初中數(shù)學方程解法的導入策略初探

范英蘭

【摘要】 ?方程解法的導入，不僅承載著課堂激趣的功能，還引領著數(shù)學思維發(fā)展的作用。當前方程解法的課堂，大多停留在機械的程序化訓練上，忽視了數(shù)學思維的生成與發(fā)展;方程解法的設計重點是再現(xiàn)化歸思想，化歸思想的起點在課堂導入，但忽視對原理理解的課堂，常致使課堂導入環(huán)節(jié)干癟，甚至缺失。本文中，筆者結合自身從事初中方程解法的教學經(jīng)驗，依托“最近發(fā)展區(qū)”理論，探究了四種方程解法的導入藝術和導入策略，希望能對初中數(shù)學方程教學的發(fā)展起到一定的促進作用。

【關鍵詞】 ?解方程 課堂導入 化歸思想 最近發(fā)展區(qū)

【中圖分類號】 ?G633.6 ?? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A?【文章編號】 ?1992-7711（2019）12-171-03

方程是重要的數(shù)學概念，學好方程是解決很多數(shù)學問題的基礎。解方程是方程教學的重要環(huán)節(jié)。初中階段主要研究四種基本的代數(shù)方程：一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程。一元一次方程是所有代數(shù)方程的基礎，立足一元一次方程，在“元”上推廣到二（三）元一次方程（組）;在“次數(shù)”上推廣到一元二次方程;在形式上推廣到分式方程。四種方程的解法一脈相承，都蘊含著“化歸”思想。

解方程是方程教學的重點內容，“解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解。”解方程的目的就是使方程恒等變形為（已知數(shù)）的形式，各種代數(shù)方程及其運算步驟都以此為目標。

方程的解法，因其程序化清晰，模式化穩(wěn)定，指令明確，操作性強的特點，看起來似乎不是教學的難點。當前初中方程解法的教學課堂，大多是結合一道例題，講解每一步的做法，歸納程序清晰的解方程步驟，再讓學生套用步驟，按圖索驥，依樣畫葫蘆。

這樣的教學，只有操作，沒有思維;只有告知，沒有引導。方程解法過早形式化，過度形式化，對學生思維的形成與發(fā)展造成了不可逆轉的影響。

史寧中教授說：“方程解法的教學應著重于對原理的理解，而不是技能的過度強化”。教學的著眼點應看到學生長遠的發(fā)展，對于解方程而言，教師應重視方程化歸思想的形成與發(fā)展，并為這種思維的形成搭建好“腳手架”。方程解法的導入作為“腳手架”的第一層“支架”，應精心設計，合理搭建。

如何有效導入方程的解法，筆者主要從以下三個方面研究。

一、探究方程解法導入的理論基礎

維果茨基指出：“教學應當走在發(fā)展的前面“，只有走在發(fā)展前面的教學才能有效促進學生的發(fā)展。方程解法的導入，需要教師站在化歸思想形成與發(fā)展的前面，精心組織，層層推進。

解方程的核心思想是化歸，解方程的主要任務是把學生的“現(xiàn)有水平”轉化為學生可能達到的“潛在水平”。在進行方程解法的教學設計之初，必須弄清楚學生發(fā)展的兩種水平：一種是已經(jīng)達到的發(fā)展水平，是指學生已有的經(jīng)驗;另一種是學生可能達到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為“學生還不能獨立地完成任務，但在教師的幫助下，能夠完成這些任務”。 這兩種水平的最佳結合點就是方程解法的課堂導入，這兩種水平之間的距離，就是“最近發(fā)展區(qū)”。

基于以上分析，筆者認為“最近發(fā)展區(qū)”是介于學生獨自所能達到的水平與教師給予協(xié)助后所能達到的水平之間的區(qū)域;方程解法的“最近發(fā)展區(qū)”是介于學生原有的解方程水平與教師給與協(xié)助后所能達到的解方程水平之間的區(qū)域。教師的協(xié)助，對學生順利跨越“最近發(fā)展區(qū)”起關鍵作用，而這起作用的關鍵階段，在解法教學的引入環(huán)節(jié)。依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，巧設支架，有組織的引入，是促成學生達到“學習最佳期限”的必要途徑。

二、方程解法的導入策略

筆者依托“最近發(fā)展區(qū)”理論，結合自己的教學經(jīng)驗，從四個方面探討初中數(shù)學方程解法導入的策略。

1.用“化歸思想”牽引導入，對接“章”與“章”之間的“最近發(fā)展區(qū)”

史寧中先生指出，“在中小學數(shù)學中，三元一次方程可以化歸為二元一次方程，二元一次方程可以化歸為一元一次方程，一元一次方程最終化歸為（已知數(shù)）的形式”。此外，分式方程可通過“去分母”轉化為一元一次方程，一元二次方程可通過“降次”轉化為一元一次方程。

