玩智取“王位” 探極簡模型

蔣銘國

在全國教育科學(xué)“十三五”教育部規(guī)劃課題“益智課堂與思考力培養(yǎng)的實(shí)踐研究”江西子課題調(diào)研期間，一老師給大家執(zhí)教了一節(jié)展示課——《智取王位》。受《智取王位》展示課與各位專家點(diǎn)評的啟發(fā)，我對智取王位產(chǎn)生了興趣，進(jìn)行了一些深入研究，讓我聆聽到了孩子們在且玩且樂中思維力拔節(jié)成長的聲音。

一、基礎(chǔ)，搭建“通向夢想”的階梯

智取王位是一項(xiàng)益智器具游戲。在一排木槽孔內(nèi)依次排有十一顆棋子，最后一顆為紅色。游戲規(guī)則是：兩人輪流取棋子，每次取1～2顆。誰能取得最后一顆紅棋子——“王位”，即獲勝。乍一看似乎與運(yùn)氣有關(guān)，事實(shí)上，內(nèi)含玄機(jī)，有規(guī)律可循。課堂上不妨引導(dǎo)學(xué)生由少到多，循序漸進(jìn)，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律。

首先引導(dǎo)學(xué)生明白在本游戲當(dāng)中，游戲規(guī)則是：①兩人輪流取棋子;②每次取1～2顆;③取到最后一顆獲勝。

其次引領(lǐng)學(xué)生積極參與游戲，深刻體驗(yàn)，反復(fù)琢磨，探究內(nèi)情。于是我?guī)ьI(lǐng)孩子，由少到多，循序漸進(jìn)，邊玩邊解邊思。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)棋子為一顆或者是兩顆的時候，先取者，必定獲勝。當(dāng)棋子為三顆的時候后取者必勝。其中策略有二：①當(dāng)先取者取一顆的時候，后取者取兩顆獲勝，即1+2型;②當(dāng)先取者取兩顆的時候，后取者取一顆獲勝，即2+1型。這時讓學(xué)生反復(fù)動手操作并體驗(yàn)：當(dāng)只有一顆或兩顆棋子時，先取棋子者必勝;當(dāng)有三顆棋子時，后取棋子者必勝。這是本游戲的核心與根基，是衍生后續(xù)一切情況的本源。只有掌握通透，才能通向“必勝”的夢想。

二、進(jìn)階，邁入“舍我其誰”的境界

當(dāng)孩子們達(dá)成深刻感悟后，追加一顆旗子。發(fā)問：當(dāng)有四顆旗子的時候，先取者獲勝還是后取者獲勝？讓學(xué)生實(shí)踐操作，在操作中體驗(yàn)并得出結(jié)論：先取者取一顆后，剩下三顆，此時后取者即本賽次中的先取者，必勝。關(guān)鍵是必須先取一顆，才能保證必勝。取兩顆則輸。同理，當(dāng)有五顆棋子的時候，可以得出結(jié)論：先取者取兩顆棋子后，剩下三顆，此時后取者即本賽次中的先取者，必勝。關(guān)鍵是必須先取兩顆，才能保證必勝。取一顆則輸。這兩次策略的區(qū)別就是先取者第一次取一顆還是兩顆。事實(shí)上目的是一致的，都是剩下三顆后由對方取棋子，自己坐等勝利。剩下三顆棋子時誰贏誰輸，依據(jù)前期所獲結(jié)論一目了然。經(jīng)過這一實(shí)踐，可以得出結(jié)論：當(dāng)有四顆或者五顆棋子時，先取棋子者必勝。緊接著試驗(yàn)，當(dāng)有六顆棋子時的情形。讓學(xué)生分組反復(fù)操作，在操作中感悟到，后取者必勝。策略同樣有二：①當(dāng)先取者取一顆的時候，后取者取兩顆，剩下三顆，重復(fù)三顆時的策略，必勝;②當(dāng)先取者取兩顆的時候，后取者取一顆，剩下三顆，重復(fù)三顆時的策略，必勝。依次類推，循序漸進(jìn)，然后進(jìn)行驗(yàn)證與感悟。孩子們一旦感悟通透，便可在智取王位游戲中，從容應(yīng)戰(zhàn)，達(dá)到“舍我其誰”的境界。

