幾何的基本思想，把涉及圓錐曲線的知識了解到位，以便將來給同學(xué)講解；另一個是《幾何畫板》組，主要是研究利用《幾何畫板》軟件從幾何角度來確定圓錐曲線的方法，主要涉及圓錐曲線的統(tǒng)一定義等。

③“應(yīng)用圓錐曲線”組：主要是實際考察和通過互聯(lián)網(wǎng)搜索圓錐曲線在實際生活中的應(yīng)用，包括軍工，航天，光學(xué)儀器，物理等方面。

本階段學(xué)生的主要項目作品：

①“尋找圓錐曲線”組：歸納圓錐曲線出現(xiàn)的情況，以圖片的形式展示。

②“確定圓錐曲線”組：手持技術(shù)組主要學(xué)習(xí)解析幾何的基本思想，圓錐曲線方程的標準形式等數(shù)學(xué)知識；《幾何畫板》組主要幫助同學(xué)理解圓錐曲線第一定義與第二定義，用《幾何畫板》動態(tài)演示圓錐曲線的形成和統(tǒng)一性。

③“應(yīng)用圓錐曲線”組：展示考察結(jié)果，展示相應(yīng)的圖片、視頻，等等。

以上項目作品均要求學(xué)生在課堂上進行講解，講解的過程全程錄像，然后發(fā)到交流群里，在之后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生有什么疑問可以直接在群里交流解決。（圖1為學(xué)生利用《幾何畫板》展示圓錐曲線統(tǒng)一定義，圖2為學(xué)生利用圖形計算器研究圓錐曲線）

第二階段：研究和解密

本階段主要是運用相關(guān)知識解密圓錐曲線，解決有關(guān)圓錐曲線“是不是”和“為什么”的問題，主要包括兩個方面：一是判斷上一階段找到的圖片是否包含圓錐曲線；二是揭秘上一階段圓錐曲線的應(yīng)用都體現(xiàn)了圓錐曲線的哪些性質(zhì)并證明。這一部分是本項目學(xué)習(xí)的重點，在完成解釋有關(guān)圓錐曲線的現(xiàn)象這個任務(wù)的過程中，學(xué)生進一步利用技術(shù)完成對圓錐曲線的深入探究，更加深入理解了解析幾何的精髓——坐標法。

本階段學(xué)生的主要項目作品：

①對前面找到的圓錐曲線圖片，利用圖形計算器中的圓錐曲線模塊從代數(shù)的角度來確定它們是否是圓錐曲線。將研究過程打包成一個知識產(chǎn)品分享給同學(xué)。

②對于應(yīng)用的部分，重點研究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，利用圖形計算器中的幾何模塊和解方程模塊分別從幾何和代數(shù)角度來進行證明。將研究過程打包成一個知識產(chǎn)品分享給同學(xué)。

（圖3為學(xué)生利用圖形計算器驗證豐田汽車的標志是橢圓，圖4為學(xué)生利用圖形計算器證明橢圓的光學(xué)性質(zhì)。）

第三階段：創(chuàng)作和運用

各小組從以下任務(wù)中任選一個完成：①利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)制作一件手工作品；②利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)設(shè)計一種有應(yīng)用價值的產(chǎn)品，寫出詳細的設(shè)計方案；

③考察圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)和研究歷史，發(fā)掘圓錐曲線背后的故事。

本階段學(xué)生的主要項目作品：

各組的選擇不相同，有三個組是研究圓錐曲線的發(fā)展史，并寫出論文及制作PPT；有三個組是利用圓錐曲線的性質(zhì)設(shè)計產(chǎn)品，包括橢圓臺球桌，拋物線橋，太陽灶等；有一個組是設(shè)計關(guān)于圓錐曲線的小玩具。（圖5為學(xué)生講解圓錐曲線極簡史，圖6為學(xué)生制作的拋物線型虹橋。）

第四階段：匯報交流，總結(jié)表彰

本項目學(xué)習(xí)接近尾聲時，學(xué)校舉辦科技節(jié)，學(xué)生在完成“解密圓錐曲線項目學(xué)習(xí)報告”的基礎(chǔ)上，為全校同學(xué)在科技節(jié)上做了題為“解密圓錐曲線”的專題報告。