解方程就是求出“使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值”，因此，四種方程解法的導入，都可以用同一個問題過渡引領：如何將方程恒等變形為的形式？這種統(tǒng)領性的問題會激活學生的原有經(jīng)驗，會指引學生向合理的方向思考：與目標形式（已知數(shù)）作對比，原方程含括號，因目標形式中沒括號，所以要去括號;原方程含分母，因目標形式中沒分母，所以要去分母等;原方程是二次的，目標形式為一次，所以要把二次降為一次;原方程含有兩個未知數(shù)，要消掉一個未知數(shù)，才能轉化為之前學過的一元一次方程。

這種統(tǒng)領性的導入，要因材施教，立足學生已有的發(fā)展水平。如果學生覺得困難，教師要建立多個遞增的“最近發(fā)展區(qū)”，使教學組織有一定的坡度。例如一元二次方程解法，初學者有難度，可引導學生類比“二元”轉化為“一元”的消元法，思考能否將“二次”轉化為“一次”。

初中代數(shù)方程的解法是一個有機整體，四種方程的解法，一脈相承。搭建同一個問題支架，用“化歸思想”統(tǒng)一引領，便于實現(xiàn)方程“圖式”的自然擴充。

2.用“變式練習”巧妙導入，打通“節(jié)”與“節(jié)”之間的“最近發(fā)展區(qū)”

方程的解法，“節(jié)”與“節(jié)”之間關聯(lián)緊密。為了洞悉學生現(xiàn)有的能力水平，可以采用復習法導入。通過“課前小測”檢測學生水平，鋪就新知學習的基礎。

純粹的小測，不足以體現(xiàn)新舊知識之間的聯(lián)系，有經(jīng)驗的教師會把小測題適當改編一下，變成當堂所講的類型，實現(xiàn)一題多用，進而降低新課學習的難度。

“一題多用” 可以打通“節(jié)”與“節(jié)”之間的“最近發(fā)展區(qū)”。例如學習“去括號-----解一元一次方程”，課堂導入設計為：先解方程 “3x-6=2x-2”，復習“移項”解方程;再稍作改變，把前面的方程加上括號：“3x-6=2（x-1）”變成新課所學的方程，因勢利導引出含有括號的方程。

小測題目作為“腳手架”，不著痕跡地溝通了新舊方程的聯(lián)系，降低了學生跨越 “最近發(fā)展區(qū)”的難度。

3.用“趣味材料”激趣導入，激發(fā)學生學習愿望與心理機能的“最近發(fā)展區(qū)”

依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，在最佳期限內進行的教學，才是促進學生發(fā)展的最佳教學。學生已有的發(fā)展水平與潛在的發(fā)展水平之間的動力狀態(tài)是由教學決定的，動力狀態(tài)的啟動，要靠課堂導入。因此，方程解法的導入，不能忽略學生發(fā)展的內部心理過程。初中生心里機能還不夠成熟，其學習熱情，離不開教師激趣導入的帶動。

與方程解法相關的趣味材料有很多，例如：教材的插圖、“閱讀與思考”、與方程有關的影視片、數(shù)學史實故事等。

合理利用趣味材料，是對教師教學智慧的考驗。

筆者曾嘗試了一些做法，例如一元一次方程解法的引入，筆者將浙江衛(wèi)視《奔跑吧兄弟》中包貝爾智解“雞兔同籠”的節(jié)目剪輯成短片，播放短視頻導入，能極速點燃學生學習解方程的熱情;再比如，一元二次方程公式法解法教學，筆者簡短呈現(xiàn)了人類解方程的完整歷程，其中，陰差陽錯的卡丹公式、坎坷曲折的五次及五次以上的方程沒有公式解的論證歷程，使學生沉浸在跌宕曲折的數(shù)學史中，感受到解方程不只是追尋淺層次的趣味性和急功近利的實用性，而是體驗數(shù)學本身內在邏輯的獨特魅力，而這種內在邏輯的需要，恰是推動數(shù)學發(fā)展的主要動力;用故事導入，可以教師講述，也可以制成視頻播放，還可以寫成劇本，讓學生演繹。筆者曾把方程解法的歷程編成劇本《方程史話》，讓學生在全校面前，生動演繹，再錄成視頻，供更多老師日后作為導入材料播放。以方程解法為載體的課堂激趣導入，已在我校數(shù)學科組全面推廣。

方程解法的能力發(fā)展，取決于課堂導入能否啟動學生正待成熟的心理機能。以生動的趣味材料導入，能有效激發(fā)學生學習方程的興趣，能鏈接符合學生心理機能的“最近發(fā)展區(qū)”，能讓枯燥無味的方程變得妙趣橫生。

4.用“生活背景”誘發(fā)導入，建立符號數(shù)學與生活數(shù)學的“最近發(fā)展區(qū)”

維果茨基最近發(fā)展區(qū)理論認為：學習與發(fā)展是一種社會與合作的活動。學生頭腦中的數(shù)學離不開學生已有的社會經(jīng)驗。解方程要充分考慮生活實踐的矛盾性。應用的現(xiàn)實體驗，激發(fā)學生學習成就感和自信心。

