等比數(shù)列模型在初中數(shù)學教學中的應用

黃德誠

【摘 ?要】等比數(shù)列模型是初中階段的重要模型之一，尤其是在湘教版初中數(shù)學教材中占有重要地位。在核心素養(yǎng)成為當前教學基本導向的新教育形勢下，一線教師應重視等比數(shù)列模型在初中數(shù)學教學中的應用，以有效促進學生數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展。本文先對初中數(shù)學等比數(shù)列模型的應用進行了簡要概述，而后重點探討了兩個具有代表性的實際案例，希望對相關(guān)教學工作者有所助益。

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列模型;初中數(shù)學;應用

一、等比數(shù)列模型應用概述

核心素養(yǎng)的提出是新一輪課改的最大亮點，促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展已成為當前一線教師的核心教學指向。而作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基本要素之一，“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)對學生的發(fā)展尤其意義非凡，因為數(shù)學建模是學以致用的基礎，是運用數(shù)學知識解決實際問題的必由途徑，同時，它反過來又對學生鞏固和應用相關(guān)知識起到顯著的促進作用。就等比數(shù)列模型而言，其在實際的生產(chǎn)生活中有著廣泛而重要的應用，從我省近年來的中考命題特點來看，涉及實際生活背景的等比數(shù)列題目亦非鮮見。這一方面是由于等比數(shù)列模型本身的重要性決定的，另一方面也受到新課標以考查學生核心素養(yǎng)為導向的基本命題原則的要求。故而一線教師應等比數(shù)列中滲透模型思想從而培養(yǎng)學生的建模意識和能力，在潛移默化中促進其核心素養(yǎng)的發(fā)展?？梢哉f，在核心素養(yǎng)背景下，實施等比數(shù)列建模教學既是課標及基本要求，更是促進知識應用能力和解題應試能力的必由途徑。

那么，關(guān)于等比數(shù)列的建模教學具體應如何落實呢？對此，我認為教師首先應切實理解數(shù)學建模的內(nèi)涵及基本過程。課標中在核心素養(yǎng)部分給出建模素養(yǎng)的定義是：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。根據(jù)這一表述彰顯的內(nèi)涵意義，通俗來說數(shù)學建模就是對實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題從而利用相關(guān)數(shù)學知識解決問題，這就是數(shù)學建模。

具體到實際教學中，就是讓學生在切實掌握等比數(shù)列基本知識的基礎上，結(jié)合典型案例引導學生切實經(jīng)歷建立模型并用以解決實際問題的過程，使其對建模過程形成深刻體驗，直至學生能夠把握住具體情境的數(shù)學本質(zhì)而判斷出該用等比數(shù)列，其間的關(guān)鍵實際上是理解題意進而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。當然，這一目標無疑要以足夠的案例演練為途徑。

實際上，所謂核心素養(yǎng)的發(fā)展和成熟本身就是一種基于長期訓練的潛移默化的過程，上述目標的達成也意味著學生的建模素養(yǎng)獲得了顯著發(fā)展。以下我們就來重點探討兩個較為典型的案例，由于案例演練是建模教學的關(guān)鍵，故這也是本文重心之所在。

二、等比數(shù)列模型應用案例

例1：某人欲于2024年年底以40萬元購置一輛電動汽車，計劃從2018年開始，每年年初存入銀行一筆購車款項，到2024年底獲得本息共40萬元。若每年存同樣數(shù)額的購車款項，依照年利息2%并按復利計算，則每年的存款數(shù)額應為多少？（已知：1.022≈1.1487）

解析：對于該題，首先是全面分析題意并找到題目中的關(guān)鍵信息，并理解其數(shù)學本質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題進而建立等比數(shù)列模型。不難看出，題目中關(guān)鍵信息即為“依照年年利息2%并按復利計算”，以此為突破口，結(jié)合題目情境，如果設每年應存的購車款項數(shù)目為x萬元，則有：2024年年初存進銀行的x萬元到2018年底的本金加利息為x（1+2%），2023年年初存入銀行的x萬元到該年年底是的金加利息為x（1+2%）2;2022年存入銀行的的x萬元到該年年底的本金加利息為x+（1+2%）3……2018年年初存入銀行的x萬元到該年年底的本金加利息為x（1+2%）7。

由此不難發(fā)現(xiàn)，所謂“依照年利息2%并按復利計算”的數(shù)學本質(zhì)即為[a]n+1/[a]n=1.02這一等比關(guān)系，即一系列式子構(gòu)成公比為1.02的的等比數(shù)列，到2024年底獲得所有本息40萬元是其前n項和。這樣具體情境問題轉(zhuǎn)為了數(shù)學問題，進而可以很容易利用等比數(shù)列的前n項公式列方程而求出x的值。

