構造法在中學數(shù)學中的運用

洪雅倫

摘要：構造法是數(shù)學解題中較為常用的一種方法，尤其是在數(shù)學分析中構造法的使用尤為廣泛。其實，構造法是通過將題目中未知的或已知的事物轉化為具有一定規(guī)律或一定定義的數(shù)學公式或方法，從而對題目進行解答。在中學階段，雖然在高中課本中并沒有明確給出構造法這一定義，但是在一些解題中也用到了構造法的思想。通過讓中學生事先接觸構造法的思想，有助于讓學生在接下來的高等數(shù)學中更好地理解并運用構造法。在接下來的內(nèi)容里我將通過三角函數(shù)，數(shù)列和不等式三個方面來分別講述構造法在中學數(shù)學中的應用。

關鍵詞：構造法；三角函數(shù)；數(shù)列；不等式

1.引言

在數(shù)學的誕生之日起，數(shù)學中構造性的解題技巧也隨之誕生。對此，直覺派提出了一個口號：“存在必須是被構造”。直到現(xiàn)代，數(shù)學構造法已被廣泛地應用于各種數(shù)學解題中。構造法的本質就是通過構造一個與已知（或隱含或待求證）相聯(lián)系的數(shù)學模型，再充分利用這個數(shù)學模型所具有的性質特點來對題目進行求解。

構造法是一種非常簡便、新穎的解題方法，它的靈活性大大吸引了學生的求知欲望。但是，對于構造法他們又不知如何入手。故而，這就需要教師在平時的教學中多為學生提供更多的解法，并且對每一種方法的優(yōu)缺點都進行比較，從而逐步培養(yǎng)學生的解題速度，并且讓學生從中掌握到最簡的方法，為學生能更好地運用構造法打下化繁為簡的思維基礎。

除此之外，教師還需要培養(yǎng)學生的聯(lián)想構造能力。比如，在遇到題目時，教師可以引導學生思考并聯(lián)想，題目中哪些條件與之前學過的某些知識點是有聯(lián)系的？這道題目是否與之前做過的某道題型相似？解法是否也相似？題目問題是否可以轉化為求解另外的更容易解答的問題？諸如此類，通過引導學生層層聯(lián)想，有助于讓學生自行構造一個合適的數(shù)學模型，最后找到解決方法。

但是，構造法只是我們解決數(shù)學題目的一種技巧，在運用構造法時，我們還需要與其他數(shù)學知識相結合。構造法只是幫助我們構造出一個我們所熟悉的數(shù)學模型，但是在求解題目的過程中，我們依舊需要運用到我們所構造的數(shù)學模型的性質特點，諸如函數(shù)思想、數(shù)形結合、不等式思想、方程思想、向量思想等等。因此，只有在我們熟悉各類數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的前提下，我們才能靈活運用構造法。

構造法是一種思維跳躍性極大的數(shù)學解題方法，它不僅可以運用在函數(shù)上，也可以運用到方程等其他方面，它在數(shù)學的各個分支均有滲透。構造法也是一門沒有固定規(guī)律的方法，它的使用需要調(diào)動到我們的各種數(shù)學思維，結合抽象思維，逆向思維，發(fā)散思維等多種數(shù)學思維的共同參與。但是，只要運用得當，它便能夠為我們解題提供一個便捷的橋梁，特別地，在運用構造法解題的過程中，有助于激發(fā)學生的發(fā)散性和創(chuàng)造性思維，從而培養(yǎng)學生的學習興趣和提高學生的解題能力。

高中數(shù)學中會有多個方面使用到構造法。在本篇文章中，我將從三角函數(shù)、數(shù)列、不等式三個方面來講述構造法在其解題中的運用。

2.三角函數(shù)

函數(shù)具有很多特殊的性質，特別地，函數(shù)還可以通過與圖像相結合來達到讓人更好地理解函數(shù)的目的，即是所謂的數(shù)形結合思想。在解答三角函數(shù)的題目時，如果能夠恰當?shù)乩煤瘮?shù)的性質，那將有助于讓我們對三角函數(shù)題目進行求解。故而，構造函數(shù)也是為我們解題的一個新的思路。

例一已知 且 ，求 的值.