史寧中教授在《方程思想及其課程教學設計》數(shù)學教育熱點問題系列訪談錄之一中提到：以往的方程教學設計思想的一個誤區(qū)，在于把思路搞反了，方程的教學本應該“先是進行生活中的提煉， 然后到數(shù)學表達，也就是形式化的過程，再到最終解決方程問題”，而不是“先給出形式化的方程定義， 然后解形式化的方程，最后再進行方程的應用”。

在實際教學中，教師往往把方程的解法與方程的實際應用完全割裂開，純粹解方程，然后再集中解決實際問題。這樣的割裂性操作，導致學生根本體會不到方程是從現(xiàn)實生活到數(shù)學的一個提煉過程。不利于學生符號表達的能力提煉和發(fā)展，不利于學生理解方程解法的功能性與合理性。因此，方程解法的導入環(huán)節(jié)，有必要拉近符號表達與生活問題的距離。

在實際教學中，如何無痕植入生活問題呢？

筆者曾嘗試以“雞兔同籠”為主線，將小學里所學的算術法和一元一次方程、二元一次方程組統(tǒng)一編排，在一元一次方程和二元一次方程組的單元起始課導入環(huán)節(jié)，均引入“雞兔同籠”的問題，對比算術法，引入一元一次方程、二元一次方程組。要求未知量，自然聯(lián)想怎樣解方程。求未知量的矛盾，引起解方程的心理饑渴。同時，學生在一題多解中既感受到“方程思想”思維簡單的優(yōu)勢的同時，又溝通起兩種方程解法上相互轉化的聯(lián)系。當然，在實際教學中，我們也可以采用其他的實際問題（例如“順水航行、逆水航行”的問題），在學生生活經(jīng)驗與數(shù)學知識之間架起一座無形的橋梁，溝通方程解法與實際問題的聯(lián)系。

中學的許多數(shù)學問題來源于人們的實際生活，而這些問題經(jīng)過提煉，又比原來具體的生活抽象得多，所以在解方程的教學中，我們要設法引導學生把生活經(jīng)驗嫁接遷移到方程模型的提煉上，以激活他們解方程的愿望。

通過課堂導入，把學生解方程的“潛在水平”轉化為新的解法的“現(xiàn)有水平”。新的“現(xiàn)有水平”的基礎上又出現(xiàn)新的“思維潛在水平”，并形成新的“最近發(fā)展區(qū)”。于是教學又從新的思維潛在水平開始…… 這種循環(huán)往復不斷轉化和思維發(fā)展區(qū)層次逐步遞進的過程，就是學生不斷積累方程解法和推進化歸思想發(fā)展的過程。

三、對方程解法的進一步思考

1.程序化與解法多樣性的關系

程序化解方程，既要看到它的局限性，也要看到它積極的一面。對于學優(yōu)生，自然不能僅僅教會他們機械解方程，更應讓他們理解方程的核心本質----化歸。圍繞化歸思想，發(fā)展其思維的靈活性，提倡解法多樣化;但對于學困生，程序化按圖索驥的辦法，能有效幫助他們正確解出方程，能增強他們信心。因此，在實際教學中，要依據(jù)學生所接受的程度，控制程序化的強度，設計課堂導入的開放程度。

2.一元一次方程與其他代數(shù)方程的關系

一元一次方程是其他代數(shù)方程的基礎，其他代數(shù)方程都要轉化為一元一次方程來求解。但有時，一元一次方程的解法經(jīng)驗，也會對其他方程產(chǎn)生干擾。一元一次方程都有解，而且都有唯一解。如此一來，學生始終會有一種錯誤的認知：認為所有的方程都有解，且都有唯一解，因此當他們遇到分式方程無解，一元二次方程重根或無實根時，就難以認同。像“3x=3x-1”是不是一元一次方程，這種無解的矛盾方程能否適當引入？分式方程無解，一元二次方程有重根、無實根，怎樣導入才能達到學生的”最佳學習期限”，都是值得進一步探討的。

綜上，方程解法教學，不能只有操作，沒有思維。正如杜威所說：“純粹的模仿、采用制定的步驟、機械式的練習，均可能最快地取得效果，然而，對反省思維能力的增強，卻可能鑄成不可挽回的錯誤?！币虼?，方程解法的教學，不能停留于讓學生機械得解出來，更要思考為什么這樣解，還要思考為什么要這樣教。

方程解法的導入，是知識的生成點，思維的源頭，能彰顯方法的合理性和能力延伸的方向。教學時，找準學生的“最近發(fā)展區(qū)”，要生動導入，無痕導入，而不是采用簡單的“告知”。只有這樣，方程解法的教學，才會成為“使大腦建立新結構并由一個思維水平向另一個思維水平發(fā)展的階段”。

[ 參 ?考 ?文 ?獻 ]

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