該題具體解答過程為：設每年應存存入銀行x萬元，則由題目可得x（1+2%）+x（1+2%）2+x+（1+2%）3+……+x（1+2%）7=40，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式有[x（1+2%）（1-1.027）]/（1-1.02）=40，解得x≈5.275萬元，即從2018～2024年該人每年應存入銀行大約5.275萬元。

例2：若某市2018年新建住房面積400萬平方米，其中中低價房面積為250萬平方米，計劃從次年開始，若干年內(nèi)每年的新建住房面積平均比前一年增長8%。此外，每年新建住房中，中低價房的面積比前一年增加50萬平方米。試求：

①到哪一年的年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米？

②到哪一年年底，當年建造的中低價房的面積占總建造面積的比例首次超過85%？（已知：1.084=1.36，1.085=1.47，1.086=1.59）

解析：該題有兩問，分析題意不難發(fā)現(xiàn)，第一問需要建立等差數(shù)列模型，第二問則在第一問的基礎上通過建立等比數(shù)列模型求解。這道題的難度并不大，但綜合考察了等差數(shù)列和等比數(shù)列，從而更深刻地體現(xiàn)了模型思想的應用，屬于較為典型的案例。

就第一問而言，關(guān)鍵性的條件是“每年新建住房中，中低價房的面積比前一年增加50萬平方米”，其數(shù)學本質(zhì)即為[a]n+1-[a]n=50這一等差關(guān)系，即歷年的中低價房建造面積構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為250，公差為50，根據(jù)“歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米”這一條件可列不等式前n項和Sn≥4750，由此即可求得答案。該文具體解答過程如下：

設第n年中低價房的面積為[a]n，則根據(jù)題意易知數(shù)列[an]為首項為250，公差為50的等差數(shù)列表，即[a]n=250+（n-1）×50=50n+200，該數(shù)列前n項和Sn=250n+[n（n-1）]/2×50=25n2+225n，根據(jù)題意有25n2+225n≥4750，化簡得n2+9n-190≥0，n為正整數(shù)，得到n≥10，即到2017年年底，該市歷年所建造的中低價房累計面積首次超過4750平方米。

再來看第二問，首先需要將“若干年內(nèi)每年的新建住房面積平均比前一年增長8%”這一關(guān)鍵條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言bn+1/bn=1+8%。即歷年新建住房面積構(gòu)成首項為400，公比為1.08的等比數(shù)列，再根據(jù)“中低價房的面積占總建造面積的比例超過85%”這一條件列出不等式[an]>0.85bn，由此得到最終答案。其具體解答過程如下：

設第n年新建住房面積為bn，則根據(jù)題意易知數(shù)列{bn}為首項為400、公比為1.08的等比數(shù)列，即bn=400×1.81n-1，根據(jù)題意有[an]>0.85bn，即50n+200>400×1.81n-1×0.85，化簡得到n+4>6.8×1.81n-1，此式說明當n=5時，[an]<0.85bn，當n=6時，[an]>0.85bn，由此可知到2013年年底，當年建造的中低價房的面積占建造住房總面積的比例首次大于85%。

通過以上兩個可以看出，應用等比數(shù)列模型解題的關(guān)鍵就在于理解清題意，尤其是隱含等比關(guān)系的關(guān)鍵性條件，進而將情境語言轉(zhuǎn)為數(shù)學語言，構(gòu)建等比數(shù)列最終解得答案。等比數(shù)列模型的應用通常與方程或不等式知識結(jié)合在一起，通過題意中包含的數(shù)量關(guān)系列出方程或不等式，進而求取相關(guān)量的值或范圍。

上面案例一是與方式知識結(jié)合，求取的量包含在數(shù)列項的表達式中，案例二是與不等式知識結(jié)合，求n的取值范圍，代表了兩種基本的情形。一般來說，初中階段等比數(shù)列模型的應用較為簡單，上述的兩個案例具有較強的代表性。

三、結(jié)語

綜上所述，本文首先對核心素養(yǎng)背景下初中數(shù)學等比數(shù)列模型的應用進行了簡要概述，而后重點探討了兩個具有代表性的實際案例。作為初中數(shù)學中的重要模型之一，等比數(shù)列模型的應用是一個兼具深度和廣度的課題，一線教師應給予其足夠重視，并在日常教學中積極滲透模型思想，使學生在應用等比數(shù)列模型的過程中促進數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展。

注：本文為廣西區(qū)級A類課題“基于核心素養(yǎng)背景下模型思想的初中數(shù)學課例研究”研究成果。

（責任編輯 ?李 芳）