轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題解題中的應(yīng)用

賈立忠 魏言釗 莊惠靈

摘 要：從條件的轉(zhuǎn)化、結(jié)論的轉(zhuǎn)化、特殊到一般的轉(zhuǎn)化以及數(shù)與形的轉(zhuǎn)化四個(gè)方面，闡述轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)競(jìng)賽；數(shù)學(xué)解題；轉(zhuǎn)化思想

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Analysis of the Application of Conversion Thought in Solving Problems in Mathematical Competition Algebra

JIA Lizhong1，WEI Yanzhao1，ZHUANG Huiling2

（1. The First High School of Mudanjiang， Mudanjiang 157000， China；2. School of Mathematical Sciences， Mudanjiang Normal University， Mudanjiang 157011， China）

Abstract：This paper mainly expounds the application of conversion thought in the problem solving of mathematical competition algebra problem from four aspects： the conversion of conditions， the conversion of conclusions， the conversion from special to general and the conversion of numbers and forms.

Key words：mathematical competition； Mathematical problem solving； the conversion thought

轉(zhuǎn)化思想在求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，一些代數(shù)問題看起來錯(cuò)綜復(fù)雜，但卻可以通過轉(zhuǎn)化、變形使問題化繁為簡(jiǎn).在求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的代數(shù)問題時(shí)，常常會(huì)涉及到轉(zhuǎn)化思想，本文從數(shù)列、多項(xiàng)式、函數(shù)方程、復(fù)數(shù)四個(gè)方面的代數(shù)問題入手，以典型實(shí)例分析轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題中的應(yīng)用.

1 條件的轉(zhuǎn)化

在求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的代數(shù)問題時(shí)常?？梢詮囊阎獥l件入手，通過變量代換、構(gòu)造、局部調(diào)整等方法使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為常見問題，其解題的關(guān)鍵就是條件的轉(zhuǎn)化.

分析：首先從已知條件入手，通過拆分、移項(xiàng)得到一個(gè)較為明確的遞推關(guān)系，然后再通過構(gòu)造輔助數(shù)列，得到一個(gè)關(guān)于新數(shù)列的關(guān)系式，最后依據(jù)兩數(shù)列之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)求得原數(shù)列的通項(xiàng)公式.當(dāng)已知條件較為復(fù)雜時(shí)，往往可以借助一些數(shù)學(xué)方法，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而通過逐步調(diào)整得到所求結(jié)論.

2 結(jié)論的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有一些代數(shù)問題，直接求解不易，這就需要換一種角度進(jìn)行思考，即從問題的結(jié)論出發(fā)做等價(jià)轉(zhuǎn)化，或者從結(jié)論的反面出發(fā)，先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后得出與已知相矛盾，從而達(dá)到證明結(jié)論正面成立的目的.反證法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化結(jié)論在解題中的應(yīng)用.

分析：直接證明多項(xiàng)式不可約比較困難，因此，可以先假設(shè)多項(xiàng)式可約，然后結(jié)合待定系數(shù)法得到有關(guān)系數(shù)的等式，再利用韋達(dá)定理聯(lián)系根與系數(shù)的關(guān)系，最終所得的關(guān)系式與已知不符，即可證明多項(xiàng)式在整系數(shù)范圍內(nèi)不可約.這類問題的解題關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過證明等價(jià)結(jié)論成立，或者結(jié)論的反面不成立，進(jìn)而使問題得證.

3 特殊到一般的轉(zhuǎn)化

在解題過程中，如果很難找到條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，則可以從特殊情況入手考慮，通過一次或多次的賦值使得問題更加直觀化、簡(jiǎn)單化，然后再結(jié)合代數(shù)的一些特性和已知的結(jié)論，適時(shí)對(duì)問題做一般化處理.

例3（第35屆IMO試題） 設(shè)S是所有大于-1的實(shí)數(shù)集合，確定所有的函數(shù)f：S→S，使得滿足下面兩個(gè)條件：

分析：本題的解題關(guān)鍵是從特殊到一般的轉(zhuǎn)化.首先，將方程中的未知量賦予特殊值，然后利用整體思想，找出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，再根據(jù)具體問題分類討論，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，排除不符合題意的結(jié)論，最終得到滿足條件的函數(shù)解析式.在求解此類問題時(shí)，通常從特殊情況入手，并進(jìn)行逐步調(diào)整，將其轉(zhuǎn)化為一般形式，進(jìn)而得到最終結(jié)果.

4 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽代數(shù)問題的綜合性越來越強(qiáng)，一些代數(shù)問題往往具有幾何的特性，因此在求解時(shí)可以借助代數(shù)與幾何之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題進(jìn)行求解.這樣既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢(shì)，又可以充分利用幾何直觀，借助形象思維獲得出奇制勝的精巧解法.

分析：本題的解題關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)的幾何意義，將復(fù)數(shù)表示為平面上的點(diǎn)，將復(fù)數(shù)的?？醋魇莾牲c(diǎn)間的距離，使問題更加直觀化.除此之外，該題還可以利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解，但解題過程就要復(fù)雜許多，因此利用數(shù)形結(jié)合的解題策略可以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過程的目的.在求解這類問題時(shí)，要抓住數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必要時(shí)可以建立直角坐標(biāo)系，從幾何的角度求解代數(shù)問題.

5 總結(jié)

一個(gè)人解決代數(shù)問題體現(xiàn)出來的能力，是根據(jù)問題情境運(yùn)用各種手法重組已知條件的能力，以及正確、迅速地檢索、選擇和提取相關(guān)代數(shù)知識(shí)，并及時(shí)轉(zhuǎn)化為適當(dāng)操作程序的能力.從不同角度和已知的各種概念分析代數(shù)問題時(shí)，所運(yùn)用的解題方法也各不相同.在分析的過程中，既可以從條件、結(jié)論出發(fā)，也可以從特殊情況入手，必要時(shí)還可以借助代數(shù)與幾何間的關(guān)系，化抽象為具體，這也是求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽中代數(shù)問題的基本思想.

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編輯：吳楠