分析如下：本題若利用常規(guī)的三角函數(shù)的三角恒等變換公式去做，是很難下手的。我們可以觀察到在方程組內(nèi)的兩條式子里均含有一個a，則我們也許可以想辦法將兩條式子中的a值消去，由第一條式子我們可以得到 ，由第二條式子我們能得到 。因為2a是相等的，所以可以聯(lián)立兩條式子得到 。由此我們可以構造一個函數(shù)，即為 。然后再利用函數(shù)的增減性對函數(shù)進行求解。

小結：此題是三角函數(shù)中構造函數(shù)的一個典型題目。通過構造一個熟悉的復合函數(shù)將題目中的式子簡單化，有助于讓我們更好地理解。在三角函數(shù)中并不僅僅只有三角公式，構造函數(shù)的方法也有助于我們解題。

3.數(shù)列

在高考中，數(shù)列是很重要也是很有難度的一章。而數(shù)列的解題方法有多種，包括疊加法、倒序相乘法、裂項相消法、錯位相減法以及構造法等。數(shù)列在構造法上有很多種類型，接下來就先講述構造等差數(shù)列。通常題目給出的數(shù)列并不是等差數(shù)列，但是我們能夠通過加減或者乘除等來對其變形使之變?yōu)槲覀冃枰牡炔顢?shù)列。

例二已知數(shù)列 中， ，求通項公式 .

分析如下：對于本題，我們可利用待定系數(shù)法對原題式子進行變形，令 ，然后再分別對式子兩邊平方，可得 ，令 ，解得 。所以可得 。至此，我們已經(jīng)構造出了等差數(shù)列 。但是在這里我們必須要注意一下，由于構造出數(shù)列的底數(shù)是 ，也即是由于奇偶性不同我們需要構造出兩個不同的數(shù)列，分別是當n為奇數(shù)時和n為偶數(shù)時的兩種不同情況，然后再根據(jù) 分別列出 的通式。

小結：本題的解題關鍵就在于構造出等差數(shù)列。我們需要熟練掌握待定系數(shù)法，然后利用待定系數(shù)法所求得的數(shù)字代入所設的式子中，從而構造出我們需要的等差數(shù)列。在求出等差數(shù)列之后，我們必須認真審題，就像本題一樣，在最后的時候我們還需要根據(jù)奇偶性判斷出最后的通式。

4.不等式

在證明不等式時，構造函數(shù)是較為常用的一種方法，我們需要仔細觀察條件，包括題設以及隱含的條件，根據(jù)問題的結構來構造合適的函數(shù)，再利用函數(shù)的思想和方法來解決問題。

例三 .

分析如下：對于這道題目，我們可以先從要證明的不等式出發(fā)，即先將 進行變形得到 ，兩邊取對數(shù)可得 ，為方便我們觀察，我們不妨令 ，從而將上式化為 。至此，我們便可以開始構造函數(shù) ，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，對函數(shù) 進行求導得出函數(shù) 為減函數(shù)，又因為 ，從而得出 。原不等式得證。

小結：在利用構造函數(shù)來證明不等式時，我們需要抓住題目的結構特點。以本題為例，我們可以先從結論入手，對我們所需要證明的不等式進行變形，然后我們再根據(jù)變形之后得到的式子構造相同結構的函數(shù)。最后利用函數(shù)的性質，包括導數(shù)、單調(diào)性、奇偶性等來解決題目。

5.結束語

5.1 論題小結

構造不是憑空得來的，它需要我們結合以往學過的數(shù)學知識，展開合理的聯(lián)想與想象，對問題進行思考，從而構造出我們所需要的數(shù)學模型。在使用構造法時，我們必須要把握好數(shù)學間不同知識板塊之間的區(qū)別與聯(lián)系。運用構造法解題，可以快速簡便地解決問題，其關鍵就在于對問題的變形與化歸。

在中學數(shù)學中，我們能夠構造的數(shù)學模型包括方程，函數(shù)，數(shù)列，復數(shù)，對偶式，三角形等。而主要的構造解題思路又包括類比構造，直覺構造，歸納構造，逆向構造，聯(lián)想構造等。這些常用的數(shù)學構造模型以及解題思路對學生在以后的解題中具有很大的作用，有助于培養(yǎng)學生活躍的數(shù)學思維以及濃厚的數(shù)學興趣，提高學生的問題分析能力和數(shù)學解題能力，加強學生對已有知識的理解與掌握。

5.2 論題展望

筆者建議，在今后的數(shù)學教學中，教師可嘗試多為學生講述能夠一題多解的題目，逐步培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，使學生體會到對于一道題目具有多種構造性的解法。構造法在數(shù)學分析中的使用尤為廣泛，在中學階段讓學生初步接觸有關構造法的題目，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

參考文獻：

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