學(xué)生先設(shè)計出科技節(jié)報告的海報，張貼在校園內(nèi)醒目的位置，為這場報告做宣傳，接著教師和學(xué)生共同商討如何完成解密圓錐曲線的報告，認為只要把曾經(jīng)完成的項目作品集中在報告中展示出來，以合理的邏輯順序進行安排就可以很好地完成這項任務(wù)。在正式報告之前，學(xué)生進行了演講稿的修改和報告的彩排，做好了充分的準備。最終，在正式報告時，學(xué)生的發(fā)揮非常好，受到了與會師生的高度的評價。

在本項目學(xué)習(xí)的最后，召開了一次項目學(xué)習(xí)總結(jié)表彰會，邀請學(xué)校的相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)，數(shù)學(xué)組全體教師，以及學(xué)生家長參加，對學(xué)生在本項目學(xué)習(xí)活動中的各方面表現(xiàn)進行總結(jié)和表彰。

本階段學(xué)生的主要項目作品：

①解密圓錐曲線項目學(xué)習(xí)報告；

②科技節(jié)專題報告的海報；

③學(xué)生在報告中準備的演講稿、PPT以及科技節(jié)報告的完整視頻。

（圖7為科技節(jié)專題報告“解密圓錐曲線”的海報，圖8，圖9為學(xué)生在報告現(xiàn)場利用圖形計算器研究圓錐曲線，圖10為學(xué)生在報告會上講解圓錐曲線的應(yīng)用）

5.項目學(xué)習(xí)成果

（1）在山西省教育科學(xué)研究院薛紅霞老師主持的“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生‘直觀想象’核心素養(yǎng)的實踐研究”課題組的影響下，本項目學(xué)習(xí)側(cè)重于研究圖形計算器在項目學(xué)習(xí)中的運用，取得的成果均在“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生‘直觀想象’核心素養(yǎng)的實踐研究”課題組活動中作為研討對象展示給省內(nèi)有關(guān)教師，特別是應(yīng)陜西省教科院的邀請，赴西安中學(xué)展示了案例“圖形計算器在項目學(xué)習(xí)中的應(yīng)用”，受到了山西和陜西兩省數(shù)學(xué)教師的高度評價，并且對項目研究成果有一定的推動作用。

（2）本項目學(xué)習(xí)中圖形計算器的使用在很大程度上提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有三位學(xué)生的項目作品在第一屆卡西歐（GDC達人秀）活動中獲獎，其中王子杰同學(xué)獲得最高獎“鉆石達人”。（圖11為學(xué)生的獲獎證書）

三、項目學(xué)習(xí)的反思

本項目學(xué)習(xí)活動的開展獲得了有關(guān)專家、領(lǐng)導(dǎo)、家長的好評，深受學(xué)生歡迎。通過本項目的實踐，主要有以下幾點收獲：

1.體會到了如何開展高中數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)。

項目學(xué)習(xí)是面向未來的教學(xué)方式，目前，高中數(shù)學(xué)科目中這類課該怎樣上，在全國還沒有研究的先例，通過對“解密圓錐曲線”的項目學(xué)習(xí)教學(xué)實踐，我們積累了開展項目學(xué)習(xí)活動的經(jīng)驗，為項目學(xué)習(xí)的研究和實踐提供了生動鮮活的課例。

2.感悟到了如何利用技術(shù)來進行高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

在未來的教學(xué)中，技術(shù)的運用是不可避免的，人類的大腦主要是用來思考的，而技術(shù)為我們提供了充分發(fā)揮大腦優(yōu)勢的可能性，在課堂上，能用技術(shù)解決的，就不必用人腦解決。通過本項目的實踐，我感悟到充分發(fā)揮技術(shù)的作用，使技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)所用，在應(yīng)用技術(shù)的基礎(chǔ)上使得學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效率大大提高。

3.感受到了學(xué)生的“直觀想象”核心素養(yǎng)在項目學(xué)習(xí)活動中得以培養(yǎng)和提高。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，對于形的研究是數(shù)學(xué)研究的主要方面，圓錐曲線模型廣泛出現(xiàn)在我們的世界之中，它是數(shù)學(xué)“真”“善”“美”的典范，形態(tài)優(yōu)美，體現(xiàn)了宇宙的秩序。伴隨著解析幾何的出現(xiàn)，圓錐曲線體現(xiàn)了數(shù)和形的完美結(jié)合，在本項目學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不斷經(jīng)歷由形到數(shù)再由數(shù)到形的思維過程，通過直觀想象找到圓錐曲線“形”的特征，再通過抽象思維，得到圓錐曲線“數(shù)”的特征，在直觀具體和抽象概括相輔相成的思考和探究當中，學(xué)生的直觀想象能力得到培養(yǎng)和提高。