三、探本，領(lǐng)略“九九歸一”的神奇

當(dāng)孩子們在多次的游戲中，達(dá)到熟稔的程度后，可以引領(lǐng)他們探尋游戲的本質(zhì)，領(lǐng)略世界上普遍存在的“九九歸一”的神奇。經(jīng)過探究，孩子們發(fā)現(xiàn)本游戲的核心就是三顆旗子時的取子策略問題。即本游戲有一個本質(zhì)的極簡模型——被3整除問題。當(dāng)除數(shù)為3時，所有的非零自然數(shù)被分為余1數(shù)、余2數(shù)、整除數(shù)。要想獲勝需設(shè)法必取余1數(shù)，絕不取整除數(shù)，余2數(shù)為調(diào)劑數(shù)。例如：當(dāng)一共有11顆棋子時，知“內(nèi)情”方作一運(yùn)算：11÷3=3……2。若己方先取，則第一次取兩顆，第11顆與第10顆。接下來，對方取一顆第9顆，己方則取兩顆第8顆與第7顆;對方取兩顆第9顆與第8顆，己方則取一顆第7顆。本環(huán)節(jié)核心是讓對方取第9顆，己方取第7顆，至于第8顆作為調(diào)劑用。同理，第6顆、第5顆、第4顆，作為一個環(huán)節(jié)，仿照前一環(huán)節(jié)進(jìn)行。最后，第3顆、第2顆、第1顆，也是如此，己方則會最終取得第1顆即“王位”獲勝。若對方先取，則在取棋子過程中伺機(jī)取得第10顆，無果再伺機(jī)取第7顆，再無果再伺機(jī)取第4顆。一旦成功便會獲勝，否則一直無果便會敗北。

四、創(chuàng)變，開啟“洞察世界”的天眼

當(dāng)孩子們把前面游戲玩到了游刃有余的程度后，可以再引領(lǐng)孩子們嘗試“創(chuàng)變”，開啟“洞察世界”的天眼。游戲規(guī)則是人定的，一旦改變了游戲規(guī)則，游戲策略則需要重新探索。在孩子們掌握了前面所探索的規(guī)律，洞悉了“三個一環(huán)”的極簡模型之后，我?guī)ьI(lǐng)著孩子們開啟了更高層級的探索與研究。假如規(guī)定每次可以取一顆、兩顆或三顆，怎樣才能必勝呢？此時可以引導(dǎo)學(xué)生采取同樣的探究方法與策略進(jìn)行探索。當(dāng)棋子數(shù)為1～3顆時，先取者必勝，當(dāng)四顆棋子時，后取者必勝。策略有：1+3型，2+2型，3+1型。當(dāng)五顆棋子時，先取者必勝，策略有：1+1+3型，1+2+2型，1+3+1型。事實(shí)上就是先取者先取一顆棋子后，轉(zhuǎn)變?yōu)樗念w棋子時后取者（即本賽次先取者）必勝。同理，當(dāng)六顆棋子時，先取者必勝，策略有：2+1+3型，2+2+2型，2+3+1型。事實(shí)上就是先取者先取兩顆后，轉(zhuǎn)變?yōu)樗念w旗子時后取者（即本賽次先取者）必勝。當(dāng)七顆棋子時，先取者必勝，策略有：3+1+3型，3+2+2型，3+3+1型。事實(shí)上就是先取者先取三顆后，轉(zhuǎn)變?yōu)樗念w旗子時后取者（即本賽次先取者）必勝。當(dāng)八顆棋子時，后取者必勝，策略是按照四顆棋子時策略運(yùn)用兩次。

通過以上內(nèi)容的專題學(xué)習(xí)與探究，學(xué)生獲得了快樂與快感，思維力得到了切實(shí)的訓(xùn)練與培養(yǎng)。在探究中孩子們體驗(yàn)了重復(fù)、遞歸、迭代思維，增強(qiáng)了對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識，了解了數(shù)學(xué)模型建立的方法，品味了探尋極簡模型的快樂與幸福，提高了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，加強(qiáng)了對益智課堂的熱愛，激發(fā)了對遨游數(shù)學(xué)知識海洋的內(nèi)驅(qū)力。假以時日，孩子們定會在“益智課堂”這一智慧花園中綻放最美的自己，成全最美的生命，迎接最精彩的未來。